文档内容
宿迁市 2022 年初中学业水平考试数学
答题注意事项：
1．本试卷共6页，考试时间为120分钟．
2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在对应题号的答题区域书写
答案，注意不要答错位置，也不要超界．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，
请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点 的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运
算可判断D，从而可得答案．
【详解】解： ， 故A不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司， 故B不符合题意；
， 故C符合题意；
， 故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算
是解本题的关键．
3. 如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A. 70° B. 80° C. 100° D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的性质，对顶角的性质计算即可．
【详解】解：∵AB∥ED，
∴∠3+∠2=180°，
∵∠3=∠1，∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°，
故选：D．
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，解题的关键熟练掌握平行线的性质，找到互补的两
个角．
学科网（北京）股份有限公司4. 下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”
型，不能围成正方体，由此可进行选择．
【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．
5. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm
【答案】D
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还
要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形 的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情
况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房
九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，
那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
7. 如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得： ，故选项成立；
B、由x＜y可得： ，故选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故选项不成立；
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不
变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变．
学科网（北京）股份有限公司8. 如图，点A在反比例函数 的图像上，以 为一边作等腰直角三角形 ，其中∠
=90°， ，则线段 长的最小值是（ ）
A. 1 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过 作 轴，交y轴于M，过 作 轴，垂足为D，交MA于H，则
证明 可得 设 则
可得 再利用勾股定理建立函数关
系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过 作 轴，交y轴于M，过 作 轴，垂足为D，交MA于H，则
学科网（北京）股份有限公司设 则
而当 时，则
∴ 的最小值是8，
∴ 的最小值是
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方
公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“ 的变形公式”是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置
上)
9. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．
10. 2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力
争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是____．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法就是把绝对值大于1的数表示成 的形式，其中n就等于
原数的位数减1．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，牢记科学记数法的定义并准确求出 中的n是做出本题的关键．
11. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．
【答案】5
【解析】
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．熟练掌握众数的定义是解题的关
键．
12. 满足 的最大整数 是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先判断 从而可得答案．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
满足 的最大整数 是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
13. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由关于 的一元二次方程 有实数根，可得 再解不等式可得答案．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ， 即
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-
4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ
＜0时，方程无实数根．
的
14. 将半径为6cm，圆心角是120° 扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长 cm，
∴这个圆锥底面圆的半径 cm，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：2．
【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．
15. 按规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，则第20个单项式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为： 奇数个单项式的系数为： 而单项式的指数是
奇数，从而可得答案．
【详解】解： ， ， ， ， ，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”
是解本题的关键．
16. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图
像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如
一次函数、二次函数、反比例函数等．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
可设函数为：
又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，
则函数关系式为 ，
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查学生对函数图象 的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．
17. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形
面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴
对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得：
可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得： 为等边三角形， 而
学科网（北京）股份有限公司则
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本
题的关键．
18. 如图，在矩形 中， =6， =8，点 、 分别是边 、 的中点，某一时刻，动点
从点 出发，沿 方向以每秒2个单位长度的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点 出发，沿
方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，
连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ．在这一运动过程中，点 所经过的路径长是_____．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以
BQ为直径的 上运动，运动路径长为 的长，求出BQ及 的圆角，运用弧长公式进行计算即可得
到结果．
【详解】解：∵点 、 分别是边 、 的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN= AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF= ，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的 上运动，运动路径长为 长，取BQ中点O，连接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 =
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点
H运动的路径长为 长是解答本题的关键．
三、简答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
学科网（北京）股份有限公司证明过程或演算步骤)
19. 计算： 4 °．
【答案】2
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算
基础运算”是解本题的关键．
20. 解方程： ．
【答案】x＝﹣1
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解： ，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．
21. 如图，在平行四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点．求证： ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用 是平行四边形，得到 ， ，再证明 ，即可证明 是
平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到 ．
【详解】证明：∵ 是平行四边形，
∴ ， ，
∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明 是平行四边形．
22. 为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校 名九年级学生上学期参加
“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，
解答下列问题：
学科网（北京）股份有限公司（1） ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以
上的人数．
【答案】（1）200，30
（2）补全图形见解析 （3）1600人
【解析】
【分析】（1）利用活动天数为2天的人数占比 ，可得总人数，再扇形图的信息可得n的值；
（2）先求解活动3天的人数，再补全图形即可；
（3）由2000乘以活动4天及以上部分所占的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得： （人），
故答案为：200，30
