2010年江西高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江西高考数学90-23

2010 年江西高考文科数学真题及答案 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150 分。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答， 答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB)P(A)P(B) S 4R2 如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k) Ckpk(1 p)nk n n 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．对于实数a,b,c，“ab”是“ac2 bc2”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件     2．若集合A x|x|1 ，B x x0 ，则A  B        A． x 1 x1 B． x x0 C． x 0 x1 D． 3．(1x)10展开式中x3项的系数为 A．720 B．720 C．120 D．120 4．若 f(x)ax4 bx2 c满足 f (1)  2，则 f (1)  A．4 B．2 C．2 D．4 5．不等式 x2  x2的解集是 A．(,2) B．(,) C．(2,) D．(,2)  (2,)6．函数y sin2 xsinx1的值域为 5 5 5 A．[1,1] B．[ ,1] C．[ ,1] D．[1, ] 4 4 4 7．等比数列{a }中，|a |1,a 8a ,a a ,则a  n 1 5 2 5 2 n A．(2)n1 B．(2n1) C．(2)n D．(2)n ax 8．若函数y  的图像关于直线 y  x 对称，则a为 1x A．1 B．1 C．1 D．任意实数 9．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p (0 p1)，假设每位同学能否通 过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为 A．(1 p)n B．1 pn C． pn D．1(1 p)n 10．直线y kx3与圆(x2)2 (y3)2 4相交于M、N两点，若|MN|≥2 3，则k的取值范围是 3 3 3 2 A．[ ,0] B．[ , ] C．[ 3, 3] D．[ ,0] 4 3 3 3 A D B C 11．如图，M是正方体ABCDABC D 的棱DD 的中点，给出下列命题 M 1 1 1 1 1  ①过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都相交； A 1 1 1 D 1 ②过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都垂直； 1 1 B C ③过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都相交； 1 1 1 1 ④过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都平行. 1 1 其中真命题是： A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 y sin2x，   y sin(x )， y sin(x )的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误 6 3 的图像是 x x A B x x C D2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上        13．已知向量a，b 满足|b|2，a与b 的夹角为60，则b 在a上的投影是 ； 【答案】1    【解析】考查向量的投影定义，b 在a上的投影等于b 的模乘以两向量夹角的余弦值 14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分 配方案有 种（用数字作答）； 【答案】90 【解析】考查排列组合里分组分配问题， x2 y2 15．点A(x ,y )在双曲线  1的右支上，若点 A到右焦点的距离 0 0 4 32 等于2x ，则x  ； A D 0 0 B C 【答案】2 【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离 A 等于离心率得出x 2 1 D 1 0 B C 16．长方体 ABCDABC D 的顶点均在同一个球面上， AB  AA 1， 1 1 1 1 1 1 1 BC  2，则A，B两点间的球面距离为 .  【答案】 3 【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公 式得出答案 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 设函数 f(x)6x33(a2)x2 2ax. （1）若 f(x)的两个极值点为x ,x ，且x x 1，求实数a的值； 1 2 1 2 （2）是否存在实数a，使得 f(x)是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由. 【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 解： f(x)18x2 6(a2)x2a 2a （1）由已知有 f(x ) f(x )0，从而x x  1，所以a9； 1 2 1 2 18（2）由36(a2)2 4182a36(a2 4)0， 所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数. 18．（本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可 能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小 时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率； (2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率. 【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的 数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 1 解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A) . 