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中考数学一轮复习 整式
一．选择题（共10小题）
1．随地震波而来的是地底积蓄已久的能量．因为里氏震级并不像摄氏温度一样是等分性的指标，因
此每两级地震所释放的能量也相差巨大．根据里克特在1953年提出的公式计算，每一级地震释
放的能量都是次一级地震的√1000倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125
倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶
川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次
所释放的能量约是后次的（ ）
A．22倍 B．34倍 C．40倍 D．251倍
√2+1 (√2+1)(√2+1)
2．例如： = =2√2+3．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根
√2−1 (√2−1)(√2+1)
号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
3
①若a是√3的小数部分，则 的值为3√3+6；
a
②比较大小：√2024−√2023＜√2023−√2022；
1 2+√2−√6
③变形： = ；
√3+√2+1 4
2 2 2 2 √11
④计算 + + +⋯+ =1− ；
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 99√97+97√99 33
√m+1−√m √m+1+√m
⑤已知a= ，b= ，且a2+1926ab+b2＝2024，则所有可能的整数m的和
√m+1+√m √m+1−√m
为﹣1．以上结论正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
3．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n
的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：
p
F（n）= ．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12
q
3
的最佳分解，所以F（12）= ．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然
4
数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我
们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有（ ）
3
（1）F（48）= ；
4
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（2）15和26是“吉祥数”；
3
（3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
4
（4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意
一个完全平方数m，总有F（m）＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车
辆数如图所示．图中x ，x ，x 分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数
1 2 3
（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ）
A．x ＞x ＞x B．x ＞x ＞x C．x ＞x ＞x D．x ＞x ＞x
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
5．著名数学家斐波那契发现著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13…，这个数列从第3项开始，
每一项都等于前两项之和，如图1，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形；如图
2，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成长方形并标记①，②，③，④，
若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形的周长是（ ）
A．466 B．288 C．233 D．178
6．2002年韩日足球世界杯共有32支球队参赛，第一轮共有8个小组进行循环赛（每组4个队，每
个队与其它3个队进行单循环比赛）；各组前2名进入第二轮16强比赛；第二轮按规则进行淘汰
赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局）进入8强；第三轮也按规则进行淘汰赛，进入前4名．第
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四轮将前4名分二组决出胜负，二负者决3、4名，二胜者决冠亚军，则这届世界杯共有多少比赛
场次？（ ）
A．112 B．64 C．63 D．38
7．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差
写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样
的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从
数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（ ）
A．500 B．520 C．780 D．2000
8．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，
2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三
步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角
的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为
1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，
1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，
其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．19
10．对点（x，y）的一次操作变换记为P （x，y），定义其变换法则如下：P （x，y）＝（x+y，x﹣
1 1
y）；且规定P
n
（x，y）＝P
