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2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z• ﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2（x≥0）
∈ ∈
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
4．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，
n n 1 k+2 k
则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个单
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A α，AC⊥l，C为垂足，B β，BD⊥l，D
为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平
∈
面ABC的距离等于（
∈
）
A． B． C． D．1
7．（5分）某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册 3本，从中取出4本赠送
给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角
形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣
x），则 =（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两
点，则cos∠AFB=（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面
β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．（5 分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞
=60°，则| |的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分） 的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ．
14．（5分）已知α （ ，π），sinα= ，则tan2α= ．
∈
15．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，
1 2
∈
点M的坐标为（2，0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= ．
1 2 2
16．（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A B C D 的棱 BB 、CC 上，且
1 1 1 1 1 1
B E=2EB，CF=2FC ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
1 1
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C= ，
a+c= b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的
期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边
三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
20．（12分）设数列{a }满足a =0且 ．
n 1
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设 ，记 ，证明：S ＜1．
n21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦
点，过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
22．（12分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当x＞0时，f（x）＞
0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种
方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：
．
