文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满
分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡
的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：
锥体的体积公式: V = Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。
锥体
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位
置上.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=_____ _ ▲ _ ____.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_____ _ ▲ _ ____.
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是 _ ▲ __ .
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽
取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花
质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其
频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有
_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数
a=___ ____ ▲ ____ _____
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______ ▲ ______ _
8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(a,a2)处的切线与 x轴交点的横坐标为 a ,k为正整数，
k k k+1
a=16，则a+a +a =____ ▲ ____ _
1 1 3 5
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1，则实数c的取值范围是______ ▲ ____ _
10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作
PP ⊥x轴于点P，直线PP 与y=sinx的图像交于点P,则线段PP 的长为_______ ▲ ____ _。
1 1 1 2 1 2
11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是__ ▲ __ _。
12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是 ▲ 。
13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， ，则
=____ ▲ ___ __。
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记 ,则S的最小值是____ ▲ ___ _。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足( )· =0，求t的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，
AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。
17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度
h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距
离d（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电
视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大？
18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为
F。设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。
（1）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（2）设 ，求点T的坐标；
（3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的
等差数列。
（1）求数列 的通项公式（用 表示）；
（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都
成立。求证： 的最大值为 。
20、（本小题满分16分）
设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数
，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，
则称函数 具有性质 。
(1)设函数 ，其中 为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数，
， ，且 ，
若| |<| |，求 的取值范围。数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。
若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4-1：几何证明选讲
D
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交
A B C
O
AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=
,N= ，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A 、B 、C ，
1 1 1
△AB C 的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
1 1 1
C．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证： 。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为20%；乙产品的一等
品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二
等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
23、（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位
置上.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=_____ _ ▲ _ ____.
[解析] 考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_____ _ ▲ _ ____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是 _ ▲ __ .
[解析]考查古典概型知识。
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽
取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花
质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其
频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有
_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a=___ ____ ▲ ____ _____
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。 ， 为点 M到右准线 的距离， =2，
MF=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______ ▲ ______ _
[解析]考查流程图理解。 输出 。
8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(a,a2)处的切线与 x轴交点的横坐标为 a ,k为正整数，
k k k+1
a=16，则a+a +a =____ ▲ ____ _
1 1 3 5
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a,a2)处的切线方程为： 当 时，解得 ，
k k
所以 。
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1，则实数c的取值范围是______ ▲ ____ _
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1， ， 的取值范围是（-13，13）。
10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作
PP ⊥x轴于点P，直线PP 与y=sinx的图像交于点P,则线段PP 的长为_______ ▲ ____ _。
1 1 1 2 1 2
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段PP 的长即为sinx的值，
1 2
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx= 。线段PP 的长为
1 2
11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是__ ▲ __ _。
[解析] 考查分段函数的单调性。12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是 ▲ 。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
， ， ， 的最大值是27。
13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， ，则
=____ ▲ ___ __。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有： ， ， ，
， = 4。
（ 方 法 二 ） ，
由正弦定理，得：上式=
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则S的最小值是____ ▲ ___ _。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为 ，则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，
，
当 时， 递减；当 时， 递增；
故当 时，S的最小值是 。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令 ，则：
故当 时，S的最小值是 。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(4)设实数t满足( )· =0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。（1）（方法一）由题设知 ，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为 、 。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC= 、AD= ；
（2）由题设知： =(－2,－1)， 。
由( )· =0，得： ，
从而 所以 。
或者： ，