1
（P
n﹣1
（x，y））（n为大于1的整数）．如P
1
（1，2）＝（3，﹣
1），P （1，2）＝P （P （1，2））＝P （3，﹣1）＝（2，4），P （1，2）＝P （P （1，
2 1 1 1 3 1 2
2））＝P （2，4）＝（6，﹣2）．则P （1，﹣1）＝（ ）
1 2011
A．（0，21005） B．（0，﹣21005）
C．（0，﹣21006） D．（0，21006）
二．填空题（共5小题）
11．长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B，C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方
形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转第1次后，点D所对应的数为1；绕点D翻转
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第2次后点A对应的数为2；以此类推继续翻转，则翻转2024次后，落在数轴上的两点所对应的
数中较大的是 ．
12．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r（a≥b，且b≠0，0≤r＜b）若被除数a
和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．
在实数范围中，也有a＝bq+r（a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b），若被除数是
7√2，除数是2，则q+r＝ ．
3
13．如图①，数轴上点A对应的数为﹣1，线段AB垂直于数轴，线段AB的长为 ．
2
（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点为B′，则点B'在数轴上表示的数为
；
（2）在（1）的条件下，连接BB'，则线段BB'的长度可能落在图②中的第 段（填序
号）；
（3）若要使线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点B′与原点重合，则数轴的单位长度
需扩大为原来的 倍．
14．如图所示，数轴被折成90°，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，
3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数
轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 重合．
15．对于一个三位正整数Q，若各位数上的数字都不为0且互不相等，如果满足百位数字等于与个
位与十位数字的三倍之和，则称这个三位正整数Q为“趣数”．若一个“趣数”为Q=a21，则
这个数为 ；若交换“趣数”的百位数字和个位数字得到一个新三位数 Q′，且Q′
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﹣1是7的倍数，则满足条件的Q′的最大值是 ．
三．解答题（共5小题）
16．阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，
且AB＝|a﹣b|；
回答下列问题：
（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ；
②在①的情况下，如果AB＝3，那么x为 ；
（2）代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
（3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且（c﹣5）2+|a+b|＝0，
①直接写出a、b、c的值．
②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B
和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点
C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t
的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
17．【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大
的正方形纸片．
（1）大正方形纸片的边长为 cm；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽
之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
18．阅读下列材料，然后回答问题．
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
2 2(√3−1) 2(√3−1)
一步化简： = = =√3−1．
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2−12
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3，
∴1＜√5−1＜2．
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∴√5−1的整数部分为1．
∴√5−1的小数部分为√5−2．
2
（1）化简 ；
√5+√3
1
（2）已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−√3
①求a＝ ，b＝ ．
②求a2+b2的值．
19．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b
为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法
运算与整式的加、减、乘法运算类似（实数将在八年级进行学习，实数包括有理数）．例如：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；i3＝i•i•i＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i；
（1+i）（2+3i）＝1×2+1•3i+i•2+i•3i＝2+3i+2i+3•i2＝2+3i+2i+3×（﹣1）＝﹣1+5i．
（1）填空：2i4＝ ，i5＝ ；
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i3）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+y）﹣3i＝（1﹣x）﹣yi（x，y为有理数），求x2+y的值；
1+i
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi（a，b为有理数）的形式．