3 1 1 1 1 (2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)    . 6 6 6 2 19．（本小题满分12分）   已知函数 f(x)(1cotx)sin2 x2sin(x )sin(x ). 4 4 （1）若tan2，求 f()；   （2）若x[ , ]，求 f(x)的取值范围. 12 2 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函 数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题. 1cos2x 1 解：（1） f(x)sin2 xsinxcosxcos2x   sin2xcos2x 2 2 1 1  (sin2xcos2x) 2 2 2sincos 2tan 4 由tan2得sin2   ， sin2cos2 1tan2 5 cos2sin2 1tan2 3 cos2   ， sin2cos2 1tan2 5 3 所以 f() . 5 1 1 2  1 （2）由（1）得 f(x) (sin2xcos2x)  sin(2x ) 2 2 2 4 2   5 5  2 由x[ , ]得2x [ , ]，所以sin(2x )[ ,1] 12 2 4 12 4 4 2 2  1 1 2 从而 f(x) sin(2x ) [0, ]. 2 4 2 2 A 20．（本小题满分12分） 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB平面BCD， M AB 2 3. B D （1）求直线AM 与平面BCD所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD所成的二面角的正弦值. C 【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空 间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推 理能力 解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD平面 BCD,则MO⊥平面 BCD，所以MO∥AB，A、 B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的 角. EO MO 1 A_ OB=MO= 3，MO∥AB，则   ， EOOB  3， EB AB 2 所以EB 2 3  AB，故AEB 45. （2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线. _M 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形. _D 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B _B 的平面角，设为. _O _H 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°. _E F_ C_ BF  BCsin60  3， AB 2 5 tan 2，sin BF 5 A z 2 5 所以，所求二面角的正弦值是 . 5 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平 面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD. M 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 B D O y x C直角坐标系如图. OB=OM= 3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， 3），B（0，- 3， 0），A（0，- 3，2 3）， （1）设直线AM与平面BCD所成的角为.   因 AM （ 0 ， 3，  3） ， 平 面 BCD的 法 向 量 为 n(0,0,1). 则 有     AM n 3 2 sin cos AM,n      ，所以45. AM  n 6 2   （2）CM (1,0, 3)，CA(1, 3,2 3).     n CM  x 3z 0 设平面ACM的法向量为n (x,y,z)，由 1 得 .解得x 3z， y  z ， 1    n CA x 3y2 3z 0 1   取n  ( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n  (0,0,1)，则 cosn  1 ,n    n  1 n   1 1 n  n 5 1 1 2 5 设所求二面角为，则sin 1( )2  . 5 5 21．（本小题满分12分） x2 y2 已知抛物线C ：x2 by b2经过椭圆C ：  1(ab0)的两个焦点. 1 2 a2 b2 (1) 求椭圆C 的离心率； y 2 Q (2) 设Q(3,b)，又M,N 为C 与C 不在 y 轴上的两个交 1 2 点，若QMN 的重心在抛物线C 上，求C 和C 的 1 1 2 O x 方程. M N 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角 y 形来确认方程。 Q 解 ： （ 1 ） 因 为 抛 物 线 C 经 过 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 1 2 F(c,0),F (c,0)， 1 2 O x M N 所以 c2 b0b2，即 c2 b2，由 a2 b2 c2 2c2得椭圆C 22 的离心率e . 2 （2）由（1）可知a2 2b2，椭圆C 的方程为： 2 x2 y2  1 2b2 b2 联立抛物线C 的方程x2 by b2得：2y2 byb2 0， 1 b 6 解得：y  或y b（舍去），所以x b ， 2 2 6 b 6 b 即M( b, ),N( b, )，所以QMN 的重心坐标为(1,0). 2 2 2 2 因为重心在C 上，所以12 b0b2，得b1.所以a2 2. 1 所以抛物线C 的方程为：x2  y 1， 1 x2 椭圆C 的方程为：  y2 1. 2 2 22．