文档内容
镇江市 2024 年初中学业水平考试数学试卷
本试卷共6页，共28题；全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位
置．
2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效．
3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. 的绝对值等于________．
2. 使分式 有意义的 的取值范围是________．
3. 一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为________．
4. 分解因式： ________．
5. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________．
6. 如图， 的边 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 ________．
7. 点 、 在一次函数 的图像上，则 _______ （用“ ”、“ ”或“ ”填空）．
8. 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为________环．
9. 如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上， ，则 ________．
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学科网（北京）股份有限公司10. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．
11. 如图，四边形 为平行四边形，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点E，连接 ，
， ，则 的长 ________（结果保留 ）．
12. 对于二次函数 （a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得
到的图像经过原点；②当 时，这个函数的图像在函数 图像的上方；③若 ，则当 时，
函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是________（填写序号）．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项符合题目要求．）
13. 早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表
示为（）
A. B. C. D.
14. 下列运算中，结果正确的是（）
A. B. C. D.
15. 下列各项调查适合普查的是（）
的
A. 长江中现有鱼 种类 B. 某班每位同学视力情况
C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命
16. 如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长 米，然后他
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学科网（北京）股份有限公司转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）
A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米
17. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量 （单位：L）关于行驶路程 （单位：百公里）的函数
图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是
（）
A. B. C. D.
18. 如图，在平面直角坐标系中，过点 且垂直于x轴的直线l与反比例函数 的图像交于点 ，
将直线l绕点 逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则 的取值范围是（）
A. 或 B. 且
C. 或 D. 或
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．）
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学科网（北京）股份有限公司19. （1）计算： ；
（2）化简： ．
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组：
21. 如图， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，则 __________°．
22. 3张相同 的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的
卡片的概率．
23. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜
色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人
记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
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学科网（北京）股份有限公司（1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数
（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
24. 如图，将 沿过点 的直线翻折并展开，点 的对应点 落在边 上，折痕为 ，点 在边
上， 经过点 、 ．若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图像与x轴、y轴交于 、B两
点，与反比例函数 （ ）的图像交于点 ．
（1）求 和 的值；
（2）已知四边形 是正方形，连接 ，点 在反比例函数 （ ）的图像上．当 的面积
与 的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
26. 图1、2是一个折叠梯 的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后
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学科网（北京）股份有限公司的主视图，此时点E落在 上，已知 ， ，点D、F、G、J在 上， 、 、
、 均与 所在直线平行， ， ．点N在
上， 、 的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时 、 重合，点 、 、 、
、 、 在 上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空： _________；
（2）如图4， _________，由 ，且 的长度不变，可得 与
之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求 的长．
27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司（2）一个二次函数的图像经过B、C、 三点，其中 ，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段
上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为 ，则 _________；
②求t的取值范围：
③求 的最大值．
28. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作 、 的
中点．
操作：如图2，连接 、 交于点P，连接 交 于点M，延长 交 于点N，则M、N分别为 、
的中点．
理由：由 可得 及 ，所以 ， ．所以，
．同理，由 及 ，可得 ， ．所以
．所以 ，则 ， ，即M、N分别为 、 的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3， ，点E、F在直线 上．
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学科网（北京）股份有限公司①作线段 的中点；
②在①中作图的基础上，在直线 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线
段．如图4， ，已知点 、 在 上，他利用上述方法作出了 ．点E、F在直线 上，请
在图4中作出线段 的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5， 是 的中位线．请在线段 上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）．
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. 的绝对值等于________．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可．
【详解】解： ，即 的绝对值等于100，
故答案为：100．
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学科网（北京）股份有限公司2. 使分式 有意义的 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
分式有意义，则分母 ，由此易求 的取值范围．
【详解】解：当分母 ，即 时，分式 有意义．
故答案为： ．
3. 一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答
案．
【详解】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1．
故答案为：1
4. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为 ；提出后，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：
5. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况
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学科网（北京）股份有限公司讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角
形，即可得出答案．
【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
，
能构成三角形，
第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
，
不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
6. 如图， 的边 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 ________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出 ．
求出 ，由线段垂直平分线的性质推出 ．
【详解】解： ， ，
，
