文档内容
B.
C.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）
D.
答案：
文科数学
B
解答：
由对数函数的图像可知： ；再有指数函数的图像可知： ， ，于是
可得到： .
1. 设 ，则 （ ） 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 称
为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度
A.
之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则
B.
其身高可能是（ ）
C.
D.
答案：
C
解析：
因为
所以
A.
2. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
B.
A. C.
B. D.
C. 答案：
B
D.
解析：
答案：
方法一：
C 设头顶处为点 ，咽喉处为点 ，脖子下端处为点 ，肚脐处为点 ，腿根处为点 ，足底处为 ， ，
解析：
，
， ， 则 ， 又 ， 则
根据题意可知 ,故 ；又 ， ，故 ；
，故选C.
所以身高 ，将 代入可得 .
3.已知 ， ， ，则（ ）
根据腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 可得 ， ；
A.解答：
即 ， ，将 代入可得
所以 ，故选B. ∵ ，
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度 可估值为头顶至咽喉
∴ 为奇函数，排除A.
的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 （ 称为黄金分割比
例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 ；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚
脐的长度为 ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 可计算出肚脐至足底的长度约为 ； 又 ，排除C，
将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为 ，与答案 更为接近，故选B.
5. 函数 在 的图像大致为（ ）
，排除B，故选D.
6.某学校为了解 名新生的身体素质，将这些学生编号为 ，从这些新生中用系统抽样方法等
A.
距抽取 名学生进行体质测验，若 号学生被抽到，则下面 名学生中被抽到的是（ ）.
A. 号学生
B. 号学生
C. 号学生
B.
D. 号学生
答案：
C
解答：
从 名 学 生 中 抽 取 名 ， 每 人 抽 一 个 ， 号 学 生 被 抽 到 ， 则 抽 取 的 号 数 就 为
C.
，可得出 号学生被抽到.
7. （ ）
A.
B.
D.
C.
答案： D.
D答案：
D A.
解析：
因为 B.
化简可得
C.
8. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
D.
A.
答案：
B.
A
解答：
C.
把选项代入模拟运行很容易得出结论
D.
选项A代入运算可得 ，满足条件，
答案：
B
解答：
， 且 ， ， 有 ， 设 与 的 夹 角 为 ， 则 有 选项B代入运算可得 ,不符合条件，
，即 ， ， ， ， ，故
选项C代入运算可得 ,不符合条件，
与 的夹角为 ，选 .
9. 右图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
选项D代入运算可得 ,不符合条件.
10.双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：根据题意可知 ，所以 ， ，所以 ，因此点 即为椭圆的下顶点，因为 ，
离心率 .
所以点 坐标为 ，将坐标代入椭圆方程得 ，解得
11. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 （
，故答案选B.
）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
由正弦定理可得到： ，即 ，
答案：
又由余弦定理可得到： ，于是可得到
解答：
12. 已知椭圆 的焦点坐标为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点，若
∵ ，
， ，则 的方程为（ ）
∴结合导数的几何意义曲线在点 处的切线方程的斜率 ，
A.
∴切线方程为 .
14. 记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 .
B.
答案：
C.
解析：
D.
，
答案：
设等比数列公比为
B
解答：
∴
由 ， ， 设 ， 则 ， ， 根 据 椭 圆 的 定 义∴
所以
15．函数 的最小值为___________．
17.某商场为提高服务质量，随机调查了 名男顾客和 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满
答案： 意的评价，得到下面列联表：
满 意 不 满 意
解答：
男 顾 客
， 女 顾 客
（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
因为 ，知当 时 取最小值，
（2） 能否有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
则 的最小值为 ．
附：
16.已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 的距离均为 ，那么
到平面 的距离为 .
答案：
答案：
(1)男顾客的的满意概率为
解答：
女顾客的的满意概率为
如图，过 点做平面 的垂线段，垂足为 ，则 的长度即为所求，再做 ，由线面
(2) 有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
的垂直判定及性质定理可得出 ，在 中，由 ，可得出 ，
解答：
同 理 在 中 可 得 出 ， 结 合 ， 可 得 出 ，
（1） 男顾客的的满意概率为
，
女顾客的的满意概率为 .
(2)有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. （1）连结 相交于点 ，再过点 作 交 于点 ，再连结 ， .
分别是 的中点.
18.记 为等差数列 的前 项和，已知 ；
（1）若 ，求 的通项公式； 于是可得到 ， ，
（2）若 ，求使得 的 的取值范围.
答案： 于是得到平面 平面 ，
（1）
（2） 由 平面 ，于是得到 平面
解答：
（ 1 ） 由 结 合 可 得 ， 联 立 得 ， 所 以
（2）由 可得 ，故 ， .
由 知 ，故 等价于 ，解得 ，
所以 的取值范围是
19. 如图直四棱柱 的底面是菱形， ， ， 分别是
的中点.
（1）证明： 平面
（2） 为 中点， 为菱形且
（2）求点 到平面 的距离.
，又 为直四棱柱，
，又 ，
，设点 到平面 的距离为
由 得
解得
所以点 到平面 的距离为
答案：
见解析
解答： 20. 已知函数 ， 是 的导数.（1）证明： 在区间 存在唯一零点；
则 解得 ，
（2）若 时， ，求 的取值范围.
而 解得 ，故 ，
答案：
略 若 ， ， 在 上单调递增，且 ，
解答：
故只需 解得 ；
（1）由题意得
令 ，∴ 若 ， ， 在 上单调递增，且 ，
故存在 时， ，不合题意，
当 时， ， 单调递增，
综上所述， 的取值范围为 .
当 时， ， 单调递减，
21. 已知点 关于坐标原点 对称， ， 过点 且与直线
相切.
∴ 的最大值为 ，又 ，
（1）若 在直线 上，求 的半径；
（2）是否存在定点 ，使得当 运动时， 为定值？并说明理由.
∴ ，即 ，
答案：
（1） 或 ；
∴ 在区间 存在唯一零点.
（2）见解析.
解答：
（2）令 ，
（1）∵ 过点 ，∴圆心在 的中垂线上即直线 上，设圆的方程为
∴ ，
，又 ，根据 得 ；
由（1）知 在 上先增后减，存在 ，使得 ，且 ， ，
∵ 与直线 相切，∴ ，联解方程得 或 .
，
（2）设 的坐标为 ，根据条件 即
∴ 在 上先增后减， ， ， ，
化简得 ，即 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，所以存在定点 ，使
当 时， 在 上小于 ， 单调递减，
.
又 ，则 不合题意，
当 时，即 ， 时，
若 ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，（2） ，
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 .以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立.又
，
极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
当且仅当 时等号成立， ，故 ，即得
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）求 上的点到 距离的最小值.
.
答案：
略
解答：
(1)曲线 :由题意得 即 ，则 ，然后代入即可得到
而直线 ：将 代入即可得到
（2）将曲线 化成参数方程形式为
则
所以当 时，最小值为
23.已知 ， ， 为正数，且满足 ，证明：
（1） ；
（2） .
答案：（1）见解析；
（2）见解析.
解析：（1） ， ， ，
，即 ，当且仅当 时取等号. 且
， ， 都为正数， ， ， ，故 .
