2010年江西高考理科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江西高考数学90-23

2010 年江西高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的。 1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=2 2.若集合 ， ，则 =（ ） A. B. C. D. x2 x2  x x 3.不等式 的解集是（ ） A. B. C. D.  1 1 1  lim 1        x 3 32 3n  4. （ ） 5 3 3 2 A. B. C. 2 D. 不存在 5.等比数列 中， ， =4，函数 ，则 （ ） A． B. C. D. 6. 展开式中不含 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则 （ ） 16 2 3 3 27 3 3 4 A. B. C. D.8.直线 与圆 相交于M,N两点，若 ，则k的取 值范围是   3 ，0   ， 3 0，   3 ， 3    2 ，0    4     4     3 3    3   A. B. C. D. 9．给出下列三个命题： ①函数 与 是同一函数； ②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数 与 的图像也关于直线 对称； ③若奇函数 对定义域内任意x都有 ，则 为周期函数。 其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 10.过正方体 的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 , , 所成的角都相等，这样的直线L可以作 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀 疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚； 方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 和 ，则 A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能 12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t时刻五角星露 出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。 13.已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则 14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。 15.点 在双曲线 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 ，则 = 16.如图，在三棱锥 中，三条棱 ， ， 两两垂直， 且 > > ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三 棱锥的体积，截面面积依次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关 系为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）     f x1cotxsin2 xmsin x sin x      4  4 已知函数 。 (1) 当m=0时，求 在区间 上的取值范围； (2) 当 时， ，求m的值。 18. （本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号 通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个 你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。 （1） 求 的分布列； （2） 求 的数学期望。19. （本小题满分12分） 设函数 。 （1）当a=1时，求 的单调区间。 （2）若 在 上的最大值为 ，求a的值。 20. （本小题满分12分） 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面 BCD，AB 平面BCD， 。 （1） 求点A到平面MBC的距离； （2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 21. （本小题满分12分） x2 y2 C :  1(ab0) 1 a2 b2 C :x2 by b2 设椭圆 ，抛物线 2 。 （1） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率； （2） 设A（0，b）， ,又M、N为 与 不在y轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为 ，且△QMN的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。22. （本小题满分14分） 证明以下命题： （1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b D。以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作 业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的 概率为 ，总概率为 ；同理，方法二：每箱的选中的概率为 ，总事件的概率 为 ，作差得 < 。 12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t时刻五角星露 出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为 【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探 究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一 直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑， 考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。 13.已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则 【答案】 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如 图 ，由余弦定理得： 14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场 馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先 分组，考虑到有2个是平均分组，得 ，再全排列得： 15.点 在双曲线 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 ，则 = 【答案】 2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6, , 16.如图，在三棱锥 中，三条棱 ， ， 两两垂直， 且 > > ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三 棱锥的体积，截面面积依次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关 系为 。 【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论 特殊化，令边长为1，2，3得 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）     f x1cotxsin2 xmsin x sin x      4  4 已知函数 。(1) 当m=0时，求 在区间 上的取值范围； (2) 当 时， ，求m的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托 三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于 中等题. 解 ： （ 1 ） 当 m=0 时 ， ，由已知 ，得 从而得： 的值域为 （2） 化简得： 当 ，得： ， ， 代入上式，m=-2. 18. （本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号 通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个 你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 表示走出迷宫所需的时间。 （3） 求 的分布列； （4） 求 的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概 率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 （1） 必须要走到1号门才能走出， 可能的取值为1，3，4，6 ， ， ，分布列为： 1 3 4 6 （2） 小时 19. （本小题满分12分） 设函数 。 （1）当a=1时，求 的单调区间。 （2）若 在 上的最大值为 ，求a的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得： ，定义域为（0，2） （1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当a=1时，令 当 为增区间；当 为减函数。 （2） 区间 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到， 确定 待定量a的值。 当 有最大值，则必不为减函数，且 >0，为单调递增区 间。 最大值在右端点取到。 。 20. （本小题满分12分） 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面 BCD，AB 平面BCD， 。 （3） 求点A到平面MBC的距离；（4） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二 面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象 能力和推理能力 解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD， OM⊥CD.又平面 平面 ,则MO⊥平面 ，所以MO∥AB， A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成 的角.OB=MO= ，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等， 作OH BC于H，连MH，则MH BC，求得： OH=OCsin600= ,MH= , 利 用 体 积 相 等 得 ： 。 （2）CE是平面 与平面 的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形. 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为 . 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°. ， ， 所以，所求二面角的正弦值是 . 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊 位置的元素解决 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 , 则MO⊥平面 . 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 A z 直角坐标系如图. OB=OM= ，则各点坐标分别为 O（0，0，0），C（1，0， 0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 M ）， B D （1）设 是平面MBC的法向量，则 ， O y x C， 由 得 ； 由 得 ； 取 ，则距离 （2） ， . 设平面ACM的法向量为 ，由 得 .解得 ， ， 取 . 又 平 面 BCD 的 法 向 量 为 ， 则 设所求二面角为 ，则 . 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计 算必须慎之又慎 21. （本小题满分12分） x2 y2 C :  1(ab0) 1 a2 b2 C :x2 by b2 设椭圆 ，抛物线 2 。 （3） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率； （4） 设A（0，b）， ,又M、N为 与 不在y轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为 ，且△QMN的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由 。 (2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设 ,由 的垂心为B，有。 由点 在抛物线上， ，解得： 故 ，得 重心坐标 . 由重心在抛物线上得： ， ，又因为 M、N在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。 22. （本小题满分14分） 证明以下命题： （3） 对任一正整a,都存在整数b,c(b