1−i
20．定义：若无理数√T的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称
无理数√T的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以√3的“共同体区间”为
（1，2）．请回答下列问题：
（1）√26的“共同体区间”为 ；
（2）若无理数√a的“共同体区间”为（2，3），求√a+6的“共同体区间”；
（3）若整数x，y满足关系式：√x−3+|2023+(y−4) 2|=2024，求√x(y+1)的“共同体区
间”．
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中考数学一轮复习 整式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．随地震波而来的是地底积蓄已久的能量．因为里氏震级并不像摄氏温度一样是等分性的指标，因
此每两级地震所释放的能量也相差巨大．根据里克特在1953年提出的公式计算，每一级地震释
放的能量都是次一级地震的√1000倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125
倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶
川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次
所释放的能量约是后次的（ ）
A．22倍 B．34倍 C．40倍 D．251倍
【考点】实数的运算．
【专题】压轴题；阅读型．
【答案】D
【分析】由于每一级地震释放的能量都是次一级地震的√1000倍．这意味着，里氏震级每高出
0.1级，就会多释放出0.4125倍的能量，而5月12日下午2时28分四川汶川地区发生的8.0级大
地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级通过计算易得前次所释放的能量约是后
次的251倍．
【解答】解：依题意得 （√1000）1.6=√5 (√1000) 8≈251．
或 （√1000）1.6＝（10000.05）16＝（1.4125）16≈251，
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的运算，此题结合“5.12”地震来阐述有关地震的能量，通过计算
易得，前次所释放的能量约是后次的251倍，解答此题的关键是要弄清题意列式计算．
√2+1 (√2+1)(√2+1)
2．例如： = =2√2+3．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根
√2−1 (√2−1)(√2+1)
号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
3
①若a是√3的小数部分，则 的值为3√3+6；
a
②比较大小：√2024−√2023＜√2023−√2022；
1 2+√2−√6
③变形： = ；
√3+√2+1 4
2 2 2 2 √11
④计算 + + +⋯+ =1− ；
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 99√97+97√99 33
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√m+1−√m √m+1+√m
⑤已知a= ，b= ，且a2+1926ab+b2＝2024，则所有可能的整数m的和
√m+1+√m √m+1−√m
为﹣1．以上结论正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
【考点】估算无理数的大小；平方差公式；二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，按照分母有理化的方法，对各式进行化简整理，即可得到结果．
【解答】解：①∵a是√3的小数部分，
∴a=√3−1，
3 3 3(√3+1) 3√3+3
∴ = = = ，
a √3−1 (√3−1)(√3+1) 2
故原计算错误，该结论不符合题意；
1 √2024+√2023 √2024+√2023
②
= = =√2024+√2023，
√2024−√2023 (√2024−√2023)(√2024+√2023) 2024−2023
1 √2023+√2022 √2023+√2022
= = =√2023+√2022，
√2023−√2022 (√2023−√2022)(√2023+√2022) 2023−2022
∵(√2024+√2023)＞(√2023+√2022)，
1 1
∴ ＞ ，
√2024−√2023 √2023−√2022
∴√2024−√2023＜√2023−√2022，
故原计算正确，该结论符合题意；
1
③
√3+√2+1
√3+√2−1
=
[(√3+√2)+1][(√3+√2)−1]
√3+√2−1
=
(√3+√2) 2−1
√3+√2−1
=
4+2√6
(√3+√2−1)(4−2√6)
=
(4+2√6)(4−2√6)
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−2√2−4+2√6
=
−8
√2+2−√6
= ，
4
故原计算正确，该结论符合题意；
2
④
(2n+1)√2n−1+(2n−1)√2n+1
2[(2n+1)√2n−1−(2n−1)√2n+1]
=
(2n+1) 2 (2n−1)−(2n−1) 2 (2n+1)
(2n+1)√2n−1−(2n−1)√2n+1
=
(2n+1)(2n−1)
√2n−1 √2n+1
= − ，
2n−1 2n+1
2 2 2
∴ + +⋯+
3+√3 5√3+3√5 99√97+97√99
√1 √3 √3 √5 √97 √99
＝（ − ）+（ − ）+…+（ − ）
1 3 3 5 97 99
√1 √99
= −
1 99
√11
＝1− ，
33
故原计算正确，该结论符合题意；
√m+1−√m (√m+1−√m) 2
⑤∵a= = =2m+1﹣2√m(m+1)，
√m+1+√m (√m+1+√m)(√m+1−√m)
√m+1+√m (√m+1+√m) 2
b= = =2m+1+2√m(m+1)，
√m+1−√m (√m+1−√m)(√m+1+√m)
∴a+b＝4m+2，
ab＝（2m+1）2﹣4[m（m+1）]＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1，
∵a2+1926ab+b2＝2024，
∴（a+b）2+1924ab＝2024，
∴（4m+2）2+1924＝2024，
∴（4m+2）2＝100，
∴4m+2＝10或﹣10，
∴m＝2或﹣3，
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∵m≥0，
∴m＝2，
