文档内容
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
姓名 成绩
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的。
1、设集合 ，集合 ，则
（ ）
2、设向量 与向量 共线，则实数
（ ）
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这
三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
抽签法 系统抽样法 分层抽样法 随机数法
4、设 为正实数，则 是 的（ ）
充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为 的奇函数是（ ）
6、执行如图所示程序框图，输出 的值为（ ）
开始
K=1
7、过双曲线 的右焦点且与 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线
于 两点，则
（ ）
K=k+1
8、某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系
（ 为自然对数的底数， 为常数）。若该食品在 ℃的保 否
k>
鲜时间是
4?
小时，在 ℃的保鲜时间是 小时，则该食品在 ℃的保鲜时间是 是
小时 小时 小时 小时
k
S sin
6
9、设实数 满足 则 的最大值为（ ）
输出S
10、设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相
切与点 .且 为线段 的中点，若这样的直线 恰有 条，则 的取值范围是
结束
（ ）
二、填空题：
11、设 是虚数单位，则 。
12、 的值是 。
13、已知 ，则 的值是 。14、在三棱柱 中， ，其正视图和侧视图都是边长为 的正方形，俯视图
是直角边为 的等腰直角三角形，设 分别是棱 中点，则三棱锥 的体积
是 。
15 、 已 知 函 数 （ 其 中 ） ， 对 于 不 相 等 的 实 数 ， 设
， ，则现有如下命题：
①对于任意不等的实数 ，都有 ；②对于任意的 及任意不相等的实数 ，都有 ；
③对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ；④对于任意的 ，存在不相等的实数 ，
使得 。其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）
三、解答题：
16、（本小题满分12分）
设数列 的前 项和 ，且 成等差数列。（1）求数列 的
通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，求 。
17、（本小题满分12分）
一辆小客车上有5各座位，其座位号为 ，乘客 的座位号分别为 ，
他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要
求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘
客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位。（1）若乘客 坐到了3号座位，其他乘客按
规则就座，此时共有4种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号
填入表格空格处）；（2）若乘客 坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客 做到5号座
位的概率。
乘客
3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
座位号18、（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（1）请将字母 标记在正
方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结
论；（3）证明：直线 平面 。
D C G
E
E B
D
C
F
A B
H
19、（本小题满分12分）
已知 为 的内角， 是关于 的方程 的两
实根。（1）求 的大小；（2）若 ，求 p的值。20、（本小题满分13分）
如图，椭圆 E： （ > >0）的离心率是 ，点（0,1）在短轴 CD 上，且
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数 ，
使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。
y
D A
x
O
B
C
21、（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 。（1）设 是 的导函数，讨论
的单调性；（2）证明：存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有唯一
解。2015 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求的．
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A {x|﹣1＜x＜3} B {x|﹣1＜x＜1} C {x|1＜x＜2} D {x|2＜x＜3}
． ． ． ．
考点： 并集及其运算．
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专题： 集合．
分析： 直接利用并集求解法则求解即可．
解答： 解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，
则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．
故选：A．
点评： 本题考查并集的求法，基本知识的考查．
2．（5分）（2015•四川）设向量 =（2，4）与向量 =（x，6）共线，则实数x=（ ）
A 2 B 3 C 4 D 6
． ． ． ．
考 平面向量共线（平行）的坐标表示．
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点：
专 平面向量及应用．
题：
分 利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．
析：
解 解；因为向量 =（2，4）与向量 =（x，6）共线，
答：
所以4x=2×6，解得x=3；
故选：B．
点 本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量 =（x，y）与向量 =（m，
评：
n）共线，那么xn=yn．
3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否
存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
（ ）
A 抽签法 B 系统抽样法 C 分层抽样法 D 随机数法
． ． ． ．
考点： 收集数据的方法．
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专题： 应用题；概率与统计．
分析： 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
解答： 解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显
著差异，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：C．
点评： 本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log a＞log b＞0”的（ ）
2 2
A． 充要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 充要条件．
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专题： 简易逻辑．
分析： 先求出log a＞log b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．
2 2
解答： 解：若log a＞log b＞0，则a＞b＞1，
2 2
故“a＞b＞1”是“log a＞log b＞0”的充要条件，
2 2
故选：A．
点评： 本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
A B
y=cos（2x+ y=sin（2x+
． ．
） ）
C y=sin2x+cos2x D y=sinx+cosx