在 的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
7. 点 、 在一次函数 的图像上，则 _______ （用“ ”、“ ”或“ ”填空）．
【答案】<
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据 ，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比
较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数 中， ，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
8. 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为________环．
【答案】7.5
【解析】
【分析】本题考查的是折线统计图和中位数，熟练掌握中位数的定义和计算方法是关键．根据中位数的定义即
可得出答案．
【详解】解：射击成绩从小到大重新排列为：4，5，7，8，9，10，
中位数为 ．
故答案为：7.5
9. 如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上， ，则 ________．
【答案】10
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得
，再根据正 边形的边数 中心角，即可得出结论．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：10．
10. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 的，方程有两个不相等的实数根；当 ，方
程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程 有两个相等的实数根，则有 ，得到关于
的方程，解方程即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，即 ，
解得 ．
故答案为：9．
11. 如图，四边形 为平行四边形，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点E，连接 ，
， ，则 的长 ________（结果保留 ）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定 是等边三角
形，得到 ．
由平行四边形的性质推出 ，判定 是等边三角形，得到 ，由弧长公式即可
求出 的长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
由题意得： ，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为： ．
12. 对于二次函数 （a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得
到的图像经过原点；②当 时，这个函数的图像在函数 图像的上方；③若 ，则当 时，
函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是________（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的
最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平
移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线 与直线 没有交点，且开口向上即可判断
②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：将二次函数 是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到 ，
当 时， ，
平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当 时，则 ，
令 ，即 ，
，
抛物线 与直线 没有交点，
抛物线开口向上，
当 时，这个函数的图象在函数 图象的上方；
故②正确；
二次函数 是常数），
开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，函数值 随自变量 增大而增大，
故③错误；
，
顶点为 ，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项符合题目要求．）
13. 早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表
示为（）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．科学记数法的表示
形式为 ，其中 ，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与
小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【详解】解： ．
故选：C．
14. 下列运算中，结果正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质
和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数
相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解： 、 ，故此选项符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
故选： ．
15. 下列各项调查适合普查的是（）
A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况
C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌灯泡使用寿命
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活
选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精
确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时
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学科网（北京）股份有限公司间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解．
【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意；
B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意；
C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
16. 如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长 米，然后他
转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）
A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为 ，连接 并延长交 于点G，根据
题意得到 ，证明 ，得到 ，由
推出 ，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为 ，连接 并延长交 于点G，
根据题意得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
米，
，
返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
17. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量 （单位：L）关于行驶路程 （单位：百公里）的函数
图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题．
由图象知甲、乙两车行驶 百公里时，甲车耗油 ，乙车耗油 ，由题意即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司【
详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶 百公里时，甲车耗油 ，乙车耗油 ，
由题意得： ．
故选：B．
18. 如图，在平面直角坐标系中，过点 且垂直于x轴的直线l与反比例函数 的图像交于点 ，
将直线l绕点 逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则 的取值范围是（）
A. 或 B. 且
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
当 在原点右侧时， 点坐标为 ，设旋转后的直线的解析式为： ，得到
，求出 ；当 在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为： ，
，求出 ，即可得到 的取值范围．
【详解】解：当 在原点右侧时， 点坐标为 ，
直线 绕点 逆时针旋转 ，
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学科网（北京）股份有限公司所得的直线与直线 平行，
设这条直线的解析式为： ，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线 上，
，
，
，
，
；
当 在原点左侧时，
的
设这条直线 解析式为： ，
同理： ，
，
，
，
，
．
的取值范围是 或 ．
故选：C．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．）
19. （1）计算： ；
第19页/共38页
学科网（北京）股份有限公司（2）化简： ．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解
题的关键．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键．
（1）方程两边同乘 ，将分式方程化为整式方程求解即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以 ，
第20页/共38页
学科网（北京）股份有限公司得 ．
．
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解；
（2）解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以原不等式组的解集是 ．
21. 如图， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，则 __________°．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键．
（1）利用 即可证得 ；
（2）先根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据全等三角形的性质即可得出 的度数．
【小问1详解】
证明：在 和 中，
第21页/共38页
学科网（北京）股份有限公司，
；
【小问2详解】
解： ， ，
，
由（1）知 ，