∴所有可能的整数m的和为2，
故原计算不正确，该结论不符合题意，
综上所述，结论正确的是②③④，
故选：B．
【点评】本题考查了分母有理化方法的应用，熟练掌握新方法是解题的关键．
3．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n
的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：
p
F（n）= ．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12
q
3
的最佳分解，所以F（12）= ．如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然
4
数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我
们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有（ ）
3
（1）F（48）= ；
4
（2）15和26是“吉祥数”；
3
（3）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
4
（4）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意
一个完全平方数m，总有F（m）＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】因式分解的应用．
【专题】压轴题；创新意识．
【答案】D
【分析】（1）将48分解因数，进而找出48的最佳分解即可得出结论；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，根据“吉祥数”的定
义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可；
（4）根据（1）的特点找出m的最佳分解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，而48﹣1＞24﹣2＞16﹣3＞12﹣4＞8
﹣6，6×8是48的最佳分解，
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6 3
∴F（48）= = ，故正确；
8 4
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59，故正确；
3 2 1 6 3 1
（3）F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，
5 13 37 8 4 59
3 3 2 1 1
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
4 5 13 37 59
3
∴“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ，故正确．
4
故说法正确的有4个．
（4）∵m是一个完全平方数，
设m＝x2（x＞0），
∴x×x是m的最佳分解，
x
∴F（m）= =1，故正确；
x
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是
解本题的关键．
4．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车
辆数如图所示．图中x ，x ，x 分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数
1 2 3
（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ）
A．x ＞x ＞x B．x ＞x ＞x C．x ＞x ＞x D．x ＞x ＞x
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
【考点】整式的加减．
【专题】其他问题；压轴题．
【答案】C
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【分析】给出一个交通环岛，通过图形给出一些数据，其实问题就是加减法，但要抓住主线，即
车辆的来源．据此列方程比较其大小一眼可见．
【解答】解：依题意，有x ＝50+x ﹣55＝x ﹣5，推出x ＜x ，
1 3 3 1 3
同理，x ＝30+x ﹣20＝x +10，推出x ＜x ，
2 1 1 1 2
同理，x ＝30+x ﹣35＝x ﹣5，推出x ＜x ．
3 2 2 3 2
故选：C．
【点评】段上的车辆数x 有两部分组成，一是从A口进来的50辆，二是从段上分流过来的x ﹣
1 3
55，于是有x ＝50+x ﹣55＝x ﹣5，所以x ＜x ，同理得x ＜x ，答案为C．
1 3 3 1 3 3 2
5．著名数学家斐波那契发现著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13…，这个数列从第3项开始，
每一项都等于前两项之和，如图1，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形；如图
2，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成长方形并标记①，②，③，④，
若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形的周长是（ ）
A．466 B．288 C．233 D．178
【考点】规律型：图形的变化类；数学常识．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】D
【分析】观察图形的变化，后一个长方形的宽是前一个长方形的长，后一个长方形的长是前一个
长方形的长与宽的和，再求周长即可．
【解答】解：观察图形可知：
序号为①的长方形的宽为1，长为2，
序号为②的长方形的宽为2，长为3，
序号为③的长方形的宽为3，长为5，
序号为④的长方形的宽为5，长为8，
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序号为⑤的长方形的宽为8，长为13，
序号为⑥的长方形的宽为13，长为21，
序号为⑦的长方形的宽为21，长为34，
序号为⑧的长方形的宽为34，长为55，
∴序号为⑧的长方形的周长为2（55+34）＝178．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是寻找规律．
6．2002年韩日足球世界杯共有32支球队参赛，第一轮共有8个小组进行循环赛（每组4个队，每
个队与其它3个队进行单循环比赛）；各组前2名进入第二轮16强比赛；第二轮按规则进行淘汰
赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局）进入8强；第三轮也按规则进行淘汰赛，进入前4名．第
