文档内容
第一章 随机事件与概率
1-1 基础过关
1.【答案】（1）
5
8
；（2）
1
1
1
5
4
， ，
15
1
2
7
0
3
， ，
20
7
6 0
，
7
2 0
；（3）
1
2
，
3
8
【解析】（1）因为 A B C A B ，所以 P ( A B C ) P ( A B ) 0
P(A B C) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC) p(BC) p(ABC)
1 1 1 1 5
0 00
4 4 4 8 8
（2） P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
1
2
1
3
1
1
0
1
1
1
5
；
11 4
P(AB) p(A B)1P(A B)1
15 15
P(A B C) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)
1 1 1 1 1 1 1 17
2 3 5 10 15 20 30 20
P ( A B C ) P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1
1
2
7
0
2
3
0
方法一：
P ( A B C )
P
P
( A
( C )
B
[
C
P
)
( A
C
P
)
( C
)
P
( B
P
C
( C
) P
(
(
A
A B
B
C
) )
) ]
P
1
5
(
C
)
1
1
5
P
( A
1
2 0
C
1
3
B
0
C
)
7
6 0
方法二：
P ( A B ( C ) )
P
1
(
4
5
A B
2
3
0
A
B C
7
6 0
) P ( A B ) P ( A B C )
4 1 7 7
P(AB C) P(AB)P(C)P(ABC) .
15 5 60 20
1 1
（3）（i）由AB ，P(AB) P(A)P(AB) 0 ；
2 2（ii） P ( A B ) P ( A ) P ( A B )
1
2
1
8
3
8
.
2.【答案】（1）
C 9 0
4 0 0
C
1 1 0 C
1 1 0 0
2 0 0
1 5 0 0
；（2） 1
C 2 0 0
1 1 0 0
C
C 14
0 0
2 0 0
1 5 0 0
C 1 9 9
1 1 0 0
【解析】（1）记“恰有90件次品”为事件A，则 P ( A )
C 9 0
4 0 0
C
1 1 0 C
1 1 0 0
2 0 0
1 5 0 0
；
（2）记“至少有2件次品”为事件 B ，则 P ( B ) 1 P ( B ) 1
C 2 0 0
1 1 0 0
C
C 14
0 0
2 0 0
1 5 0 0
C 1 9 9
1 1 0 0 .
3.【答案】（1）
4
9
；（2）
1
3
【解析】（1）因为 P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) ，所以
P(AB)P(A)P(AB)0.70.50.2，故
P ( B | A B )
P ( B
P ( A
( A
B
B
)
) )
P ( A ) P
P
(
(
B
B
)
)
P ( A B )
0 . 7
0
0
. 4
. 4 0 . 2
4
9
；
（2） P ( A B ) P ( B | A ) P ( A )
1
3
1
4
1
1
2
，因为 P ( A | B )
P
P
( A
( B
B
)
)
，所以
1
P(AB) 1
12
P(B) ，所以
P(A|B) 1 6
2
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
1
4
1
6
1
1
2
1
3
.
4.【答案】（1）
2
4
8
5
；（2）
1
4 5
；（3）
1
4
6
5
；（4）
1
5
【解析】记“第 i 次取正品”为事件 A
i
， i 1 , 2
7 8 28
（1）P(AA ) P(A | A )P(A ) ；
1 2 1 2 2 9 10 45
1 2 1
（2）P(A A ) P(A | A )P(A ) ；
1 2 1 2 2 9 10 45
（3）P ( A
1
A
2
A
1
A
2
)
P (
2
9
A
1
A
2
8
1 0
)
8
9
P
( A
1
2
1 0
A
2
)
1 6
4 5
0 P ( A
2
| A
1
) P ( A
1
) P ( A
2
| A
1
) P ( A
1
)
（4） P ( A
2
) P ( A
2
| A
1
) P ( A
1
) P ( A
2
| A
1
) P ( A
1
)
2
9
1
8
0
1
9
1
2
0
1
5
.