（本小题满分14分） 正实数数列{a }中,a 1,a 5,且{a2}成等差数列. n 1 2 n (1) 证明数列{a }中有无穷多项为无理数； n (2)当n为何值时，a 为整数，并求出使a 200的所有整数项的和. n n 【解析】考查等差数列及数列分组求和知识 证明：（1）由已知有：a2 124(n1)，从而a  124(n1)， n n 方法一：取n1242k1，则a  1242k （kN*） n 用反证法证明这些a 都是无理数. n 假设a  1242k 为有理数，则a 必为正整数，且a 24k ， n n n 故a 24k 1.a 24k 1,与(a 24k)(a 24k)1矛盾， n n n n所以a  1242k （kN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数; n n 方法二：因为a2 124n, (nN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，124n的末位数字是3和7， n1 它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a  124n不是有理数，因这种n有无穷多，故 n1 这种无理项a 也有无穷多． n1 (2) 要使a 为整数，由(a 1)(a 1)24(n1)可知： n n n a 1,a 1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a 16m或a 16m n n n n 当a 6m1时，有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN ） n n 又m(3m1)必为偶数，所以a 6m1（mN ）满足a2 124(n1) n n m(3m1) 即n 1（mN ）时，a 为整数； 2 n 同理a 6m1(mN*)有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN*） n n m(3m1) 也满足a2 124(n1)，即n 1（mN*）时，a 为整数； n 2 n 显然a 6m1(mN*)和a 6m1（mN ）是数列中的不同项； n n m(3m1) m(3m1) 所以当n 1（mN ）和n 1（mN*）时，a 为整数； 2 2 n 由a 6m1200（mN ）有0m33， n 由a 6m1200（mN*）有1m33. n 设a 中满足a 200的所有整数项的和为S ，则 n n 5197 1199 S (511 197)(17 199)  33 346733   2 2 绝密★启用前 秘密★启用后 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D B A C A B D B C C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.  13．1 14．90 15．2 16． 3 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 解： f(x)18x2 6(a2)x2a 2a （1）由已知有 f(x ) f(x )0，从而x x  1，所以a9； 1 2 1 2 18 （2）由36(a2)2 4182a36(a2 4)0， 所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数. 18．（本小题满分12分） 1 解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A) . 3 1 1 1 1 (2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)    . 6 6 6 2 19．（本小题满分12分） 1cos2x 1 解：（1） f(x)sin2 xsinxcosxcos2x   sin2xcos2x 2 2 1 1  (sin2xcos2x) 2 2 2sincos 2tan 4 由tan2得sin2   ， sin2cos2 1tan2 5 cos2sin2 1tan2 3 cos2   ， sin2cos2 1tan2 5 3 所以 f() . 5 1 1 2  1 （2）由（1）得 f(x) (sin2xcos2x)  sin(2x ) 2 2 2 4 2    5 5  2 由x[ , ]得2x [ , ]，所以sin(2x )[ ,1] 12 2 4 12 4 4 2 2  1 1 2 从而 f(x) sin(2x ) [0, ]. 2 4 2 2 20．（本小题满分12分） 解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于 E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.EO MO 1 A_ OB=MO= 3，MO∥AB，则   ， EOOB  3， EB AB 2 所以EB 2 3  AB，故AEB 45. （2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线. _M 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形. _D 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B _B 的平面角，设为. _O _H 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°. _E F_ C_ BF  BCsin60  3， AB 2 5 tan 2，sin BF 5 2 5 所以，所求二面角的正弦值是 . 5 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面 BCD. 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 A z 直角坐标系如图. OB=OM= 3，则各点坐标分别为 O（0，0，0），C（1，0， 0），M（0，0， 3），B（0，- 3，0），A（0，- 3，2 3 M ）， B D （1）设直线AM与平面BCD所成的角为.  因 AM （ 0 ， 3，  3） ， 平 面 BCD的 法 向 量 为 O y   x    AM n 3 2 C n(0,0,1). 则 有 sin cos AM,n      ， AM  n 6 2 所以45.   （2）CM (1,0, 3)，CA(1, 3,2 3).     n CM  x 3z 0 设平面ACM的法向量为n (x,y,z)，由 1 得 .解得x 3z， y  z ， 1    n CA x 3y2 3z 0 1   z 取n  ( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n  (0,0,1)，则 cosn  1 ,n    n  1 n   1 1 n  n 5 11 2 5 设所求二面角为，则sin 1( )2  . 5 5 21. （本小题满分12分） 解 ： （ 1 ） 因 为 抛 物 线 经 过 椭 圆 的 两 个 焦 点 C C 1 2 y F(c,0),F (c,0)， 1 2 Q 所以 c2 b0b2，即 c2 b2，由 a2 b2 c2 2c2得椭圆C 2 2 O x 的离心率e . M N 2 （2）由（1）可知a2 2b2，椭圆C 的方程为： 2 x2 y2  1 2b2 b2 联立抛物线C 的方程x2 by b2得：2y2 byb2 0， 1 b 6 解得：y  或y b（舍去），所以x b ， 2 2 6 b 6 b 即M( b, ),N( b, )，所以QMN 的重心坐标为(1,0). 