． ．
考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
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专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
解答： 解：
y=cos（2x+ ）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以
A正确
y=sin（2x+ ）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B
不正确；
y=sin2x+cos2x= sin（2x+ ），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C
不正确；
y=sinx+cosx= sin（x+ ），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D
不正确；
故选：A．
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，
考查计算能力．
6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）A B C D
﹣ ﹣
． ． ． ．
考点： 程序框图．
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专题： 图表型；算法和程序框图．
分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k
＞4，计算并输出S的值为 ．
解答： 解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞4，k=3
不满足条件k＞4，k=4
不满足条件k＞4，k=5
满足条件k＞4，S=sin = ，
输出S的值为 ．
故选：D．
点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣ =1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐
近线于A、B两点，则|AB|=（ ）
A B 2 C 6 D 4
． ． ． ．
考点： 双曲线的简单性质．
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专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．
解答：
解：双曲线x2﹣ =1的右焦点（2，0），渐近线方程为y= ，过双曲线x2﹣ =1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，
可得y =2 ，y =﹣2 ，
A B
∴|AB|=4 ．
故选：D．
点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系
y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在
22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A 16小时 B 20小时 C 24小时 D 28小时
． ． ． ．
考点： 指数函数的实际应用．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的
值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．
解答： 解：y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．
当x=0时，eb=192，
当x=22时e22k+b=48，
∴e16k= =
e11k=
eb=192
当x=33时，e33k+b=（ek）33•（eb）=（ ）3×192=24
故选：C
点评： 本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足 ，则xy的最大值为（ ）
A B C 12 D 16
． ． ． ．
考点： 简单线性规划．
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专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图；
则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，
此时2x+y=10，
则xy= = ，
当且仅当2x=y=5，
即x= ，y=5时，取等号，
故xy的最大值为 ，
故选：A点评： 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞
0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4）
． ． ． ．
考点： 抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．
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专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2 ，所以交点与圆心（5，
0）的距离为4，即可得出结论．
解答： 解：设A（x ，y ），B（x ，y ），M（x ，y ），则
1 1 2 2 0 0
斜率存在时，设斜率为k，则y 2=4x ，y 2=4x ，利用点差法可得ky =2，
1 1 2 2 0
因为直线与圆相切，所以 =﹣ ，所以x =3，
0
即M的轨迹是直线x=3，
代入抛物线方程可得y=±2 ，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，
所以2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故选：D．
点评： 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能
力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣ = 2 i ．
考点： 复数代数形式的混合运算．
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专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接利用复数的运算法则求解即可．
解答：
解：复数i﹣ =i﹣ =i+i=2i．
故答案为：2i．
点评： 本题考查复数的基本运算，考查计算能力．
12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log 16的值是 2 ．
2考点：对数的运算性质．
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专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．
解答：解：lg0.01+log 16=﹣2+4=2．
2
故答案为：2．
点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是 ﹣ 1 ．
考点： 同角三角函数基本关系的运用．
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专题： 三角函数的求值．
分析： 已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化
简，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，
∴tanα=﹣2，
则原式= = = =
=﹣1，
故答案为：﹣1
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关
键．
14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为
1 1 1
1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B C 的中点，
1 1
则三棱锥P﹣A MN的体积是 ．
1
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
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专题： 空间位置关系与距离．
