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重难点 01 规律探究与新定义型问题
目 录
类型一 数式规律
题型01 记数类规律
题型02 乘方类规律
题型03 表格类规律
题型04 数阵类规律
题型05 个位数字规律
题型06 新定义运算规律
类型二 图形规律
题型01 图形固定累加型
题型02 图形渐变累加型
题型03 图形个数分区域累加
题型04 图形循环规律
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类型一 数式规律
方法总结：
一、数字规律探索
1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或
经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现
还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结
合起来从而得到结果.
2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数
字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律.
二、数阵规律探索
此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本
质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：
1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一
行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等;
2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系;
3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案
三、等式规律探索
1）标序数;
2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律
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用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系
.3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.
题型01 记数类规律
2 8 11 14 17
【例1】（2023岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是 、1、 、 、 、 …按此规律，这列
3 7 9 11 13
数中第100个数是( )
299 299 301 303
A． B． C． D．
199 201 201 203
2 1
【变式1-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）观察下列各式：a =1，a = ，a = ，…，它
1 2 5 3 4
1 1 2
们按一定规律排列，第n个数记为a ，且满足则 + = ，则a =
n a a a 2023
n n+2 n+1
【变式1-2】（2022·河北保定·统考模拟预测）有一列数1，x ，7，x ，x ，…，x ，从第二个数开始，
2 4 5 n
每个数等于与它相邻的两个数的平均数．
（1）则x 为 ；
6
（2）若x =52，则m= ．
m
【变式1-3】（2023六安市模拟）判断下面各式是否成立
√ 2 √2 √ 3 √3 √ 4 √ 4
（1） 2 =2 （2） 3 =3 （3） 4 =4
3 3 8 8 15 15
√ 5
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： 5 =_____
24
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明
【变式1-4】（2023·安徽六安·统考模拟预测）观察下列等式：
1 1
第1个等式：1+1+ − =2
2 2
1 1 1 5
第2个等式：2+ + − =
3 4 12 2
1 1 1 10
第3个等式：3+ + − =
5 6 30 3
1 1 1 17
第4个等式：4+ + − = …，
7 8 56 4
按照以上规律，解决下列问题：
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(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【变式1-5】（2023·安徽宣城·校联考一模）先观察下列各式：
√1=1；
√1+3=√4=2；
√1+3+5=√9=3；
√1+3+5+7=√16=4
(1)计算：√1+3+5+7+9 ；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： √1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)＝ ；
(3)应用上述结论，请计算√4+12+20+28+36+44+...+204的值．
题型02 乘方类规律
【例2】（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2x2、4x3、−8x4、16x5、
…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．−256x9 B．256x9 C．−512x9 D．512x9
【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求1+2+22+⋯+22023的值，可令
S=1+2+22+⋯+22023，则2S=2+22+23+⋯+22024，因此2S−S=22024−1，所以
1+2+22+⋯+22023=22024−1，仿照以上推理计算出1+3+32+⋯+32023的值是（ ）
1−32024 3−32024 32024−1 3−2024−3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式2-2】（2022随州市一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方
等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切
实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=
（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，
i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【变式2-3】（2022·广西梧州·统考一模）找规律数：0，6，16，30，48，…，则第n个为 （用含n
的代数式表示）．
【变式2-4】观察等式：1=1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……猜想
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1+3+5+7+⋅⋅⋅+2019= .
题型03 表格类规律
解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律
选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日
历的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母 a，则左边为a-1，右边为a+1，上
边为a-7，下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规
律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论.
【例3】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是
2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，
相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都
是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大
数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的
说法是否正确．（不必叙述理由）
【变式3-1】观察表格，回答问题：
10
a … 0.0001 0.01 1 10000 …
0
√a … 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中x=________，y=________；
(2)从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈________；
②已知√m=8.973，若√b=897.3，用含m的代数式表示b，则b=________；
(3)试比较√a与a的大小．
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当________时，√a>a；当________时，√a=a；当________时，√a<a．
【变式3-2】（2021宿州市一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为______________．
（2）a=___________；c=__________．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d=2564，则n的值为___________．
【变式3-3】（2023·河北保定·统考一模）观察：
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
数 20 21 22 23 24 25 26 …
个位上数
1 2 4 8 6 m n …
字
思考：（1）上面表格中m、n的值分别是多少？
探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？
延伸：（3）22023的个位数字是多少？
拓展：（4）用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号．（k为正整数）
题型04 数阵类规律
【例4】（2023·福建厦门·厦门双十中学校考三模）将一组数√2，2，√6，2√2，．．．，4√2，．．．
按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
……
若2的位置记为(1,2)，√14的位置记为(2,3)，则2√10的位置记为 ．
【变式4-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5行从左
边数第6个数是 ．
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【变式4-2】（2023·山东聊城·统考二模）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对(n,m)表示第n排，
从左到右第m个数，如(4,2)表示9，则表示123的有序数对是 ．
【变式4-3】（2021·山东济宁·统考一模）将1，√2，√3，√6按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m
排从左向右第n个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是 ．
【变式4-4】（2022鄂尔多斯市二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如
图所示)就是一例.