（也可由抽屉原理： P ( A
2
) P ( A
1
)
1
2
0
1
5
）
5.【答案】（1）
( N
n
M
N (
m
1 )
( m
n )
n )
；（2）
5
9
3
9
【解析】（1）记“从乙袋中取一只球是白球”为事件 A ，“从甲袋中取一只球是白球”为
事件 B ；
P ( A )
P
(
(
N
A
n
| B
M
)
N
P
(
(
m
1
B
)
)
( m
n
P
)
(
n
A
)
| B ) P ( B )
N
N
M
1
1
m
n
n
N
N
M 1
m
m
n
（2）记“从第二盒中任取一只球是白球”为事件 A ，从“第一盒中取 2 只球有 i 个白球
“为事件B ，
i
i 0 , 1 , 2
P(A) P(A|B )P(B )P(A|B)P(B)P(A|B )P(B )
0 0 1 1 2 2
5 C2 6 C1C1 7 C2 53
5 5 4 4
11 C2 11 C2 11 C2 99
9 9 9
6.【答案】（1）
2
5
；（2）
1
6
4
9
2
0
1
【解析】记“第i次取到的零件是一等品“为事件A ，i 1,2；“从第i箱中取零件”为
i
事件B ，
i
i 1 , 2
（1） P ( A
1
) P ( A
1
| B
1
) P ( B
1
) P ( A
1
| B
2
) P ( B
2
)
1
5
0
0
1
2
1
3
8
0
1
2
2
5
；
（2）P ( A | A )
2 1
P (
P
1 0
5 0
A
(
1
A
A )
2
)
1
9
4 9
1
2
P (
2
5
A
1
3
A
1
8
0
2
| B
1 7
2 9
1
)
P (
1
2
B )
1
P
1
P (
( A )
1
6 9 0
4 2 1
A
1
A
2
| B
2
) P ( B
2
)
7.【答案】（1）必然错；（2）必然错；（3）必然错；（4）可能对
【解析】（1） A B ，所以 P ( A B ) 0 P ( A ) P ( B ) ，所以A与B不独立；
（2）P(AB) P(A)P(B)0，所以AB ，所以 A 与 B 相容；
（3）假设 A , B 不相容，则 P ( A B ) 0 ，所以
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) 1 .2 1 ，与 P ( A B ) 1 矛盾，故假设不成立，
A , B 相容；
（4）当P(AB)0.36时，P(AB) P(A)P(B)，此时 A , B 相互独立；
当 P ( A B ) 0 .3 6 时，P(AB) P(A)P(B)，此时 A , B 不独立.
5
8.【答案】（1） ；
9
1
6
6
3
16
；
35
【解析】（1）记“至少有一只蓝球“为事件 A
4 7 5
，则P(A)1P(A)1 ；
7 9 9
（2）记“有一只蓝球一只白球“为事件 B ，则 P ( B )
3
7
4
9
2
7
2
9
1
6
6
3
；
（3） P ( B | A )
P
P
( A
( A
B
)
)
P
P
(
(
B
A
)
)
1 6
6 3
5
9
1
3
6
5
.1-2 基础真题
1.【答案】D
【解析】由题设， A B ，所以 P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) P ( A ) ，故选项（D）正
确.
对于选项（A）与选项（B）， A B A B ，如果 A B ，则 A B ，即 A 与
B互不相容；如果 A B ，则 A B ，即 A 与 B 相容. 又因事件 A 与 B 的任意
性，故选项（A）与选项（B）均不正确.
对于选项（C），由于 P ( A B ) P ( ) 0 ，且 P ( A ) ， P ( B ) 均不为零，故
P ( A B ) P ( A ) P ( B )
即选项（C）不正确.
综上可得，故选项（D）正确. 由题设， A B ，所以
P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) P ( A ) .
2.【答案】 P ( A
1
)
1
7
5
， P ( A
2
)
1
1
4
5
， P ( A
3
)
3
7
0
C3 7
【解析】P(A) 8 ，
1 C3 15
10
P ( A
2
)
2 C 39
C
31
0
C 38
1
1
4
5
，
P ( A
3
)
C 29
C
C
31
0
18
3
7
0
C2 7
或P(A ) 8 .