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，
AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(3)求证：PC⊥BC；
(4)求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空
间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PD DC=D，PD、DC 平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC 平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF= ，故点A到平面PBC的距离等于 。
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得 的面积 。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积 。
因为PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以 。
由PC⊥BC，BC=1，得 的面积 。
由 ， ，得 ，
故点A到平面PBC的距离等于 。
17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度
h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
(3)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出H的值；
(4)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距
离d（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电
视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1） ，同理： ， 。
AD—AB=DB，故得 ，解得： 。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知 ，得 ，
，（当且仅当 时，取等
号）
故当 时， 最大。
因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。
故所求的 是 m。
18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为
F。设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中
m>0, 。
（1）设动点P满足 ,求点P的轨迹；
（2）设 ，求点T的坐标；
（3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 ，得 化简得 。
故所求点P的轨迹为直线 。
（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ，
）
直线MTA方程为： ，即 ，
直线NTB 方程为： ，即 。
联立方程组，解得： ，
所以点T的坐标为 。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为： ，即 ，
直线NTB 方程为： ，即 。
分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，
解得： 、 。
（ 方 法 一 ） 当 时 ， 直 线 MN 方 程 为 ：令 ，解得： 。此时必过点D（1，0）；
当 时，直线MN方程为： ，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若 ，则由 及 ，得 ，
此时直线MN的方程为 ，过点D（1，0）。
若 ，则 ，直线MD的斜率 ，
直线ND的斜率 ，得 ，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过 轴上的点（1，0）。
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的
等差数列。
（1）求数列 的通项公式（用 表示）；
（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都
成立。求证： 的最大值为 。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分
析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知： ，
，
化简，得：
，
当 时， ，适合 情形。
故所求
（2）（方法一）
， 恒成立。
又 ， ，
故 ，即 的最大值为 。
（方法二）由 及 ，得 ， 。
于是，对满足题设的 ， ，有
。
所以 的最大值 。
另一方面，任取实数 。设 为偶数，令 ，则 符合条
件，且 。
于是，只要 ，即当 时， 。所以满足条件的 ，从而 。
因此 的最大值为 。
20、（本小题满分16分）
设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数
，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，
则称函数 具有性质 。
(1)设函数 ，其中 为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数，
， ，且 ，
若| |<| |，求 的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结
合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
（1）(i)
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ，对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增；
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为：
，而
当 时， ， ，故此时 在区间
上递减；同理得： 在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。
又 。
当 时， ，且 ，综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于
任意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区
间 上单调递增。
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所
以由 的单调性知 、 ，
从而有| |<| |，符合题设。
②当 时， ，
， 于 是 由 及 的 单 调 性 知
，所以| |≥| |，与题设不符。
③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设
不符。
因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。
数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。
若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。D．选修4-1：几何证明选讲
D
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交
A B C
O
AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论
证能力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。
E．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=
,N= ，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A 、B 、C ，
1 1 1
△AB C 的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
1 1 1
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分 10
分。
解：由题设得由 ，可知 A （0，0）、B （0，-2）、C （
1 1 1
，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△AB C 的面积是 ，则由题设知： 。
1 1 1
所以k的值为2或-2。
F．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解： ，圆ρ=2cosθ的普通方程为： ，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为： ，
又圆与直线相切，所以 解得： ，或 。
G．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证： 。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有 。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当 时， ，从而 ，得 ；
当 时， ，从而 ，得 ；
所以 。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为20%；乙产品的一等
品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二
等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2
万元。设生产各种产品相互独立。
（3）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（4）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。
解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。
由此得X的分布列为：
X 10 5 2 -3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有 件，则二等品有 件。
由题设知 ，解得 ，
又 ，得 ，或 。
所求概率为
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。24、（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（2）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、
解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为 ， ，∵ 是有理数，
是有理数，分母 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭
性，
∴ 必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当 时，显然cosA是有理数；
当 时，∵ ，因为cosA是有理数， ∴ 也是有理数；
②假设当 时，结论成立，即coskA、 均是有理数。
当 时， ，
，
，
解得：
∵cosA， ， 均是有理数，∴ 是有理数，
∴ 是有理数。
即当 时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA和 都是有理数。
①当 时，由（1）知 是有理数，从而有 也是有理数。
②假设当 时， 和 都是有理数。
当 时，由 ，
，
及①和归纳假设，知 和 都是有理数。
即当 时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