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和.事实上，这个三角形
给出了 ( 为正整数)的展开式(按 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行
(a+b) n n a
的三个数1、 、1，恰好对应 展开式中各项的系数；第四行的四个数1、 、 、1，
2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 3 3
恰好对应着 展开式中各项的系数等等.根据上面的规律， 的展开式中
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b) 4
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各项系数最大的数为 ；式子
75+5×74×(−5)+10×73×(−5) 2+10×72×(−5) 3+5×7×
的值为 .
(−5) 4+(−5) 5
【变式4-4】（2021·湖北随州·统考一模）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨
辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a ，
1
1 1 1 1 n
第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ． + + +⋅⋅⋅+ = ，则n的值为
2 3 n a a a a 2021
1 2 3 n
．
【变式4-5】（2021合肥市一模）如图1，观察数表，如何计算数表中所有数的和?
方法1：如图1，先求每行数的和：
第1行 1+2+3+⋯+n=(1+2+3+...+n)
第2行 2+4+6+⋯+2n=2(1+2+3+⋯+n)
第n行 n+2n+3n+⋯+n2=n(1+2+3+⋯+n)
故表中所有数的和：
(1+2+3+⋯+n)+2(1+2+3+⋯+n)+⋯+n(1+2+3+⋯+n)= ；
方法2：如图2．依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和：
第1组 1=13
第2组 2+4+2=23
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第3组 3+6+9+6+3=33
…
第n组 n+2m+⋯+n2+⋯+2n+n= ，
用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为： ，
综合上面两种方法所得的结果可得等式： ；
利用上面得到的规律计算：13+23+33+⋯+203．
题型05 个位数字规律
【例5】（2023·湖南岳阳·统考一模）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，
75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+⋅⋅⋅+72022+72023的结果的个位数字是 ．
【变式5-1】（2022·山东聊城·统考二模）计算31，32，33，34，35，36，并观察这些幂的个位数字，根据
你发现的规律，判断32022的个位数字跟（ ）的个位数字相同．
A．31 B．32 C．33 D．34
【变式5-2】计算：21−1=1,22−1=3,23−1=7,24−1=15,25−1=31,…归纳各计算结果中的个位数字
规律，猜测22021−1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
【变式5-3】发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536
（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；
（2）依据（1）中的规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是
多少，
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题型06 新定义运算规律
解题技巧：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想
要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏
感程度.
【例6】（2020·河南·统考中考真题）定义运算：m•n=mn2−mn−1．例如:4×2=4×22−4×2−1=7．
则方程1×x=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【变式6-1】（2023·辽宁朝阳·校联考三模）我们知道，一元二次方程x2=−1没有实数根，即不存在一个
实数的平方等于−1．如果我们规定一个新数“i”使它满足i2=−1（即x2=−1有一个根为i），并且进一
步规定：一切实数可以与新数“i ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：i1=i，
i2=−1
，
i3=i2 ⋅i=−i
，
i4=(i2) 2 =1
……那么
i2023=
．
1 1
【变式6-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= +
a b
2x+1
．若(x+1)⊗x= ，则x的值为 ．
x
【变式6-3】（2022·湖南张家界·张家界市民族中学校考一模）定义：如果一个数的平方等于−1，记为
i2=−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，
b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算：
(3−i)+(5+3i)=(3+5)+(−1+3)i=8+2i；
．根据以上信息，完成下列问题：
(1+i)×(3−i)=1×3−i+3×i−i2=3+(−1+3)i+1=4+2i
(1)填空：i3=________，i4=_______；
(2)计算：(2+i)×(3−4i)；
(3)计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022．
【变式6-4】（2023石家庄二模）对于任意一个四位数，我们可以记为abcd，即
abcd=1000a+100b+10c+d．若规定： 对四位正整数abcd进行 F运算，得到整数
F(abcd)=a4+b3+c2+d1．例如，F(1249)=14+23+42+91=34；F(2020)=24+03+22+01=20．
（1）计算：F(2137)；
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（2）当c=e+2时，证明：F(abcd)−F(abed)的结果一定是4的倍数；
（3）求出满足F(32xy)=98的所有四位数．
类型二 图形规律
方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前
一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
题型01 图形固定累加型
解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图
形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n
有关的关系式为a+b(n-1).
【例1】（2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下
去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【变式1-1】（2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱
形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形
的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【变式1-2】（2022·江西·统考中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4
个图形中字母“H”的个数是（ ）
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A．9 B．10 C．11 D．12
【变式1-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和
正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个正三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个正三角形和8个
正方形，第（3）个图案有16个正三角形和12个正方形，…，依此规律，第（n）个图案中正三角形和正
方形的总个数为 个．（用含n的代数式表示）．
【变式1-4】（2022·湖南怀化·校考二模）观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“
”的个数是 （用含n的代数式表示）
【变式1-5】（2023·山东济南·统考二模）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，
y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 ．
【变式1-6】（2022·安徽·校联考模拟预测）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律．
① →4×0=4×1−3；
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② →4×1+1=4×2−3
；
③ →4×2+1=4×3−3
；
④ →
；
⑤ →
．
(1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
(2)猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式，并证明．
题型02 图形渐变累加型
解题技巧：对于个数不固定,
1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出
关系式即可.