，
故答案为：20．
22. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的
卡片的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两
步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与
总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解： 张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，
第22页/共38页
学科网（北京）股份有限公司洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为 、 、 ，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为 ．
23. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜
色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人
记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数
（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
第23页/共38页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断．
（1）直接判断得 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
（2）用频率公式可得 ；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【小问1详解】
解： 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：实践组摸到黄球的频率 ；
【小问3详解】
解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
24. 如图，将 沿过点 的直线翻折并展开，点 的对应点 落在边 上，折痕为 ，点 在边
上， 经过点 、 ．若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】 与 相切，理由见解析
【解析】
【分析】连接 ，由等腰三角形的性质得 ，再由折叠的性质得 ，进而证
明 ，则 ，因此 ，然后由切线的判定即可得出结论．
【详解】解： 与 相切．
证明：连接 ．
第24页/共38页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点 落在边 上，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴由 ，得 ，即 ．
∴ 与 相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟
练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图像与x轴、y轴交于 、B两
点，与反比例函数 （ ）的图像交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 和 的值；
（2）已知四边形 是正方形，连接 ，点 在反比例函数 （ ）的图像上．当 的面积
与 的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求 和 的值；分两种
情况求 的坐标．
（1）把 的坐标代入 ，即可求出 ，把 代入 ，求出 ，把 代入
，求出 ；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象过 ，
，
，
在函数 的图象上，
，
在函数 图象上，
；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：当 时， ，
，
四边形 是正方形，
，
当 在反比例函数 的图象右半支上，
设 的坐标是 ，
的面积与 的面积相等，
，
，
，
的坐标是 ，
当 在反比例函数 的图象左半支上，
设 的坐标是 ，
的面积与 的面积相等，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
的坐标是 ，
综上 的坐标为 或 ．
26. 图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后
的主视图，此时点E落在 上，已知 ， ，点D、F、G、J在 上， 、 、
、 均与 所在直线平行， ， ．点N在
上， 、 的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时 、 重合，点 、 、 、
、 、 在 上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空： _________；
（2）如图4， _________，由 ，且 的长度不变，可得 与
之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【解析】
【分析】（1） ；
（2）可推出四边形 是平行四边形，从而 ，从而 ，进而得出
， 根 据 ， 得 出
，进一步得出结果；
（3）作 于 ，解直角三角形 求得 和 ，进而表示出 ，在直角三角形 中
根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ；
（2） 、 、 、 均与 所在直线平行，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故答案为： ， ；
（3）如图，
作 于 ，
，
， ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决
问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点
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学科网（北京）股份有限公司（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图像经过B、C、 三点，其中 ，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段
上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为 ，则 _________；
②求t的取值范围：
③求 的最大值．
【答案】（1） ， ，
（2）①6；② 且 ；③4
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练
掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点 的坐标；令 ，解方程，可得出点 ， 的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线 ，再根据点 ， 的坐标可得出 ， 关于对称轴对
称，由此可得出 的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与 轴的交点坐标为 ， ，再由对称性可知，
，由点 在线段 上，且与端点不重合，可得 ，即 ，而当 时，过点 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司三点的二次函数不存在，由此可得 且 ；
③ ，根据二次函数的性质可得结论．
【小问1详解】
解： 二次函数 的图象的顶点为 ，
；
令 ，解得 或 ，
， ；
【小问2详解】
解：①由题知，该函数过点 ， ， ，
函数的解析式为： ，
函数的对称轴为直线 ，
， ，
点 ， 关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为： ，
将 ， ， 两点代入，得 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
二次函数图象的对称轴与 轴的交点坐标为 ， ，
， 两点关于对称轴对称，点 ，
，
点 在线段 上，且与端点不重合，
，即 ，
时，过点 ， ， 三点的二次函数不存在，
且 ；
③ ， ，
．
，
且 ，
时， 有最大值，最大值为4．
28. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作 、 的
中点．
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学科网（北京）股份有限公司操作：如图2，连接 、 交于点P，连接 交 于点M，延长 交 于点N，则M、N分别为 、
的中点．
理由：由 可得 及 ，所以 ， ．所以，
．同理，由 及 ，可得 ， ．所以
．所以 ，则 ， ，即M、N分别为 、 的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3， ，点E、F在直线 上．
①作线段 的中点；
②在①中作图的基础上，在直线 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线
段．如图4， ，已知点 、 在 上，他利用上述方法作出了 ．点E、F在直线 上，请
在图4中作出线段 的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图5， 是 的中位线．请在线段 上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）．
【答案】（1）①见解析，②见解析；
（2）见解析；
（3）见解析
【解析】
【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在 上方任取一点 ，得到 ， 与交 于点 ，
交 于点 ，连接 ， 交于点 ，作射线 交 ， 分别于 ， ，点 即为所求点；
②作射线 交 于点 ，作射线 交 于点 ，点 即为所求；
（2）根据上述作法，有两种作法；
[探索发现]如作法一，根据相似可知，连接 ， 交于点 ，则 ，即点 是 的三等分点
之一，由此可以得出过点 作 的平行线；同理可得点 是 的三等分点之一，则 ，即点
为所求作点．
【详解】解：[实践操作]
（1）①如图，
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学科网（北京）股份有限公司点 即为所求作的点；
②如图，
点 即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
作法二、
点 ， 即为所求作的点；
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学科网（北京）股份有限公司[探索发现]（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
作法四、
作法五、
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学科网（北京）股份有限公司点 即为所求的点．
【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中
， 为中点是解题关键．
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