四轮将前4名分二组决出胜负，二负者决3、4名，二胜者决冠亚军，则这届世界杯共有多少比赛
场次？（ ）
A．112 B．64 C．63 D．38
【考点】有理数的混合运算．
【专题】应用题；压轴题．
【答案】B
【分析】根据题意，知第一轮需要赛8×（3+2+1）场；进入第二轮的有16个队，需赛8场；有8
个队进入第三轮，赛4场；有4个队进入第四轮，赛2场，最后再赛2场．
【解答】解：根据分析，得
共比赛场次8×（3+2+1）+8+4+2+2＝64（场）．
故选：B．
【点评】正确理解比赛的规则．
注意：单循环比赛，即每2个队比赛1场；双循环比赛，即每2个队比赛2场．
7．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差
写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样
的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从
数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（ ）
A．500 B．520 C．780 D．2000
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】首先具体地算出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和，从中发现规律，进
而得出操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和．
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【解答】解：设A＝3，B＝9，C＝8，操作第n次以后所产生的那个新数串的所有数之和为S ．
n
n＝1时，S ＝A+（B﹣A）+B+（C﹣B）+C＝B+2C＝（A+B+C）+1×（C﹣A）；
1
n＝2 时，S ＝A+（B﹣2A）+（B﹣A）+A+B+（C﹣2B）+（C﹣B）+B+C＝﹣A+B+3C＝
2
（A+B+C）+2×（C﹣A）；
…
故n＝100时，S ＝（A+B+C）+100×（C﹣A）＝﹣99A+B+101C＝﹣99×3+9+101×8＝520．
100
故选：B．
【点评】本题中理解每一次操作的方法是前提，得出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有
数之和的规律是关键．
8．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，
2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三
步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角
的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题．
【答案】D
1
【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k= k（k+1），然后根据题目中所给的
2
第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
1 1
【解答】解：因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k= k（k+1），应停在第 k
2 2
（k+1）﹣7p格，
1
这时p是整数，且使0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
2
1
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
2
1 1
若7＜k≤10，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p＝7m+ t（t+1），
2 2
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由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
9．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为
1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，
1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，
其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．19
【考点】规律型：图形的变化类；三角形三边关系．
【专题】压轴题；规律型；分类讨论．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系，设三角形最长边长为x，则30根火柴棒组成的三角形的最长边长
存在以下关系，10≤x≤14．然后按照x＝10，x＝11，x＝12，x＝13，x＝14分别进行分析，即可
得出答案．
【解答】解：设三角形最长边长为x，则30根火柴棒组成的三角形的最长边长存在以下关系，
10≤x≤14．
当x＝10，剩余边长总和20，只有10，10，10一种可能
当x＝11，剩余边长总和19，有9，10，11或8，11，11两种可能
当x＝12，剩余边长总和18，有9，9，12或8，10，12或7，11，12或6，12，12共四种可能．
当x＝13，剩余边长总和17，有8，9，13或7，10，13或6，11，13或5，12，13或4，13，13
共五种可能．
当x＝14，剩余边长总和16，有8，8，14或7，9，14或6，10，14或5，11，14或4，12，14或
3，13，14或2，14，14共7种可能．
综上，共有1+2+4+5+7＝19个不同的三角形．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系，图形的变化类等知识点的理解和掌握，解答此题
的关键是根据三角形三边关系，找出30根火柴棒组成的三角形的最长边长存在以下关系．此题
难度较大，是一道难题．
10．对点（x，y）的一次操作变换记为P （x，y），定义其变换法则如下：P （x，y）＝（x+y，x﹣
1 1
y）；且规定P
n
（x，y）＝P
1
（P
n﹣1
（x，y））（n为大于1的整数）．如P
1
（1，2）＝（3，﹣
1），P （1，2）＝P （P （1，2））＝P （3，﹣1）＝（2，4），P （1，2）＝P （P （1，
2 1 1 1 3 1 2
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2））＝P （2，4）＝（6，﹣2）．则P （1，﹣1）＝（ ）
1 2011
A．（0，21005） B．（0，﹣21005）
C．（0，﹣21006） D．（0，21006）
