(1.1.9)-第十二章无穷级数（仅数一、数三）_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料_{1}-基础精讲简版答案和视频索引_{1}-高数

第十二章 无穷级数（仅数一、数三考）
第1 节 常数项级数的概念和性质
例12.1.1
答案： n

= 0
a  q n =

1
发
a
−
散
q
,
， q
−

1
1

或
q
q


1
− 1
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:09:59
例12.1.2
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:18:01
例12.1.3
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:22:34
例12.1.4
答案： 选A
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:43:59
例12.1.5
答案： 发散
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:46:09
例12.1.6
答案： −u
1
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:47:37
例12.1.7
答案： 选D
详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质
数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:51:18第2 节 正项级数敛散性的判别法 1
例12.2.1
答案：

n
= 1
1
n p
 p
p


1
1
,
,
收
发
敛
散
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:17:19
例12.2.2
答案： p  1 时，收敛； p1时，发散.
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:24:14
例12.2.3
答案： 发散
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:36:39
例12.2.4
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:39:36
例12.2.5
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1
数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:41:17
第3 节 正项级数敛散性的判别法 2
例12.3.1
答案： （1）发散（2）收敛（3）收敛（4）收敛
详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2
数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2 00:06:42
例12.3.2
答案： （1）发散（2）收敛（3）收敛（4）收敛
详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2 00:17:27
例12.3.3
答案： （1）收敛（2）收敛
详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2
数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2 00:30:33
第 4 节 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
例12.4.1
答案： 当 p  0 时，收敛；当 p  0 时，发散
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:05:51
例12.4.2
答案： 选C
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:12:35
例12.4.3
答案： 收敛
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:15:14
例12.4.4
答案： （1）条件收敛（2）绝对收敛（3）绝对收敛（4）条件收敛
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:27:41
例12.4.5
答案： 选D
详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法
数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:37:50
第5 节 幂级数及其收敛域
例12.5.1
答案：
收敛域为x(−1,1)
，和函数为
1
1
− x
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:10:43例12.5.2
答案： 选B
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:19:44
例12.5.3
答案： 收敛半径为 1 ，收敛域为(−1,1]
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:39:26
例12.5.4
答案： 收敛半径分别为 +  和 0
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:42:13
例12.5.5
答案： 收敛域[−1,3)
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:44:32
例12.5.6
答案：
1
2
详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域
数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:47:50
第6 节 幂级数求和函数 1
例12.6.1
答案： （1） S ( x ) =

−
1
x
l n (
1
1
,
− x ) , x  [ − 1
x
, 0
=
)
0
( 0 , 1 )
（2） S ( x ) = − l n ( 1 + x ) , x  ( − 1 , 1 ]
x+1
（3）S(x)= ,x(−1,1)
(1−x)2
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1 00:32:25例12.6.2
答案： S ( x ) =
( 1 −
x
x ) 2
− l n ( 1 − x ) , x  ( − 1 , 1 )
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1 00:60:33
例12.6.3
 1 1+x x2
−1+ ln − , x(−1,0) (0,1)
答案： S(x)= 2x 1−x 1−x2

 0, x=0
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1 00:66:43
例12.6.4
答案： S ( x ) = e x − 1 , x  ( −  , +  )
详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1
数三见高数75 幂级数求和函数1 00:73:37
第7 节 幂级数求和函数 2
例12.7.1
答案： 3
详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2
数三见高数76 幂级数求和函数2 00:04:26
例12.7.2
答案：
4

详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2
数三见高数76 幂级数求和函数2 00:08:57
例12.7.3
答案：
2
2
2
7
详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2
数三见高数76 幂级数求和函数2 00:16:11第8 节 函数展开成幂级数
例12.8.1
答案： n

= 0
( − 1 ) n x 2 n , x  ( − 1 , 1 )
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 00:16:18
例12.8.2
答案：

n
= 1
 ( − 1 ) n − 1
n
2 n − 1 
x n , x  ( −
1
2
,
1
2
]
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 00:18:52
例12.8.3
答案：

n
= 1
n x n − 1 , x  ( − 1 , 1 )
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 00:24:18
例12.8.4
答案： n

= 0
( 2 n +
(
1
−
)
1
!
)( n
2 n + 1 )
x 2 n + 1 , x  ( −  , +  )
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 00:30:44
例12.8.5
答案：
2
2
n 0
(
(
2 n
1 n )
1 ) !
x
4
2 n 1
n 0
((
2
1
n
n ))
!
x
4
2 n
, x ( , )
  


=
−
+

−
 +
+ 

=
− 
−
 
 −  +  ，
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 00:35:13
例12.8.6
  1 1 
答案： (−1)n  −  (x−1)n ,x(−1,3)
2n+2 22n+3 
n=0
详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数
数三见高数77 函数展开成幂级数 00:38:19第9 节 傅里叶级数（仅数一考）
例12.9.1
    1 (−1)n−1  
答案： − +  1−(−1)ncosnx+ sinnx
4 n2  n
n=1 
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:05:52
例12.9.2
答案：
2
n 1
n
1
2
( ( 1 ) n 1 ) c o s n x 

+  
=
− −
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:15:12
例12.9.3
答案： 正弦级数
n 1
n
2
1 ( 1 ) n ( 1 ) n s i n n x 



=
 − − − −  ；
余弦级数
2
2
n 1
n
2
2
( 1 ) n 1 c o s n x


+
+ 

=
 − − 
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:26:35
例12.9.4
答案： k
2
n 1
n
k ( 1 ( 1 ) n ) s i n n
2
x 

+  
=
− −
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:35:03
例12.9.5
答案：
2
2 
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:46:24
例12.9.6
答案： 选C
详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:49:02