2 2 2 2 因为重心在C 上，所以12 b0b2，得b1.所以a2 2. 1 所以抛物线C 的方程为：x2  y 1， 1 x2 椭圆C 的方程为：  y2 1. 2 2 22．（本小题满分14分） 证明：（1）由已知有：a2 124(n1)，从而a  124(n1)， n n 方法一：取n1242k1，则a  1242k （kN*） n 用反证法证明这些a 都是无理数. n 假设a  1242k 为有理数，则a 必为正整数，且a 24k ， n n n 故a 24k 1.a 24k 1,与(a 24k)(a 24k)1矛盾， n n n n所以a  1242k （kN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数; n n 方法二：因为a2 124n, (nN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，124n的末位数字是3和7， n1 它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a  124n不是有理数，因这种n有无穷多，故 n1 这种无理项a 也有无穷多． n1 (2) 要使a 为整数，由(a 1)(a 1)24(n1)可知： n n n a 1,a 1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a 16m或a 16m n n n n 当a 6m1时，有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN ） n n 又m(3m1)必为偶数，所以a 6m1（mN ）满足a2 124(n1) n n m(3m1) 即n 1（mN ）时，a 为整数； 2 n 同理a 6m1(mN*)有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN*） n n m(3m1) 也满足a2 124(n1)，即n 1（mN*）时，a 为整数； n 2 n 显然a 6m1(mN*)和a 6m1（mN ）是数列中的不同项； n n m(3m1) m(3m1) 所以当n 1（mN ）和n 1（mN*）时，a 为整数； 2 2 n 由a 6m1200（mN ）有0m33， n 由a 6m1200（mN*）有1m33. n 设a 中满足a 200的所有整数项的和为S ，则 n n 5197 1199 S (511 197)(17 199)  33 346733   2 2 2010 年江西高考文科数学真题及答案 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。 考生注意： 4. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 5. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答， 答案无效。 6. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB)P(A)P(B) S 4R2 如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k) Ckpk(1 p)nk n n 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．对于实数a,b,c，“ab”是“ac2 bc2”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】主要考查不等式的性质。当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边     2．若集合A x|x|1 ，B x x0 ，则A  B        A． x 1 x1 B． x x0 C． x 0 x1 D． 【答案】C 【解析】考查集合与简单不等式。解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合 A是由大 于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案 3．(1x)10展开式中x3项的系数为 A．720 B．720 C．120 D．120 【答案】D 【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由 4．若 f(x)ax4 bx2 c满足 f (1)  2，则 f (1)  A．4 B．2 C．2 D．4 【答案】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B 5．不等式 x2  x2的解集是A．(,2) B．(,) C．(2,) D．(,2)  (2,) 【答案】A 【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值 的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。 但此题利用代值法会更好 6．函数y sin2 xsinx1的值域为 5 5 5 A．[1,1] B．[ ,1] C．[ ,1] D．[1, ] 4 4 4 【答案】C 【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令 sin X t 可得 y t2 t1 从而求解出二次函数值域 7．等比数列{a }中，|a |1,a 8a ,a a ,则a  n 1 5 2 5 2 n A．(2)n1 B．(2n1) C．(2)n D．(2)n 【答案】A 【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。 ax 8．若函数y  的图像关于直线 y  x 对称，则a为 1x A．1 B．1 C．1 D．任意实数 【答案】B 【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线 y  x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反 函数再与原函数比较系数可得答案。 或利用反函数的性质，依题知（1，a/2）与（a/2，1）皆在原函数图故可得a=-1 9．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p (0 p1)，假设每位同学能否通 过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为 A．(1 p)n B．1 pn C． pn D．1(1 p)n 【答案】D 【解析】考查n次独立重复事件中A事件恰好发生K次的公式，可先求n次测试中没有人通过的概率再利 用对立事件得答案D 10．