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】D
【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得P （1，﹣1）的
2011
值即可．
【解答】解：P （1，﹣1）＝（0，2），P （1，﹣1）＝（2，﹣2）
1 2
P （1，﹣1）＝（0，4），P （1，﹣1）＝（4，﹣4）
3 4
P （1，﹣1）＝（0，8），P （1，﹣1）＝（8，﹣8）
5 6
…
n+1❑
当n为奇数时，P
n
（1，﹣1）＝（0，
2 2
），
∴P （1，﹣1）应该等于（0，21006）．
2011
故选：D．
【点评】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用
此规律解题．
二．填空题（共5小题）
11．长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B，C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方
形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转第1次后，点D所对应的数为1；绕点D翻转
第2次后点A对应的数为2；以此类推继续翻转，则翻转2024次后，落在数轴上的两点所对应的
数中较大的是 303 5 ．
【考点】实数与数轴；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；实数；运算能力．
【答案】3035．
【分析】根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数，得出翻转几个周期循环，推算出移动
的距离得出结果．
【解答】解：如图，翻转4次，为一个周期，右边的点移动6个单位，
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∵2024÷4＝506，
∴右边的点移动506×6＝3036，
∴﹣1+3036＝3035，
故答案为：3035．
【点评】本题考查了数轴表示数的意义，规律探究问题．发现规律是关键．
12．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r（a≥b，且b≠0，0≤r＜b）若被除数a
和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．
在实数范围中，也有a＝bq+r（a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b），若被除数是
7√2，除数是2，则q+r＝ 7√2−4 ．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】7√2−4．
【分析】根据无理数的估算方法得到9.8＜7√2＜9.94，则可得到7√2=2×4+7√2−8，则
q=4，r=7√2−8，据此代值计算即可．
【解答】解：∵1.4＜√2＜1.42，
∴9.8＜7√2＜9.94，
∴7√2=2×4+7√2−2×4=2×4+7√2−8，
∴q=4，r=7√2−8，
∴q+r=4+7√2−8=7√2−4，
故答案为：7√2−4．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，正确进行计算是解题关键．
3
13．如图①，数轴上点A对应的数为﹣1，线段AB垂直于数轴，线段AB的长为 ．
2
1
（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点为B′，则点B'在数轴上表示的数为
2
；
（2）在（1）的条件下，连接BB'，则线段BB'的长度可能落在图②中的第 ③ 段（填序
号）；
（3）若要使线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点B′与原点重合，则数轴的单位长度
3
需扩大为原来的 倍．
2
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【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；数形结合；实数；推理能力．
1 3
【答案】（1） ；（2）③；（3） ．
2 2
3
【分析】（1）由AB'= ，即可求出B'在数轴上代表的数．
2
（2）由直角三角形的三边关系可得取值范围；
3
（3）根据线段AB'= 和B'此时代表的数值，可推出扩大的倍数．
2
【解答】解：（1）设B'代表的数为x，
3
∵AB'= ，
2
3
∴x﹣（﹣1）= ，
2
1
∴x= ，
2
1
故答案为： ．
2
（2）∵BB'是RT△ABB'的斜边，
3
∴AB＜BB'＜AB+AB'，即 ＜BB'＜3，
2
故答案为：③．
（3）∵B'与原点重合，
3
∴B'代表的数为0，AB'= ，
2
3
∴A代表的数为− ，
2
3
所以应将数轴单位长度扩大为原来的 倍，
2
3
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查了数轴的有关知识、三角形的三边关系、旋转．本题的关键是通过线段的
长度求点代表的数值．
14．如图所示，数轴被折成90°，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，
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3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数
轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 1 重合．
【考点】实数与数轴．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】1．
【分析】根据所给滚动方式，依次求出圆上与数轴上的数字1，2，3，4，…，重合的数，发现规
律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为圆的周长为4个单位长度，
所以圆滚动一周的长度为4个单位长度．
根据所给滚动方式可知，
数轴上的数字1，2，3，4，…，会依次与圆上的数字0，3，2，1重合．
因为2024÷4＝506，
所以数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，能根据题意得出数轴上的数字 1，2，3，4，…，会依次与
圆上的数字0，3，2，1重合是解题的关键．
15．对于一个三位正整数Q，若各位数上的数字都不为0且互不相等，如果满足百位数字等于与个
位与十位数字的三倍之和，则称这个三位正整数Q为“趣数”．若一个“趣数”为Q=a21，则
这个数为 521 ；若交换“趣数”的百位数字和个位数字得到一个新三位数Q′，且Q′﹣1
