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2022 年江苏镇江中考数学真题
本试卷共6页，共28题；全卷满分120分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相
应位置．
2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效．
3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. 计算：3+（﹣2）＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】3+(﹣2)
＝+(3﹣2)
＝1，
故答案为1
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键．
2. 使 有意义的x的取值范围是（ ）
【答案】x≥3
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可推出 ，然后通过解不等式，即可推出
【详解】解：若 ，原根式有意义，
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义被开方数大于等于零．
3. 分解因式： _________．
【答案】 ##
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】提公因式 ，即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
4. 一副三角板如图放置， ， ， ，则 _________ ．
【答案】105
【解析】
【分析】根据平行性的性质可得 ，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题
的关键．
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 _________．
【答案】4
【解析】
【分析】一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个
不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．利用判别式的意
义得到 ，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题
关键．
6. 某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为_________ ．
【答案】5
【解析】
【分析】根据频数分布直方图中 即可求解．
【详解】解：依题意，组距为 kg,
故答案为：5
【点睛】本题考查了频数直方图，求组距，理解频数直方图中组距相等是解题的关键．
7. 如图，在 和 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 _________．
【答案】1
【解析】
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；
【详解】解：∵Rt ABC中，点E是AB的中点，DE=1，
∴AB=2DE=2， △
∵点F、G分别是AC、BC中点，
∴ ，
故答案为：1
【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键．
8. 《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽
和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置
的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此
时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【答案】1.2
【解析】
【分析】设被称物的重量为 ，砝码的重量为 ，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为 ，砝码的重量为 ，依题意得，
，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
9. 反比例函数 的图像经过 、 两点，当 时， ，写出符
合条件的 的值_________（答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】－1（答案不唯一，取 的一切实数均可）
【解析】
【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图像经过 、 两点，当 时，
，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数．
例如，k＝﹣1等．
故答案为：﹣1（答案不唯一，取 的一切实数均可）
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
10. “五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降 ．
有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是 ，则此时山顶的气温约为
_________ ．
【答案】－6或零下6
【解析】
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降 ”，列出式子即可求解．
【详解】解：山顶的气温约为
故答案为：－6或零下6．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
11. 如图，有一张平行四边形纸片 ， ， ，将这张纸片折叠，使得点 落在边 上，
点 的对应点为点 ，折痕为 ，若点 在边 上，则 长的最小值等于_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意， ，当 点与 点重合时，符合题意，据此即可求解．
【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点 落在边 上，点 的对应点为点 ，
∴ ，
而 ,
当 点与 点重合时， ，此时 的长最小，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当 点与 点重合时 的长最小是解题的关键．
12. 从2021、2022、2023、2024、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2022的3个数的概率等
于_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，结合概率公式即可求解．
【详解】解：根据题意，画树状图如图，
2022为中位数的情形有6种，
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学科网（北京）股份有限公司2022为中位数的情形有6种，
2022为中位数的情形有2种，
2022为中位数的情形有2种，
2022为中位数的情形有2种，
共有60种情况，其中抽到中位数是2022的3个数的情况有18种，
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学科网（北京）股份有限公司则抽到中位数是2022的3个数的概率等于 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了中位数的定义，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项符合题目要求．）
13. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．
【详解】 ，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．
14. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一
定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行
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学科网（北京）股份有限公司逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且 ＜ ，
∴ ，∴A选项的结论不成立；
，∴B选项的结论不成立；
，∴C选项的结论不成立；
，∴D选项的结论成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取
值范围是解题的关键．
的
15. “珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日 主题，旨在倡导公众保护自然资源．全市现有自
然湿地28700公顷，人工湿地13100公顷，这两类湿地共有（ ）
A. 公顷 B. 公顷 C. 公顷 D. 公顷
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；
当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：28700＋13100＝41800＝ （公顷），
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16. 如图，点 、 、 、 在网格中小正方形的顶点处， 与 相交于点 ，小正方形的边长为
1，则 的长等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据 AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长．
△
【详解】解： AD= ，AB=2，CD=3，
∵AB∥DC，
∴ AOB∽△DOC，
△
∴ ，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，
∴2x+3x=5．
解得：x=1，
∴AO=2，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
17. 第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为： 、 ，其中 、 是正整数．下
列结论：①当 时，两组数据的平均数相等；②当 时，第1组数据的平均数小于第2组数据的
平均数；③当 时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当 时，第2组数据的方
差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、方差的求法分别求解后即可进行判断．
【详解】解：①第1组数据的平均数为： ，
当m＝n时，第2组数据的平均数为： ，
故①正确；
②第1组数据的平均数为： ，
当 时，m＋n＞2n，则第2组数据的平均数为： ，
∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；
故②错误；
③第1组数据的中位数是 ，
当 时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是1；当 时，若m＋n是奇数，则第2组数据
的中位数是 ；
即当 时，第2组数据的中位数是1，
∴当 时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；
故③正确；
④第1组数据 方差为 ，
的
当 时，第2组数据的方差为 ,
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学科网（北京）股份有限公司，
∴当 时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差．
故④错误，
综上所述，其中正确的是①③；
故选：B
【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差的求法，熟练掌握求解方法是解题的关键．
18. 如图，在等腰 中， ，BC= ， 同时与边 的延长线、射线 相切，
的半径为3．将 绕点 按顺时针方向旋转 ， 、 的对应点分别为 、 ，
在旋转的过程中边 所在直线与 相切的次数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知
⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当 =360°时，BC所在的直线与⊙O相切
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学科网（北京）股份有限公司同理可证明当 =180°时， 所在的直线与⊙O相切．
当 ⊥AO时，即 =90°时， 所在的直线与⊙O相切．
∴当 为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知
识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．）
19. （1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
的
【分析】（1）直接利用特殊角 三角函数值、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实
数加减运算法则计算得出答案.