分析： 判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P
﹣A MN的体积即可．
1
解答： 解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直
角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是
底面三角形ABC的 ，
所求三棱锥P﹣A MN的体积是： = ．
1
故答案为： ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考
查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a R）．对于不相等的实数
∈
x 、x ，设m= ，n= ．现有如下命题：
1 2
①对于任意不相等的实数x 、x ，都有m＞0；
1 2
②对于任意的a及任意不相等的实数x 、x ，都有n＞0；
1 2
③对于任意的a，存在不相等的实数x 、x ，使得m=n；
1 2
④对于任意的a，存在不相等的实数x 、x ，使得m=﹣n．
1 2
其中的真命题有 ①④ （写出所有真命题的序号）．
考点： 命题的真假判断与应用．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．
解答： 解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，
则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣ ）递减，在（ ，+∞）递
减，则n＞0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x ）﹣f（x ）=g（x ）﹣g（x ），考查函数h（x）=x2+ax
1 2 1 2
﹣2x，
h′（x）=2x+a﹣2xln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x ）﹣f（x ）=﹣[g（x ）﹣g（x ） ，考查函数h（x）
1 2 1 2
=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0， ] 则④正确．
故答案为：①④．
点评： 本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判
断单调性是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2015•四川）设数列{a }（n=1，2，3…）的前n项和S ，满足S =2a ﹣a ，且a ，
n n n n 1 1
a +1，a 成等差数列．
2 3
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设数列 的前n项和为T ，求T ．
n n
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
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专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由条件S 满足S =2a ﹣a ，求得数列{a }为等比数列，且公比q=2；再根据
n n n 1 n
a ，a +1，a 成等差数列，求得首项的值，可得数列{a }的通项公式．
1 2 3 n
（Ⅱ）由于 = ，利用等比数列的前n项和公式求得数列 的前n项和
T ．
n
解答： 解：（Ⅰ）由已知S =2a ﹣a ，有
n n 1a =S ﹣S =2a ﹣2a （n≥2），
n n n﹣1 n n﹣1
即a =2a （n≥2），
n n﹣1
从而a =2a ，a =2a =4a ．
2 1 3 2 1
又因为a ，a +1，a 成等差数列，即a +a =2（a +1）
1 2 3 1 3 2
所以a +4a =2（2a +1），
1 1 1
解得：a =2．
1
所以，数列{a }是首项为2，公比为2的等比数列．
n
故a =2n．
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 = ，
所以T = + + +…+ = =1﹣ ．
n
点评： 本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，
等比数列的前n项和公式，属于中档题．
17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P ，P ，P ，
1 2 3
P ，P 的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P 因身体原因没有坐自
4 5 1
己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．
如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．
（Ⅰ）若乘客P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐
1
法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
（Ⅱ）若乘客P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P 坐到5号座位的概率．
1 1
考点： 概率的应用．
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专题： 应用题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据题意，可以完成表格；
（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P 坐到5号座位的概率．
1
解答： 解：（Ⅰ）余下两种坐法：
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
（Ⅱ）若乘客P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则
1
所有可能的坐法可用下表表示为
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5
座位号 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 12 5 3 4 1
于是，所有可能的坐法共8种，
设“乘客P 坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P
1
（A）= = ．
答：乘客P 坐到5号座位的概率是 ．
1
点评： 本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．
18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．
（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．
考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．
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专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．
（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面
ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而
可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．
解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．
（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：
∵ABCD﹣EFGH为正方体，
∴BC∥FG，BC=EH，
又FG∥EH，FG=EH，
∴BC∥EH，BC=EH，
∴BCHE为平行四边形．
∴BE∥CH，
又CH 平面ACH，BE 平面ACH，
∴BE∥平面ACH，
同理B⊂G∥平面ACH， ⊄
又BE∩BG=B，
∴平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）连接FH，