直线y kx3与圆(x2)2 (y3)2 4相交于M、N两点，若|MN|≥2 3，则k的取值范围是 3 3 3 2 A．[ ,0] B．[ , ] C．[ 3, 3] D．[ ,0] 4 3 3 3 A D 【答案】B B C M  【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求|MN|再结合|MN|≥ A 2 3可得答案 1 D 1 法二、利用圆的性质知：圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径 B 1 C 1的平方求出|MN|再结合|MN|≥2 3可得答案 11．如图，M是正方体ABCDABC D 的棱DD 的中点，给出下列命题 1 1 1 1 1 ①过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都相交； 1 1 ②过M点有且只有一条直线与直线AB、BC 都垂直； 1 1 ③过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都相交； 1 1 ④过M点有且只有一个平面与直线AB、BC 都平行. 1 1 其中真命题是： A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质 12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 y sin2x，   y sin(x )， y sin(x )的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误 6 3 的图像是 x x A B x x C D 【答案】C 【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上        13．已知向量a，b 满足|b|2，a与b 的夹角为60，则b 在a上的投影是 ； 【答案】1   【解析】考查向量的投影定义，b 在a上的投影等于b 的模乘以两向量夹角的余弦值 14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分 配方案有 种（用数字作答）； 【答案】90 【解析】考查排列组合里分组分配问题， x2 y2 15．点A(x ,y )在双曲线  1的右支上，若点 A到右焦点的距离 0 0 4 32 等于2x ，则x  ； A D 0 0 B C 【答案】2 【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A到右焦点比上到右准线的距离 A 等于离心率得出x 2 1 D 1 0 B C 16．长方体 ABCDABC D 的顶点均在同一个球面上， AB  AA 1， 1 1 1 1 1 1 1 BC  2，则A，B两点间的球面距离为 .  【答案】 3 【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公 式得出答案 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 设函数 f(x)6x33(a2)x2 2ax. （1）若 f(x)的两个极值点为x ,x ，且x x 1，求实数a的值； 1 2 1 2 （2）是否存在实数a，使得 f(x)是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由. 【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 解： f(x)18x2 6(a2)x2a 2a （1）由已知有 f(x ) f(x )0，从而x x  1，所以a9； 1 2 1 2 18 （2）由36(a2)2 4182a36(a2 4)0， 所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数. 18．（本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可 能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小 时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率； (2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的 数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 1 解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A) . 3 1 1 1 1 (2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)    . 6 6 6 2 19．（本小题满分12分）   已知函数 f(x)(1cotx)sin2 x2sin(x )sin(x ). 4 4 （1）若tan2，求 f()；   （2）若x[ , ]，求 f(x)的取值范围. 12 2 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函 数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题. 1cos2x 1 解：（1） f(x)sin2 xsinxcosxcos2x   sin2xcos2x 2 2 1 1  (sin2xcos2x) 2 2 2sincos 2tan 4 由tan2得sin2   ， sin2cos2 1tan2 5 cos2sin2 1tan2 3 cos2   ， sin2cos2 1tan2 5 3 所以 f() . 5 1 1 2  1 （2）由（1）得 f(x) (sin2xcos2x)  sin(2x ) 2 2 2 4 2    5 5  2 由x[ , ]得2x [ , ]，所以sin(2x )[ ,1] 12 2 4 12 4 4 2 2  1 1 2 从而 f(x) sin(2x ) [0, ]. 2 4 2 2 A 20．（本小题满分12分） 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB平面BCD， M AB 2 3. B D C（1）求直线AM 与平面BCD所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD所成的二面角的正弦值. 