3 C3 30
10
3.【答案】 p
1
3
9
6
, q
1
1
8
【解析】一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36. 方程组有实根的充分必要条件是
B2 4C 0，即 C
B
4
2
；方程组有重根的充分必要条件是 B 2 4 C 0 ，即 C
B
4
2
.
易见B 1 2 3 4 5 6
使 C B 2 4 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6
使 C B 2 4 的基本事件个数 0 1 0 1 0 0
由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1246619，使方程有重根的基本
事件个数为 2 ，因此 p
1
3
9
6
, q
3
2
6
1
1
8
.
4.【答案】
1
2
7
5
（或0.68）
【解析】设这两个数为 x 和 y ，则(x,y)的取值范围为图中正方形 G ，那么“两数之和小
于
6
5
”，即“ x y
6
5
”，使 ( x , y ) 的取值范围为图中阴影部分 D . 本题为几何概型求概
率题，所求概率为 p
D
G
的
的
面
面
积
积
. 而 G 的面积为1，D的面积为 1
1
2
4
5
2
1
2
7
5
故 p
1
2
7
5
(或0. 68).
5.【答案】
1
2
1
π
【解析】记图中半圆区域为 G ，阴影部分区域为 D ，面积分别记为 S
G
和S ，则
D1
S πa2，
G 2
S
D
1
4
π a 2
1
2
a 2 ，所求概率为 p
S
S
D
G
1
2
1
π
.
6.【答案】B
【解析】由题意，可得ABC，则 P ( A B ) P ( C ) ，又因
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
则 P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( C ) . 故由 P ( A B ) 1 ，可知
P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 1
因此， P ( C ) P ( A ) P ( B ) 1 ，即选项（B）为正确选项.
9.【答案】
5
8
【解析】因 A B C A B ，且 P ( A B ) 0 ，故由P(ABC) P(AB)，可知P(ABC)0.
P(A B C) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)
1 1 1 1 5
0 00
4 4 4 8 8
8.【答案】
1
5
【解析】用A,B分别代表取出的第1件和第2 件为正品，则所求概率为
P(AB) A2 A2 43 65 1
P(AB A B) P(AB) P(A B) 4 1 6
1
.
1P(AB) A2 A2 109 109 5
10 10
9.【答案】 1 p
【解析】由
P(AB)P(AB)1P(A B)1[P(A)P(B)P(AB)]1 pP(B)P(AB)
得 P ( B ) 1 p .
10.【答案】D
【解析】由已知，得P(A|B)1P(A|B)P(A|B)，所以P
P
( A
( B
B
)
)
P
P
( A
( B
B
)
)
P ( A
1
)
P
P
(
(
B
A
)
B )
化简得P(AB) P(A)P(B)，选（D）.
11.【答案】B
【解析】由于 A B ，因此 A B A ，而 0 P ( B ) 1 ，所以
P ( A ) P ( A B ) P ( B ) P ( A | B ) P ( A | B ) ，故选（B）.
12.【答案】
1
5
2
3
0
；
2
5
0
3
【解析】记A {取的是第
i
i 个箱子} ( i 1 , 2 , 3 ) ， B {从箱子中取出的是白球}，则
1 1 3 1 5
P(A) P(A ) P(A ) ,P(B| A) ,P(B| A ) ,P(B| A ) .
1 2 3 3 1 5 2 6 2 3 8
①由全概率公式知：
P ( B ) P ( A
1
) P ( B A
1
) P ( A
2
) P ( B | A
2
) P ( A
3
) P ( B | A
3
)
1
3
1
5
1
3
1
2
1
3
5
8
1
5
2
3
0
.
② P ( A
2
| B )
P (
P
A
(
2
B
B
)
)
P ( A
2
)
P
P
(
(
B
B
)
| A
2
)
1
3
1
5
2
1
2
3
0
2
5
0
3
.