∵ABCD﹣EFGH为正方体，
∴DH⊥EG，
又∵EG 平面EFGH，
∴DH⊥EG，
又EG⊥F⊂H，EG∩FH=O，
∴EG⊥平面BFHD，
又DF 平面BFHD，
⊂∴DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又∵EG∩BG=G，
∴DF⊥平面BEG．
点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基
础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+ px﹣
p+1=0（p R）两个实根．
（Ⅰ）求C的大小
∈
（Ⅱ）若AB=3，AC= ，求p的值．
考点： 正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．
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专题： 函数的性质及应用；解三角形．
分析：
（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥ ，由韦达定理，有tanA+tanB=
﹣ p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）= ，
结合C的范围即可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinB= = ，解得B，A，由两角和的正切函数公式可
求tanA=tan75°，从而可求p=﹣ （tanA+tanB）的值．
解答： 解：（Ⅰ）由已知，方程x2+ px﹣p+1=0的判别式：△=（ p）2﹣4（﹣p+1）
=3p2+4p﹣4≥0，
所以p≤﹣2，或p≥ ．
由韦达定理，有tanA+tanB=﹣ p，tanAtanB=1﹣p．
所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，
从而tan（A+B）= =﹣ =﹣ ．
所以tanC=﹣tan（A+B）= ，
所以C=60°．
（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB= = = ，
解得B=45°，或B=135°（舍去）．
于是，A=180°﹣B﹣C=75°．
则tanA=tan75°=tan（45°+30°）= = =2+ ．
所以p=﹣ （tanA+tanB）=﹣ （2+ ）=﹣1﹣ ．
点评： 本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．
20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，点P（0，1）在
短轴CD上，且 • =﹣1
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得 • +λ
• 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
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专题： 向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）通过e= 、 • =﹣1，计算即得a=2、b= ，进而可得结论；
（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联
立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时 • +λ • =﹣3；②
当直线AB的斜率不存在时， • +λ • =﹣3．
解答： 解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），
又∵P（0，1），且 • =﹣1，
∴ ，解得a=2，b= ，
∴椭圆E的方程为： + =1；
（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得 • +λ • 为定值﹣3．
理由如下：
对直线AB斜率的存在性进行讨论：
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，
A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x +x =﹣ ，x x =﹣ ，
1 2 1 2
从而 • +λ • =x x +y y +λ[x x +（y ﹣1）（y ﹣1）
1 2 1 2 1 2 1 2
=（1+λ）（1+k2）x x +k（x +x ）+1
1 2 1 2
]=
=﹣ ﹣λ﹣2．
∴当λ=1时，﹣ ﹣λ﹣2=﹣3，
此时 • +λ • =﹣3为定值；
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时 • +λ • = + =﹣2﹣1=﹣3；
故存在常数λ=1，使得 • +λ • 为定值﹣3．
点评： 本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题
方法的积累，属于难题．
21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a （0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
∈
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
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专题： 导数的综合应用．
分析： （I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）
=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）= = ，分别解出g′（x）＜0，
g′（x）＞0，即可得出单调性．
（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u
（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x （1，e），使
0
得u（x ）=0，令a =x ﹣1﹣lnx =v（x ），再利用导数研究其单调性即可得出．
0 0 0 0 0
解答： （I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞ ∈ 0．
g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）= = ，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，
令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，
则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，
∴存在x （1，e），使得u（x ）=0，
0 0
令a =x ﹣1﹣lnx =v（x ），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
0 0 0 0
∈
由v′（x）=1﹣ ≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
∴0=v（1）＜a =v（x ）＜v（e）=e﹣2＜1，即a （0，1），当a=a 时，有f′
0 0 0 0
（x ）=0，f（x ）=u（x ）=0．
0 0 0
再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递∈增，
当x （1，x ）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x ）=0；
0 0
当x （x ，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x ）=0；
0 0
∈
又当x （0，1 ，f（x）= ﹣2xlnx＞0．
∈
故当x （0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．
∈ ]
综上所述：存在a （0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间
（1，+∈∞）内有唯一解．
点评： 本题考查了导数的∈运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
