(1.1.9)-第十二章无穷级数（仅数一、数三）_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料_{1}-基础精讲简版答案和视频索引_{1}-高数

第十二章 无穷级数（仅数一、数三考） 第1 节 常数项级数的概念和性质 例12.1.1 答案： n  = 0 a  q n =  1 发 a − 散 q , ， q −  1 1  或 q q   1 − 1 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:09:59 例12.1.2 答案： 收敛 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:18:01 例12.1.3 答案： 收敛 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:22:34 例12.1.4 答案： 选A 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:43:59 例12.1.5 答案： 发散 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:46:09 例12.1.6 答案： −u 1 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:47:37 例12.1.7 答案： 选D 详细讲解—数一见高数73 常数项级数的概念和性质 数三见高数70 常数项级数的概念和性质 00:51:18第2 节 正项级数敛散性的判别法 1 例12.2.1 答案：  n = 1 1 n p  p p   1 1 , , 收 发 敛 散 详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1 数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:17:19 例12.2.2 答案： p  1 时，收敛； p1时，发散. 详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1 数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:24:14 例12.2.3 答案： 发散 详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1 数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:36:39 例12.2.4 答案： 收敛 详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1 数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:39:36 例12.2.5 答案： 收敛 详细讲解—数一见高数74 正项级数敛散性的判别法1 数三见高数71 正项级数敛散性的判别法1 00:41:17 第3 节 正项级数敛散性的判别法 2 例12.3.1 答案： （1）发散（2）收敛（3）收敛（4）收敛 详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2 数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2 00:06:42 例12.3.2 答案： （1）发散（2）收敛（3）收敛（4）收敛 详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2 00:17:27 例12.3.3 答案： （1）收敛（2）收敛 详细讲解—数一见高数75 正项级数敛散性的判别法2 数三见高数72 正项级数敛散性的判别法2 00:30:33 第 4 节 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 例12.4.1 答案： 当 p  0 时，收敛；当 p  0 时，发散 详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:05:51 例12.4.2 答案： 选C 详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:12:35 例12.4.3 答案： 收敛 详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:15:14 例12.4.4 答案： （1）条件收敛（2）绝对收敛（3）绝对收敛（4）条件收敛 详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:27:41 例12.4.5 答案： 选D 详细讲解—数一见高数76 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 数三见高数73 交错级数与任意项级数敛散性的判别法 00:37:50 第5 节 幂级数及其收敛域 例12.5.1 答案： 收敛域为x(−1,1) ，和函数为 1 1 − x 详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域 数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:10:43例12.5.2 答案： 选B 详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域 数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:19:44 例12.5.3 答案： 收敛半径为 1 ，收敛域为(−1,1] 详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域 数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:39:26 例12.5.4 答案： 收敛半径分别为 +  和 0 详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域 数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:42:13 例12.5.5 答案： 收敛域[−1,3) 详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域 数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:44:32 例12.5.6 答案： 1 2 详细讲解—数一见高数77 幂级数及其收敛域 数三见高数74 幂级数及其收敛域 00:47:50 第6 节 幂级数求和函数 1 例12.6.1 答案： （1） S ( x ) =  − 1 x l n ( 1 1 , − x ) , x  [ − 1 x , 0 = ) 0 ( 0 , 1 ) （2） S ( x ) = − l n ( 1 + x ) , x  ( − 1 , 1 ] x+1 （3）S(x)= ,x(−1,1) (1−x)2 详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1 数三见高数75 幂级数求和函数1 00:32:25例12.6.2 答案： S ( x ) = ( 1 − x x ) 2 − l n ( 1 − x ) , x  ( − 1 , 1 ) 详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1 数三见高数75 幂级数求和函数1 00:60:33 例12.6.3  1 1+x x2 −1+ ln − , x(−1,0) (0,1) 答案： S(x)= 2x 1−x 1−x2   0, x=0 详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1 数三见高数75 幂级数求和函数1 00:66:43 例12.6.4 答案： S ( x ) = e x − 1 , x  ( −  , +  ) 详细讲解—数一见高数78 幂级数求和函数1 数三见高数75 幂级数求和函数1 00:73:37 第7 节 幂级数求和函数 2 例12.7.1 答案： 3 详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2 数三见高数76 幂级数求和函数2 00:04:26 例12.7.2 答案： 4  详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2 数三见高数76 幂级数求和函数2 00:08:57 例12.7.3 答案： 2 2 2 7 详细讲解—数一见高数79 幂级数求和函数2 数三见高数76 幂级数求和函数2 00:16:11第8 节 函数展开成幂级数 例12.8.1 答案： n  = 0 ( − 1 ) n x 2 n , x  ( − 1 , 1 ) 详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数 数三见高数77 函数展开成幂级数 00:16:18 例12.8.2 答案：  n = 1  ( − 1 ) n − 1 n 2 n − 1  x n , x  ( − 1 2 , 1 2 ] 详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数 数三见高数77 函数展开成幂级数 00:18:52 例12.8.3 答案：  n = 1 n x n − 1 , x  ( − 1 , 1 ) 详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数 数三见高数77 函数展开成幂级数 00:24:18 例12.8.4 答案： n  = 0 ( 2 n + ( 1 − ) 1 ! )( n 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , x  ( −  , +  ) 详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数 数三见高数77 函数展开成幂级数 00:30:44 例12.8.5 答案： 2 2 n 0 ( ( 2 n 1 n ) 1 ) ! x 4 2 n 1 n 0 (( 2 1 n n )) ! x 4 2 n , x ( , )      = − +  −  + +   = −  −    −  +  ， 详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数 数三见高数77 函数展开成幂级数 00:35:13 例12.8.6   1 1  答案： (−1)n  −  (x−1)n ,x(−1,3) 2n+2 22n+3  n=0 详细讲解—数一见高数80 函数展开成幂级数 数三见高数77 函数展开成幂级数 00:38:19第9 节 傅里叶级数（仅数一考） 例12.9.1     1 (−1)n−1   答案： − +  1−(−1)ncosnx+ sinnx 4 n2  n n=1  详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:05:52 例12.9.2 答案： 2 n 1 n 1 2 ( ( 1 ) n 1 ) c o s n x   +   = − − 详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:15:12 例12.9.3 答案： 正弦级数 n 1 n 2 1 ( 1 ) n ( 1 ) n s i n n x     =  − − − −  ； 余弦级数 2 2 n 1 n 2 2 ( 1 ) n 1 c o s n x   + +   =  − −  详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:26:35 例12.9.4 答案： k 2 n 1 n k ( 1 ( 1 ) n ) s i n n 2 x   +   = − − 详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:35:03 例12.9.5 答案： 2 2  详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:46:24 例12.9.6 答案： 选C 详细讲解—数一见高数81 傅里叶级数 00:49:02