【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关 知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD平面 BCD,则MO⊥平面 BCD，所以MO∥AB，A、 B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的 角. EO MO 1 A_ OB=MO= 3，MO∥AB，则   ， EOOB  3， EB AB 2 所以EB 2 3  AB，故AEB 45. （2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线. _M 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形. _D 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B _B 的平面角，设为. _O _H 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°. _E F_ C_ BF  BCsin60  3， AB 2 5 tan 2，sin BF 5 2 5 所以，所求二面角的正弦值是 . 5 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面 BCD. 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 A z 直角坐标系如图. OB=OM= 3，则各点坐标分别为 O（0，0，0），C（1，0， 0），M（0，0， 3），B（0，- 3，0），A（0，- 3，2 3 M ）， B D （1）设直线AM与平面BCD所成的角为.  因 AM （ 0 ， 3，  3） ， 平 面 BCD的 法 向 量 为 O y   x    AM n 3 2 C n(0,0,1). 则 有 sin cos AM,n      ， AM  n 6 2所以45.   （2）CM (1,0, 3)，CA(1, 3,2 3).     n CM  x 3z 0 设平面ACM的法向量为n (x,y,z)，由 1 得 .解得x 3z， y  z ， 1    n CA x 3y2 3z 0 1   取n  ( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n  (0,0,1)，则 cosn  1 ,n    n  1 n   1 1 n  n 5 1 1 2 5 设所求二面角为，则sin 1( )2  . 5 5 21．（本小题满分12分） x2 y2 已知抛物线C ：x2 by b2经过椭圆C ：  1(ab0)的两个焦点. 1 2 a2 b2 y (1) 求椭圆C 的离心率； 2 Q (2) 设Q(3,b)，又M,N 为C 与C 不在 y 轴上的两个交 1 2 点，若QMN 的重心在抛物线C 上，求C 和C 的 1 1 2 O x 方程. M N 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角 y 形来确认方程。 Q 解 ： （ 1 ） 因 为 抛 物 线 C 经 过 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 1 2 F(c,0),F (c,0)， 1 2 O x M N 所以 c2 b0b2，即 c2 b2，由 a2 b2 c2 2c2得椭圆C 2 2 的离心率e . 2 （2）由（1）可知a2 2b2，椭圆C 的方程为： 2 x2 y2  1 2b2 b2 联立抛物线C 的方程x2 by b2得：2y2 byb2 0， 1b 6 解得：y  或y b（舍去），所以x b ， 2 2 6 b 6 b 即M( b, ),N( b, )，所以QMN 的重心坐标为(1,0). 2 2 2 2 因为重心在C 上，所以12 b0b2，得b1.所以a2 2. 1 所以抛物线C 的方程为：x2  y 1， 1 x2 椭圆C 的方程为：  y2 1. 2 2 22．（本小题满分14分） 正实数数列{a }中,a 1,a 5,且{a2}成等差数列. n 1 2 n (1) 证明数列{a }中有无穷多项为无理数； n (2)当n为何值时，a 为整数，并求出使a 200的所有整数项的和. n n 【解析】考查等差数列及数列分组求和知识 证明：（1）由已知有：a2 124(n1)，从而a  124(n1)， n n 方法一：取n1242k1，则a  1242k （kN*） n 用反证法证明这些a 都是无理数. n 假设a  1242k 为有理数，则a 必为正整数，且a 24k ， n n n 故a 24k 1.a 24k 1,与(a 24k)(a 24k)1矛盾， n n n n 所以a  1242k （kN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数; n n 方法二：因为a2 124n, (nN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，124n的末位数字是3和7， n1 它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a  124n不是有理数，因这种n有无穷多，故 n1 这种无理项a 也有无穷多． n1 (2) 要使a 为整数，由(a 1)(a 1)24(n1)可知： n n na 1,a 1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a 16m或a 16m n n n n 当a 6m1时，有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN ） n n 又m(3m1)必为偶数，所以a 6m1（mN ）满足a2 124(n1) n n m(3m1) 即n 1（mN ）时，a 为整数； 2 n 同理a 6m1(mN*)有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN*） n n m(3m1) 也满足a2 124(n1)，即n 1（mN*）时，a 为整数； n 2 n 显然a 6m1(mN*)和a 6m1（mN ）是数列中的不同项； n n m(3m1) m(3m1) 所以当n 1（mN ）和n 1（mN*）时，a 为整数； 2 2 n 由a 6m1200（mN ）有0m33， n 由a 6m1200（mN*）有1m33. n 设a 中满足a 200的所有整数项的和为S ，则 n n 5197 1199 S (511 197)(17 199)  33 346733   2 2 绝密★启用前 秘密★启用后 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D B A C A B D B C C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.  13．1 14．90 15．2 16． 