【小问2详解】
活动3天的人数为： （人），
补全图形如下：
【小问3详解】
该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为：
学科网（北京）股份有限公司（人）．
答：估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的有1600人．
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，利用样本估计总体，理解题意，获取
两个图中相关联的信息是解本题的关键．
23. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，
符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
【小问2详解】
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举
法与列表法求解概率”是解本题的关键．
24. 如图，某学习小组在教学楼 的顶部观测信号塔 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．
已知教学楼 的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．
【答案】（20 ＋20）m．
【解析】
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt ADE中，求出AE的
长，在Rt ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的△高度．
【详解】解△：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
△
∵tan∠DAE＝ ，
∴ m，
在Rt ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△A△CE是等腰直角三角形，
∴ m，
∴CD＝CE＋DE＝（20 ＋20）m，
学科网（北京）股份有限公司∴信号塔的高度为（20 ＋20）m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性
质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．
25. 如图，在 中，∠ =45°， ，以 为直径的⊙ 与边 交于点 ．
（1）判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，记BC与 的交点为M，连接OM，先证明 再利
用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司证明： ∠ =45°， ，
即
在 上，
为 的切线．
【小问2详解】
如图，记BC与 的交点为M，连接OM，
，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补
法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
26. 某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10
学科网（北京）股份有限公司元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部
按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为
元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】（1）300，240
（2）当 时，选择乙超市更优惠，当 时，两家超市的优惠一样，当 时，选择
乙超市更优惠，当 时，选择甲超市更优惠．
【解析】
【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当 时，
显然此时选择乙超市更优惠，当 时
再分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 （元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 （元），
故答案为：
【小问2详解】
设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得
当 时，
显然此时选择乙超市更优惠，
当 时，
学科网（北京）股份有限公司当 时，则 解得：
∴当 时，两家超市的优惠一样，
当 时，则 解得：
∴当 时，选择乙超市更优惠，
当 时，则 解得：
∴当 时，选择甲超市更优惠．
【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是
解本题的关键．
27. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 、 、
均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段
、 ，相交于点 并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 ABC和 CDE．
△ △
在Rt ABC中，
△
在Rt CDE中， ，
所以△ ．
所以∠ =∠ ．
因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即 ⊥ ．
学科网（北京）股份有限公司（1）【拓展应用】如图②是以格点 为圆心， 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在 上找出
一点P，使 = ，写出作法，并给出证明：
（2）【拓展应用】如图③是以格点 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 上找出一点P．使
= · ，写出作法，不用证明．
【答案】（1） ；见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点 ，作射线 交 于点P，则 根据垂径定理可知，点P即为所求作；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角
定理证得∠B=∠MNA，再推出 PAM∽△MAB，即可证明结论．
【小问1详解】 △
解：【操作探究】在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 ABC和 CDE．
△ △
在Rt ABC中，
△
在Rt CDE中， ，
△
所以 ．
所以∠ =∠ ．
学科网（北京）股份有限公司因为∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即 ⊥ ．
故答案为： ；
取格点 ，作射线 交 于点P，点P即为所求作；
【小问2详解】
解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；
证明：作直径AN，连接BM、MN，
在Rt FMI中， ，
△
学科网（北京）股份有限公司在Rt MNA中， ，
△
所以 ．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴ PAM∽△MAB，
△
∴ ，
∴ = · ．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28. 如图，二次函数 与 轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为 ，连接 、 ，
若点 是线段 上一动点，连接 ，将 沿 折叠后，点 落在点 的位置，线段 与 轴
交于点 ，且点 与 、 点不重合．
学科网（北京）股份有限公司（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证： ；
②求 ；
（3）当 时，求直线 与二次函数的交点横坐标．
【答案】（1）
（2）①证明见解析，②
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）二次函数 与 轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可
得到二次函数的表达式；
（2）①由 ＝ ，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝
2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到 ABC≌△ BC，得
∠CAB＝∠ ，AB＝ B，进一步得到∠COD＝∠ ，由对顶角相等得∠ODC△＝∠BD ，证得结论；
学科网（北京）股份有限公司②由 ，得到 ，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝
，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为 ，得到
的最小值，进一步得到 的最小值；
（3）由 和 得到 ，求得 B＝AB＝1，进一步得到
点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝ x＋ ，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直
线BC的解析式为y＝2x－6，设点 的坐标是（p，q），则线段 A的中点为（ ， ），由折叠的
性质知点（ ， ）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得 B＝ ，解得p＝2或p＝
，求得点 的坐标，设直线 的解析式为y＝ x＋ ，由待定系数法求得直线 的解析式为y＝
x＋4，联立直线 和抛物线 ，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数 与 轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得， ，
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
①证明：∵ ＝ ，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线 的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数 与 轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵ 沿 折叠后，点 落在点 的位置，线段 与 轴交于点 ，
∴ △ABC≌△ BC，
∴∠CAB＝∠ ，AB＝ B，
∴∠COD＝∠ ，
∵∠ODC＝∠BD ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
设点D的坐标为（d，0），
由两点间距离公式得DC＝ ，
∵点 与 、 点不重合，
∴0＜d＜4，
学科网（北京）股份有限公司对于 ＝ 来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时， 的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为 ，
由两点间距离公式得OC＝ ，
∴ 有最小值为 ，
∴ 的最小值为 ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵OC＝2 ，
∴ B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝ x＋ ，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
学科网（北京）股份有限公司设点 的坐标是（p，q），
∴线段 A的中点为（ ， ），
由折叠的性质知点（ ， ）在直线BC上，
∴ ＝2× －6，
解得q＝2p－4，
由两点间距离公式得 B＝ ，
整理得 ＝1，
解得p＝2或p＝ ，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点 （2，0），很显然不符合题意，
当p＝ 时，q＝2p－4＝ ，此时点 （ ， ），符合题意，
设直线 的解析式为y＝ x＋ ，
把点B（3，0）， （ ， ）代人得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为y＝ x＋4，
联立直线 和抛物线 得到， ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ，
∴直线 与二次函数的交点横坐标为 或 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的
判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度
较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．
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