13.【答案】
1
4
【解析】根据加法公式
P(A B C) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)（*）
由于 A , B , C 两两相互独立， A B C ，P(A) P(B) P(C)，故
P(AB)P(AC)P(BC)P2(A)，P(ABC) P()0
9 3 1
因而（*）式化简为P(A B C)3P(A)3P2(A) ，解得P(A) 或P(A) .
16 4 4
1 1
根据题设，P(A) ，故P(A) .
2 414.【答案】
2
3
【解析】根据题意，事件 A ， B 相互独立，且 P ( A B )
1
9
， P ( A B ) P ( A B ) . 根据 A
和 B 的相互独立性及 P ( A B ) P ( A B ) ，知 P ( A ) P ( B ) ，因而 P ( A B ) [1 P ( A ) ] 2 ，
而 P ( A B )
1
9
，故 P ( A )
2
3
.
15.【答案】
2
3
【解析】记事件 A
i
{取出的产品为 i 等品}， i 1 , 2 , 3 , A
1
, A
2
, A
3
互不相容，则所求概率为
P ( A
1
A
1
A
2
)
P (
P
A
(
1
A
1
)
A
2
)
P ( A
P
1
)
(
A
1
P
)
( A
2
)
0 . 6
0 .
6
0 . 3
2
3
.
16.【答案】
3
7
【解析】记 C {取的产品是 A 厂生产的}， D {取的是次品}. 由题意知：
P(C)0.6， P ( C ) 0 .4 ， P ( D | C ) 0 . 0 1 ， P ( D | C ) 0 .0 2 .
故 P ( C | D )
P
P
( C
( D
D
)
)
P ( C ) P (
P
D
( C
| C
) P
)
( D
P
| C
( C
)
) P ( D | C )
0 . 6 0
0
.
.
0
6
1
0
0
. 0
. 4
1
0 . 0 2
3
7
.
17.【答案】C
【解析】方法一： P ( A
1
) P ( A
2
) P ( A
3
)
1
2
， P ( A
1
A
2
)
1
4
， P ( A
1
A
3
)
1
4
，
1
P(A A ) ，此时满足P(AA )P(A)P(A )，P(AA )P(A)P(A )，
2 3 4 1 2 1 2 1 3 1 3
P(A A )P(A )P(A )，故A,A ,A 两两独立，
2 3 2 3 1 2 3
P(AA A )P()0 P(A)P(A )P(A )，故答案选（C）.
1 2 3 1 2 3
方法二：根据相互独立必两两独立可首先排除（A）(B)；其次A A ，可知A ,A 不
3 4 3 4
独立，故排除（D），答案选（C）.18.【答案】
1
3
【解析】设 P ( A ) p ，设三次实验实验中 A 出现的次数为 X ，则 X ~ B ( 3 , p ) ，由
P { X 1 }
1
2
9
7
得 P { X 0 } C 03 p 0 (1 p ) 3 (1 p ) 3
8
2 7
1
，所以解得 p ，即事件
3
A在一次试验中出现的概率为
1
3
.
19.【答案】
2
3
【解析】方法一：这是一个四重伯努利试验概率模型，设试验的成功率即射手的命中率为
p，则进行四次独立的射击，设事件 Y 为＂射手命中目标的次数＂，Y 服从参数
n 4 , p
8
8
0
1
的二项分布，由二项分布的概率公式，事件＂四次均不中＂的概率为
(1 p)4，它是至少命中一次的对立事件. 依题意 ( 1 p ) 4 1
8
8
0
1
1 p
1
3
p
2
3
.
方法二：随机变量 X 表示独立地进行射击中命中目标的次数， p 表示一次射击的命中
率，则 X ~ B ( 4 , p )
4 1
，依题意P{X 0}1P{X k} ，即
81
k1
( 1 p ) 4
1
8 1
p
2
3
.1-3拓展拔高
1.【答案】
4
8
1
1
【解析】设A表示“任取的四个数字能组成不重复的四位偶数”.将四位偶数分为两类：
① 0排个位，一共有A3种方法；
9
② 2、4、6、8中任一数排个位各有A1A2种，共有4A1A2种方法.
