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重难点 01 规律探究与新定义型问题
目 录
类型一 数式规律
题型01 记数类规律
题型02 乘方类规律
题型03 表格类规律
题型04 数阵类规律
题型05 个位数字规律
题型06 新定义运算规律
类型二 图形规律
题型01 图形固定累加型
题型02 图形渐变累加型
题型03 图形个数分区域累加
题型04 图形循环规律
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类型一 数式规律
方法总结：
一、数字规律探索
1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或
经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现
还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结
合起来从而得到结果.
2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数
字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律.
二、数阵规律探索
此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本
质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：
1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一
行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等;
2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系;
3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案
三、等式规律探索
1）标序数;
2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律
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用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系
.3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.
题型01 记数类规律
2 8 11 14 17
【例1】（2023岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是 、1、 、 、 、 …按此规律，这列
3 7 9 11 13
数中第100个数是( )
299 299 301 303
A． B． C． D．
199 201 201 203
2 1
【变式1-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）观察下列各式：a =1，a = ，a = ，…，它
1 2 5 3 4
1 1 2
们按一定规律排列，第n个数记为a ，且满足则 + = ，则a =
n a a a 2023
n n+2 n+1
【变式1-2】（2022·河北保定·统考模拟预测）有一列数1，x ，7，x ，x ，…，x ，从第二个数开始，
2 4 5 n
每个数等于与它相邻的两个数的平均数．
（1）则x 为 ；
6
（2）若x =52，则m= ．
m
【变式1-3】（2023六安市模拟）判断下面各式是否成立
√ 2 √2 √ 3 √3 √ 4 √ 4
（1） 2 =2 （2） 3 =3 （3） 4 =4
3 3 8 8 15 15
√ 5
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： 5 =_____
24
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明
【变式1-4】（2023·安徽六安·统考模拟预测）观察下列等式：
1 1
第1个等式：1+1+ − =2
2 2
1 1 1 5
第2个等式：2+ + − =
3 4 12 2
1 1 1 10
第3个等式：3+ + − =
5 6 30 3
1 1 1 17
第4个等式：4+ + − = …，
7 8 56 4
按照以上规律，解决下列问题：
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(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【变式1-5】（2023·安徽宣城·校联考一模）先观察下列各式：
√1=1；
√1+3=√4=2；
√1+3+5=√9=3；
√1+3+5+7=√16=4
(1)计算：√1+3+5+7+9 ；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： √1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)＝ ；
(3)应用上述结论，请计算√4+12+20+28+36+44+...+204的值．
题型02 乘方类规律
【例2】（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2x2、4x3、−8x4、16x5、
…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．−256x9 B．256x9 C．−512x9 D．512x9
【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求1+2+22+⋯+22023的值，可令
S=1+2+22+⋯+22023，则2S=2+22+23+⋯+22024，因此2S−S=22024−1，所以
1+2+22+⋯+22023=22024−1，仿照以上推理计算出1+3+32+⋯+32023的值是（ ）
1−32024 3−32024 32024−1 3−2024−3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式2-2】（2022随州市一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方
等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切
实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=
（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，
i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【变式2-3】（2022·广西梧州·统考一模）找规律数：0，6，16，30，48，…，则第n个为 （用含n
的代数式表示）．
【变式2-4】观察等式：1=1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……猜想
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1+3+5+7+⋅⋅⋅+2019= .
题型03 表格类规律
解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律
选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日
历的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母 a，则左边为a-1，右边为a+1，上
边为a-7，下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规
律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论.
【例3】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是
2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，
相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都
是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大
数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的
说法是否正确．（不必叙述理由）
【变式3-1】观察表格，回答问题：
10
a … 0.0001 0.01 1 10000 …
0
√a … 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中x=________，y=________；
(2)从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈________；
②已知√m=8.973，若√b=897.3，用含m的代数式表示b，则b=________；
(3)试比较√a与a的大小．
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当________时，√a>a；当________时，√a=a；当________时，√a