（2）先对括号内的分式通分，然后再将除法转化为乘法，然后约分即可..
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以 ，
得， ，
．得 ．
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解；
（2）解： ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以原不等式组的解集是 ．
【点睛】此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本
题的关键．
21. 一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图
的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有3个球，其中红球1个，
∴摸到红球的概率等于 ；
【小问2详解】
画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率 ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
22. 某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
车速（
40 41 42 43 44 45
）
频数 6 8 15 3 2
其中车速为40、43（单位： ）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．
（1）求出表格中 的值；
（2）如果一辆汽车行驶的车速不超过 的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通
过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
【答案】（1）16 （2）19200辆
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由车速的占比求得总的车辆数，然后相乘可得
（2）先计算安全行驶的占比，再用该占比估算即可
【小问1详解】
方法一：由题意得 ，
；
方法二：由题意得 ，
解得： ；
【小问2详解】
由题意知，安全行驶速度小于等于 ．
因为该时段监测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为 ，
所以估计其中安全行驶的车辆数约为： （辆）
【点睛】本题考查了频数的计算，掌握频率的计算公式是解题关键，频率=频数÷总数．本题的占比就是
频率．
23. 某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底
完成，7月1日按期交货．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
1
5 6 7 8 9 11
0
1 1 1
12 14 16 18
3 5 7
2 2 2
19 21 23 25
0 2 4
2 2
26 28 30
7 9
经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该
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学科网（北京）股份有限公司公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产
量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续
生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，
以确保能按期交货．
【答案】不能，理由见解析，为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件
【解析】
【分析】设10日开始每天生产量为 件，根据题意列出一元一次方程，继而根据，如果按照公司10日开
始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，列出一元一次不等式，求得从20日开始每天
的生产量至少达到130件，即可求解．
【详解】解：设10日开始每天生产量为 件，
根据题意，得 ．
解得， ．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为 ，所以不能按期完成订单，
由 ，
所以为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的
关键．
24. 如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1） _________， _________；
（2）连接并延长 ，与反比例函数 的图像交于点 ，点 在 轴上，若以 、 、 为
顶点的三角形与 相似，求点 的坐标．
【答案】（1）4，2 （2）点 的坐标为 、
【解析】
【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案；
对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况 和
，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可．
【小问1详解】
将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得
，
解得 ，
一次函数的关系式为 ；
将点A（1，4）代入反比例函数 ，得
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学科网（北京）股份有限公司，
反比例函数的关系式为 ．
故答案为：4，2；
【小问2详解】
点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）．
当x=0时，y=2，
∴点B（0，2），
∴OB=2．
根据勾股定理可知 ．
当点 落在 轴的正半轴上，则 ，
∴ 与 不可能相似．
当点 落在 轴的负半轴上，
若 ，
则 .