8 8 8 8
A34A1A2 41
故 P(A) 9 8 8 .
A1A3 81
9 9
2.【答案】
【解析】E,E,R,R,F,O,V 七个字母随机地排成一行，所有的排法有7!种，其中 E 有两
个， R 有两个，所以不同的英文单词有
7
4
!
1 2 6 0 个，所以恰好排成英文单词
FOREVER的概率为
1 2
1
6 0
.
3.【答案】A
【考点】概率基本计算公式
【解析】因为 B A ，所以 A B B ，
（A）选项： P(AB)P(A B)1P(A B)
1P(A)P(B)P(AB)1P(A)，正确；
（B）选项： P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P ( A B ) ，根据（A）选项， P ( A B ) 不一定等于
0 ，所以P(B A)P(B)P(A)不一定成立，错误；
（C）选项： P ( B | A )
P
P
( A
( A
B
)
)
P
P
(
(
B
A
)
)
，错误；
P(AB) P(A)P(AB) P(A)P(B)
（D）选项：P(A|B) ，错误.
P(B) 1P(B) 1P(B)
故答案选（A）.
1 2
1
6 04.【答案】（Ⅰ） 0 . 9 8 ；（Ⅱ） 0 .6
【解析】方法一：设事件 A 表示系统 A 有效，事件B表示系统B有效.
由于 A 失灵条件下 B 有效的概率为 0 . 8 ，所以 P ( B A ) 0 . 8 .
（Ⅰ）
P ( A B )
1
1
P
[1
( A
P (
B
A
)
) ]
[1
1
P
P
(
(
B
A B
A
)
) ]
1
1
P (
(1
B
0
A )
.9
P (
) (1
A
)
0 .8 ) 0 .9 8 .
（Ⅱ）
P ( A | B )
P
1
1
(
P
A B
( B
[ P
( 0
)
)
( A
.1
1 P (
1 P
) P ( B
1 P ( B
0 .9 5
1 0 .9 5
A
(
)
0
B
B )
)
.8
)
P
(
0
1
A B
.1 )
1
)
P
]
( A
P (
1
0 .0
0 .0
B
3
5
B
)
[ P
)
(
0
A
. 6
) P
1
(
B )
P
( B
P
)
( B A ) P ( A ) ]
方法二：
（Ⅰ）因为
P ( A B )
1
1
1
1
P
[
[
[
( A
P (
P (
0 . 1
B
A
A
)
)
)
0
.
1
P
P
0 5
( B
( B
P
)
)
( 1
( A
P
( 1
0
B
( B
P
. 8 )
)
A
(
)
B
0
1
P
. 1
(
A
]
[
A
) )
P
) ]
P
0
( A
( A
. 8
)
)
7
]
P ( B ) P ( A B ) ]
所以P(A B) P(A)P(B)P(AB)0.90.950.870.98.
（Ⅱ） P ( A B )
P
P
( A
( B
B
)
)
P ( A
1
)
0
P
. 9
( A
5
B )
0 .
1
9
0
0
.
.
9
8
5
7
0 . 6 .
4
5.【答案】
13
【解析】本题的随机试验有明显的两步特征，根据全概率公式，P{Y 2} P{X 1,Y 2}P{X 2,Y 2}P{X 3,Y 2}P{X 4,Y 2}
P{X 1}P{Y 2| X 1}P{X 2}P{Y 2| X 2}
P{X 3}P{Y 2| X 3}P{X 4}P{Y 2| X 4}
1 1 1 1 1 1 1 13
0
4 4 2 4 3 4 4 48
1 1
P{X 3,Y 2} P{X 3}P{Y 2| X 3} 4 3 4
P{X 3|Y 2}
P{Y 2} P{Y 2} 13 13
48
6.【答案】（Ⅰ） 0 . 3 ；（Ⅱ）
3
7
【解析】（Ⅰ）依题意P(A)1P(A)0.6，
P(AB)
P(B| A)1P(B| A)1 0.5，故
P(A)
P ( A B ) 0 . 3
（Ⅱ）
P[B(A B)] P(B) 3
P(B| A B)1P(B| A B)1 1
P(A B) P(A)P(B)P(AB) 7
7.【答案】 0 .7
【解析】根据 P ( A | B ) P ( A | B ) 1 ，可得 P ( A | B ) 1 P ( A | B ) P ( A | B ) ，即
P(AB) P(AB) P(A)P(AB)
，从而可得：P(AB) P(A)P(B)，故事件
P(B) P(B) 1P(B)
A , B 相
互独立，又因 P ( A ) 0 . 4 ， P ( A B ) 0 . 2 ，故 P ( B ) 0 . 5 ，所以
P(AB) P(A)P(B)P(AB)0.40.50.20.7.