2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来
观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而总
结规律推导出关系式.
【例2】（2023·重庆江北·校考一模）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律
排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小
正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．100 B．99 C．98 D．80
【变式2-1】（2022下·安徽合肥·八年级校考期末）我们用全等的正六边形拼成如下图形，按此规律则第
10个图形中有小正六边形（ ）个．
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A．270 B．271 C．272 D．273
【变式2-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）小明如图叠放了一些星星，第1个图形有4
颗星星，第2个图形有8颗星星，第3个图形有14颗星星，请问第9个图形的星星颗数为（ ）
A．92 B．88 C．76 D．64
【变式2-3】（2022·辽宁大连·统考一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方
形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第
（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 .
【变式2-4】如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为
．
【变式2-5】（2023·广东·统考二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中
一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．
……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n= ．
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题型03 图形个数分区域累加
解题技巧：首先应观察图形区分图形累加的各部分,分别求出各部分累加规律,再将各部分关系式相加,得
到第n项（某项)图形的数量与序数关系式.
【例3】（2022揭阳市一模）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的
“○”的个数，则第16个“龟图”中有 个“○”．
【变式3-1】某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，
图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（ ）
A．22 B．25 C．28 D．32
【变式3-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成
的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有8个★，第③个图形中共有11个★，…，按此规律排
列下去，第⑥个图形中的★个数为（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．24个
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【变式3-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规
律组成，其中第1个图形有5个“△”，第2个图形有10个“△”，第3个图形有15个“△”，…，则第
8个图形中“△”的个数为（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
【变式3-4】（2022·安徽芜湖·统考二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的
图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆
花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的
数量；
(3)若有n（n为偶数，且n≥2）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为
________．（用含n的代数式表示）
题型04 图形循环规律
解题技巧： ①先找出一个周期的图形个数n:
②N(第N个)÷n=b……m(0≤m<n);
③第N个图形是一个周期中第m次变化后的图形.
【例4】如图，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16
个图案中“ ”有 个．
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【变式4-1】（2020·湖南常德·统考一模）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋
转90°得到，第2020个图案中箭头的指向是（ ）
A．上方 B．左方 C．下方 D．右方
【变式4-2】（2021·山东济宁·统考一模）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的
小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位
置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点
A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对
应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
1．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数a ，a ，a ，⋯，a 满足如下关系：
1 2 3 n
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1+a 1+a
，
1+a 1+a
，若 ，则 的值是（ ）
a = 1，a = 2 a = 3，⋯，a = n a =2 a
2 1−a 3 1−a 4 1−a n+1 1−a 1 2023
1 2 3 n
1 1
A．− B． C．−3 D．2
2 3
2．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图
形，第1幅图形中“●”的个数为a ，第2幅图形中“●”的个数为a ，第3幅图形中“●”的个数为a ，
1 2 3
1 1 1 1
…，以此类推，那么 + + +⋅⋅⋅+ 的值为（ ）
a a a a
1 2 3 19
20 61 589 431
A． B． C． D．
21 84 840 760
3．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．
在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，
第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列
下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
5．（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案
中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个
图案中圆圈的个数为（ ）
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A．14 B．20 C．23 D．26
6．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位
于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如
果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：
．
7．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
−2，4，−8，16，−32，64，……①
0，7，−4，21，−26，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的
和为 ．
8．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图
所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各项系数之和为 ．
(a+b) 7
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9．（2023·四川·中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的
三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个
数为 ．
10．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的
第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
11．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求1+2+3+⋯⋯+100的值时，发现：1+100=101，
2+99=101⋯⋯，从而得到1+2+3+⋯+100= 101×50=5050．按此方法可解决下面问题．图（1）
有1个三角形，记作a =1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a =5；再分
1 2
别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a =9；按此方法继续下去，则
3
a +a +a +⋯⋯+a = ．（结果用含n的代数式表示）
1 2 3 n
12．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角
形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得
名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六
代勾股树中正方形的个数为 ．
13．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料
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根.
14．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为
1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 cm．
15．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段AB=2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以A A 为直径画
1 1
半圆①；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆③…按照
1 2 1 2 2 3 2 3
这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
16．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8×3,92−72=8×4,⋯
(1)写出192−172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
17．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式： ，
(2×1+1) 2=(2×2+1) 2−(2×2) 2
第2个等式： ，
(2×2+1) 2=(3×4+1) 2−(3×4) 2
第3个等式： ，
(2×3+1) 2=(4×6+1) 2−(4×6) 2
第4个等式： ，
(2×4+1) 2=(5×8+1) 2−(5×8) 2
……
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按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
18．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“ ”的个数为 ；
1×2 2×3
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图案中
2 2
3×4 4×5
“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第n个图案中“★”的个
2 2
数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n
个图案中“ ”的个数的2倍．
22