∵ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，则 ．
∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
综上所述：点 的坐标为 、 ．
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性
质和判定等．
25. 如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是 ，高为 ．它被平行
于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径 、
以及 、 组成的轴对称图形，直线 为对称轴，点 、 分别是 、 的中点，如图2，
他又画出了 所在的扇形并度量出扇形的圆心角 ，发现并证明了点 在 上．请你继
续完成 长的计算．
参考数据： ， ， ， ， ， ．
【答案】42cm
【解析】
【分析】连接 ，交 于点 ．设直线 交 于点 ，根据圆周角定理可得 ，解
，得出 ，进而求得 的长，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：连接 ，交 于点 ．设直线 交 于点 ．
∵ 是 的中点，点 在 上，
∴ ．
在 中，∵ ， ，
∴ ， ．
∵直线 是对称轴，
∴ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
在 中， ，
即 ，
则 ．
∵ ，
即 ，
则 ．
∴ ．
∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是 ，
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学科网（北京）股份有限公司,
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
26. 已知，点 、 、 、 分别在正方形 的边 、 、 、 上．
（1）如图1，当四边形 是正方形时，求证： ；
的
（2）如图2，已知 ， ，当 、 大小有_________关系时，四边形 是
矩形；
（3）如图3， ， 、 相交于点 ， ，已知正方形 的边长为16，
长为20，当 的面积取最大值时，判断四边形 是怎样的四边形？证明你的结论．
第23页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）
（3）平行四边形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质证得 ，根据角角边证明 ．
（2）当 ，证得 ， 是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得
四边形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性质证得 为平行四边形，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
由平行线分线段成比例，设 ， ， ，则可表示出 ，从而把△OEH的面积用x
的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．
【小问1详解】
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ；
【小问2详解】
；证明如下：
第24页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∵四边形 为正方形，
∴ ，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴ ，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
【小问3详解】
∵四边形 为正方形，
∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ．
∴ ．
过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
∴ ．
第25页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
设 ， ， ，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 的面积最大，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这
些知识并灵活运用．
27. 一次函数 的图像与 轴交于点 ，二次函数 的图像经过点 、原
点 和一次函数 图像上的点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数 与二次函数 的图像交于点
、 （ ），过点 作直线 轴于点 ，过点 作直线 轴，过点 作
于点 ．
① _________， _________（分别用含 的代数式表示）；
②证明： ；
（3）如图2，二次函数 的图像是由二次函数 的图像平移后得到
的，且与一次函数 的图像交于点 、 （点 在点 的左侧），过点 作直线 轴，过
点 作直线 轴，设平移后点 、 的对应点分别为 、 ，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ．
① 与 相等吗？请说明你的理由；
②若 ，求 的值．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ， ；②见解析
（3）① ，理由见解析；②3
【解析】
【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即
可求解；
（2）①通过联立关系式可得： ，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到
的值；
②通过A（-2，0），E 即可求出AE的长度；
通过B ，F 即可求出BF的长度；
（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移
个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到： ， ．通过联立关系式可得：
，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐
标即可表示出 的长度．
②由①可得 ，求解即可．
【小问1详解】
令 ，则 ，解得 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司将点 代入 中，解得 ，
∴点 的坐标为 ．
将 ， ， 代入 可得：
，解得： ，
∴二次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
①∵一次函数 与二次函数 的图像交于点 、
（ ），
∴联立关系式得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
故答案为： ， ；
②当 时， 位于 的上方，∵ 、 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
当 时， 位于 的下方，同理可证．
故可得： ；
【小问3详解】
方法一：
①∵二次函数 图像的顶点为 ，
二次函数 的图像的顶点为 ，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移 个单位，向上平移3个单位得到的．
∴ 的对应点为 ， 的对应点为 ，
联立关系式可得： ，
整理得： ，
，
当 时，解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ．
②∵ ， ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
解得: ．
方法二：
①设 、 平移前的对应点分别为 、 ，则 ．
则 ，
∵ 、 平移前的对应点分别为 、 ，
由（2）②及平移的性质可知， ．
②∵ ，
∴ ，
∵ 到 轴的距离为 ，点 是 轴与二次函数 的图像的交点，
的
∴平移后点 对应点即为点 ．
∵二次函数 图像的顶点为 ，
二次函数 的图像的顶点为 ，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移 个单位，向上平移3个单位得到的．
∴ ，将点 的坐标代入 中，解得 ．
另解：
∵ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司的对应点为 ．
∵ ，∴点 的横坐标为 ，代入 ，得 ．
∴ ．将点 的坐标代入 中，解得 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长
度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是
解决本题的关键．
28. 操作探究题
（1）已知 是半圆 的直径， （ 是正整数，且 不是3的倍数）是半圆 的一个
圆心角．
操作：如图1，分别将半圆 的圆心角 （ 取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：
仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
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学科网（北京）股份有限公司交流：当 时，可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三等分吗？
探究：你认为当 满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三等分？
说说你的理由．
（2）如图2， 的圆周角 ．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧
（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）作图见解析；交流： ，或 ；
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学科网（北京）股份有限公司探究：正整数 （ 不是3的倍数），理由见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）由操作可知，如果 可以用 与 的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分
（2）将圆周14等分就是把 所对的圆周角 所对弧三等分即可,给出一种算法：
【小问1详解】
操作：
交流： ，或 ；
探究：设 ，解得 （ 为非负整数）．
或设 ，解得 （ 为正整数）．
所以对于正整数 （ 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三
等分；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成
基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键．
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