是7的倍数，则满足条件的Q′的最大值是 23 9 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】521，239．
【分析】根据“趣数”定义得a＝2+1×3＝5，故这个数为521．设“趣数”Q的百位数字为a，十
位数字为b，个位数字c，则Q′＝100c+10b+a，把a＝b+3c，代入得Q′＝103c+11b，由Q′﹣
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1 是 7 的倍数，得 103c+11b﹣1＝105c+14b﹣2c﹣3b﹣1＝7（35c+2b）﹣（2c+3b+1），故
2c+3b+1是7的倍数，再讨论计算即可．
【解答】解：根据“趣数”定义得a＝2+1×3＝5，
∴这个数为521，
设“趣数”Q的百位数字为a，十位数字为b，个位数字c，
则Q′＝100c+10b+a，
∵a＝b+3c，
∴Q′＝100c+10b+b+3c＝103c+11b，
∵Q′﹣1是7的倍数，
∴103c+11b﹣1是7的倍数，
∵103c+11b﹣1＝105c+14b﹣2c﹣3b﹣1＝7（35c+2b）﹣（2c+3b+1），
∴2c+3b+1是7的倍数，
∵Q′的最大，
∴c最大．
∵a＝b+3c，均不为0且互不相等，且a＜10，
∴c最大为2，
当c＝2时，
4+3b+1＝7，不符合，舍去．
4+3b+1＝14，此时b＝3．
∴a＝3+3×2＝9．
∴Q′的最大值是239．
故答案为：521，239．
【点评】本题考查了整式的加减，按照“趣数”定义进行计算是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，
且AB＝|a﹣b|；
回答下列问题：
（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 | x ﹣ 2 | ；
②在①的情况下，如果AB＝3，那么x为 ﹣ 1 或 5 ；
（2）代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣ 1 ≤ x ≤ 2 ．
（3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且（c﹣5）2+|a+b|＝0，
①直接写出a、b、c的值．
②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B
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和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点
C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t
的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【考点】实数与数轴；一元一次方程的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于x的绝对值方程，解
之可得；
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在﹣1和2之
间的线段上；
（3）①先根据a是最大的负整数，求出a，再根据c2+|a+b|＝0，即可求出a、b；②先求出BC
＝2t+4，AB＝2t+2，从而得出BC﹣AB＝2．
【解答】解：（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是|x﹣2|；
②在①的情况下，如果AB＝3，|x﹣2|＝3，
解得：x＝5或x＝﹣1，
故答案为：|x﹣2|，﹣1或5．
（2）由数形结合得，
若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2，最小值是3，
故答案为：﹣1≤x≤2；
（3）①∵a是最大的负整数，
∴a＝﹣1．
∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴b＝1，c＝5；
②BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度
的速度向右运动，
∴BC＝2t+4，AB＝2t+2，
∴BC﹣AB＝（2t+4）﹣（2t+2）＝2．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合
起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数
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形结合的数学思想．
17．【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大
的正方形纸片．
（1）大正方形纸片的边长为 6 cm；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽
之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的面积公式即可求解；
（2）设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，得到3x•4x＝24，求出x的值，即可解决问
题．
【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝18×2＝36（cm2），
∴大正方形纸片的边长√36=6（cm）．
故答案为：6；
（2）沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
∵长方形纸片的长宽之比为4：3，
∴设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，
∴3x•4x＝24，
∴x2＝2，
∵x＞0，
∴x=√2，
∴长方形纸片的长是4x＝4√2cm，
∵4√2＜6，
∴沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片．
【点评】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽．
18．阅读下列材料，然后回答问题．
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
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2 2(√3−1) 2(√3−1)
一步化简： = = =√3−1．
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2−12
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3，
∴1＜√5−1＜2．