8.【答案】（Ⅰ）
2
5
；（Ⅱ）
【解析】设事件 A
690
1421
{挑出的是第一箱}，B {从该箱中先取出的是一等品}，B {从该
1 2
箱中后取出的是一等品}，则
1 10 1 18 3
P(A) P(A) ，P(B | A) ，P(B | A) ，
2 1 50 5 1 30 5P ( B
1
B
2
| A )
1
5
0
0
9
4 9
2
9
4 5
， P ( B
1
B
2
| A )
1
3
8
0
1
2
7
9
1
5
4
1
5
.
（Ⅰ）由全概率公式得
1 1 1 3 2
p P(B ) P(B | A)P(A)P(B | A)P(A) .
1 1 1 2 5 2 5 5
（Ⅱ）由全概率公式得
1 9 1 51 276
P(BB ) P(BB | A)P(A)P(BB | A)P(A)
1 2 1 2 1 2 2 245 2 145 1421
故 q P ( B
2
| B
1
)
P (
P
B
(
1B
B
1
2)
)
1
2
4
7
22
5
6
1
1
6
4
9
2
0
1
.
6 3
9.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
11 4
【解析】（Ⅰ）设事件A {选甲去射击}，
1
A
2
{选乙去射击}，B {目标被命中}
由全概率公式
P ( B ) P ( A
1
) P ( B | A
1
) P ( A
2
) P ( B | A
2
)
1
2
0 .6
1
2
0 .5 0 .5 5 ，
由贝叶斯公式
P(AB) P(A)P(B| A) 0.3 6
P(A |B) 1 1 1
1 P(B) P(B) 0.55 11
；
（Ⅱ）设事件A {甲命中目标}，A {乙命中目标}，B {甲乙至少有一人命中目标}
1 2
P(AB)
所求概率为P(A |B) 1 ，即
1 P(B)
P(B)P(A A )P(A)P(A )P(AA )0.60.50.30.8，
1 2 1 2 1 2
P(AB) 0.6 3
故P(A |B) 1 .
1 P(B) 0.8 4
10.【答案】C【解析】容易得到 P ( A ) P ( B )
1
2
， P ( A B )
1
4
， B C ，故：
P ( A B C ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B C ) ，
所以 A 与 B C 独立，故答案选（C）.
11.【答案】（Ⅰ）
1
3
0
；（Ⅱ）
7
4 0
；（Ⅲ）
3
8
；（Ⅳ）
1
2
7
4
【解析】设事件 A
i
{第 i 次取到次品} ( i 1 , 2 , 3 ) .
（Ⅰ）根据“抽签原理”，第三次取得次品的概率和第一次取得次品的概率相等，即
P ( A
3
)
1
3
0
；
（Ⅱ） P ( A
1
A
2
A
3
)
1
7
0
6
9
3
8
7
4 0
；
（Ⅲ）已知前两次已发生的结果，唯一不确定的就是第三次，所以只要想象成前两次已经
取到正品，剩下 8 件产品，包含3件次品5件正品，此时能取到次品的概率为
P ( A
3
| A
1
A
2
)
3
8
；
（Ⅳ） P ( A
1
A
2
A
3
) 1 P ( A
1
A
2
A
3
) 1 P ( A
1
) P ( A
2
| A
1
) P ( A
3
| A
1
A
2
) 1
7
2 4
1
2
7
4
.