3 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 解： f(x)18x2 6(a2)x2a 2a （1）由已知有 f(x ) f(x )0，从而x x  1，所以a9； 1 2 1 2 18（2）由36(a2)2 4182a36(a2 4)0， 所以不存在实数a，使得 f(x)是R上的单调函数. 18．（本小题满分12分） 1 解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P(A) . 3 1 1 1 1 (2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则P(B)    . 6 6 6 2 19．（本小题满分12分） 1cos2x 1 解：（1） f(x)sin2 xsinxcosxcos2x   sin2xcos2x 2 2 1 1  (sin2xcos2x) 2 2 2sincos 2tan 4 由tan2得sin2   ， sin2cos2 1tan2 5 cos2sin2 1tan2 3 cos2   ， sin2cos2 1tan2 5 3 所以 f() . 5 1 1 2  1 （2）由（1）得 f(x) (sin2xcos2x)  sin(2x ) 2 2 2 4 2    5 5  2 由x[ , ]得2x [ , ]，所以sin(2x )[ ,1] 12 2 4 12 4 4 2 2  1 1 2 从而 f(x) sin(2x ) [0, ]. 2 4 2 2 20．（本小题满分12分） 解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于 E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角. EO MO 1 A_ OB=MO= 3，MO∥AB，则   ， EOOB  3， EB AB 2 所以EB 2 3  AB，故AEB 45. （2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线. _M 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形. _D 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B _B 的平面角，设为. _O _H 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°. _E F_ C_BF  BCsin60  3， AB 2 5 tan 2，sin BF 5 2 5 所以，所求二面角的正弦值是 . 5 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面 BCD. 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 A z 直角坐标系如图. OB=OM= 3，则各点坐标分别为 O（0，0，0），C（1，0， 0），M（0，0， 3），B（0，- 3，0），A（0，- 3，2 3 M ）， B D （1）设直线AM与平面BCD所成的角为.  因 AM （ 0 ， 3，  3） ， 平 面 BCD的 法 向 量 为 O y   x    AM n 3 2 C n(0,0,1). 则 有 sin cos AM,n      ， AM  n 6 2 所以45.   （2）CM (1,0, 3)，CA(1, 3,2 3).     n CM  x 3z 0 设平面ACM的法向量为n (x,y,z)，由 1 得 .解得x 3z， y  z ， 1    n CA x 3y2 3z 0 1   z 取n  ( 3,1,1).又平面BCD的法向量为n  (0,0,1)，则 cosn  1 ,n    n  1 n   1 1 n  n 5 1 1 2 5 设所求二面角为，则sin 1( )2  . 5 5 21. （本小题满分12分） 解 ： （ 1 ） 因 为 抛 物 线 经 过 椭 圆 的 两 个 焦 点 C C 1 2 y F(c,0),F (c,0)， 1 2 Q 所以 c2 b0b2，即 c2 b2，由 a2 b2 c2 2c2得椭圆C 2 O x M N2 的离心率e . 2 （2）由（1）可知a2 2b2，椭圆C 的方程为： 2 x2 y2  1 2b2 b2 联立抛物线C 的方程x2 by b2得：2y2 byb2 0， 1 b 6 解得：y  或y b（舍去），所以x b ， 2 2 6 b 6 b 即M( b, ),N( b, )，所以QMN 的重心坐标为(1,0). 2 2 2 2 因为重心在C 上，所以12 b0b2，得b1.所以a2 2. 1 所以抛物线C 的方程为：x2  y 1， 1 x2 椭圆C 的方程为：  y2 1. 2 2 22．（本小题满分14分） 证明：（1）由已知有：a2 124(n1)，从而a  124(n1)， n n 方法一：取n1242k1，则a  1242k （kN*） n 用反证法证明这些a 都是无理数. n 假设a  1242k 为有理数，则a 必为正整数，且a 24k ， n n n 故a 24k 1.a 24k 1,与(a 24k)(a 24k)1矛盾， n n n n 所以a  1242k （kN*）都是无理数，即数列{a }中有无穷多项为无理数; n n 方法二：因为a2 124n, (nN)，当n的末位数字是3,4,8,9时，124n的末位数字是3和7， n1 它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a  124n不是有理数，因这种n有无穷多，故 n1 这种无理项a 也有无穷多． n1(2) 要使a 为整数，由(a 1)(a 1)24(n1)可知： n n n a 1,a 1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a 16m或a 16m n n n n 当a 6m1时，有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN ） n n 又m(3m1)必为偶数，所以a 6m1（mN ）满足a2 124(n1) n n m(3m1) 即n 1（mN ）时，a 为整数； 2 n 同理a 6m1(mN*)有a2 36m2 12m1112m(3m1)（mN*） n n m(3m1) 也满足a2 124(n1)，即n 1（mN*）时，a 为整数； n 2 n 显然a 6m1(mN*)和a 6m1（mN ）是数列中的不同项； n n m(3m1) m(3m1) 所以当n 1（mN ）和n 1（mN*）时，a 为整数； 2 2 n 由a 6m1200（mN ）有0m33， n 由a 6m1200（mN*）有1m33. n 设a 中满足a 200的所有整数项的和为S ，则 n n 5197 1199 S (511 197)(17 199)  33 346733   2 2