∴√5−1的整数部分为1．
∴√5−1的小数部分为√5−2．
2
（1）化简 ；
√5+√3
1
（2）已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−√3
①求a＝ 3 ，b＝ √3− 1 ．
②求a2+b2的值．
【考点】估算无理数的大小；平方差公式；二次根式的混合运算．
【专题】实数；数感．
【答案】（1）√5−√3；（2）①3，√3−1②13−2√3．
【分析】（1）根据分母有理化进行化简即可；
（2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定a，b的值，进而求出a2+b2的值即可．
【解答】解：（1）原式=√5−√3；
1 2+√3 2+√3
（2）① = = =2+√3，
2−√3 (2−√3)(2+√3) 4−3
∵√1＜√3＜√4，
∴1＜√3＜2，
∴3＜2+√3＜4，
∴a＝3，b=2+√3−3=√3−1；
故答案为：3，√3−1；
②∵a＝3，b=√3−1，
∴a2+b2=32+(√3−1) 2=9+3−2√3+1=13−2√3．
【点评】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算，熟练掌握无理数估算是关键．
19．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b
为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法
运算与整式的加、减、乘法运算类似（实数将在八年级进行学习，实数包括有理数）．例如：
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（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；i3＝i•i•i＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i；
（1+i）（2+3i）＝1×2+1•3i+i•2+i•3i＝2+3i+2i+3•i2＝2+3i+2i+3×（﹣1）＝﹣1+5i．
（1）填空：2i4＝ 1 ，i5＝ i ；
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i3）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+y）﹣3i＝（1﹣x）﹣yi（x，y为有理数），求x2+y的值；
1+i
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi（a，b为有理数）的形式．
1−i
【考点】实数的运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】（1）2，i；
（2）①5；②3﹣4i；
（3）4；
（4）i．
【分析】（1）根据新定义可得结论；
（2）①根据i2＝﹣1和平方差公式计算即可；
②根据i2＝﹣1和完全平方公式进行分解即可；
（3）根据两个复数相等的定义分别求出x，y的值，并代入所求式即可求解；
（4）将所求式的分子和分母同时乘以1+i，并结合i2＝﹣1，可得结论．
【解答】解：（1）2i4＝2×i2×i2＝2×（﹣1）2＝2，i5＝i2×i2×i＝i；
故答案为：2，i；
（2）①（2+i）（2﹣i）
＝4﹣i2
＝4﹣（﹣1）
＝5；
②（2+i3）2；
＝4+4i3+（i3）2
＝4+4i3+i6
＝4﹣4i﹣1
＝3﹣4i；
（3）∵（x+y）﹣3i＝（1﹣x）﹣yi（x，y为有理数），
∴x+y＝1﹣x，﹣y＝﹣3，
∴x＝﹣1，y＝3，
∴x2+y＝（﹣1）2+3＝1+3＝4；
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1+i
（4）
1−i
(1+i) 2
=
(1−i)(1+i)
1+2i+i2
=
1−i2
1+2i−1
=
1−(−1)
2i
=
2
＝i．
【点评】本题考查了实数的运算，弄清新定义，正确掌握运算法则是解题关键．
20．定义：若无理数√T的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称
无理数√T的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以√3的“共同体区间”为
（1，2）．请回答下列问题：
（1）√26的“共同体区间”为 （ 5 ， 6 ） ；
（2）若无理数√a的“共同体区间”为（2，3），求√a+6的“共同体区间”；
（3）若整数x，y满足关系式：√x−3+|2023+(y−4) 2|=2024，求√x(y+1)的“共同体区
间”．
【考点】实数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）（5，6）；
（2）（3，4）；
（3）（4，5）或（3，4）．
【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；
（2）先根据无理数√a的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出a+6的取值范围，再根据
“共同体区间”的定义求解；
{x=4 {x=3 {x=3
（3）先根据已知得√x−3+(y−4) 2=1，进而得出 或 或 ，分别代入√x(y+1)
y=4 y=5 y=3
求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵52＜26＜62，
∴√26的“共同体区间”是（5，6），
故答案为：（5，6）；
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（2）∵无理数√a的“共同体区间”为（2，3），
∴22＜a＜32，即4＜a＜9，
∴10＜a+6＜15，
∴32＜a+6＜42，
∴√a+6的“共同体区间”为（3，4）；
（3）∵√x−3+|2023+(y−4) 2|=2024，
{ √x−3=1 {√x−3=0
∴ 或 ，
(y−4) 2=0 (y−4) 2=1
{x=4 {x=3 {x=3
解得 或 或 ，
y=4 y=5 y=3
分以下三种情况：
当x＝4，y＝4时，x（y+1）＝20，
∵42＜20＜52，
∴√x(y+1)的“共同体区间”为（4，5）；
当x＝3，y＝5时，x（y+1）＝18，
∵42＜18＜52，
∴√x(y+1)的“共同体区间”为（4，5）；
当x＝3，y＝3时，x（y+1）＝12，
∵32＜12＜42，
∴√x(y+1)的“共同体区间”为（3，4）；
综上，√x(y+1)的“共同体区间”为（4，5）或（3，4）．
【点评】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点。
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