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绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
2.（1–i）4=（ ）
A –4 B. 4
C. –4i D. 4i
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称
1 2 12
a，a，a 为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a，a，a 为原位小三和弦．用这12个键
i j k i j k
可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由
于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
的
5.已知单位向量a，b 夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A. a+2b B. 2a+b C. a–2b D. 2a–b
6.记S 为等比数列{a}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ ）
n n 5 3 6 4
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
9.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
10.设函数 ,则 （ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若 ，则 __________．
14.记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 __________．
15.若x，y满足约束条件 则 最大值是__________．
的
16.设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
4则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某
种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个
i i i i
样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地
区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1414.19.已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的
1 2 1 2
顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |
1 2
AB|．
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
20.如图，已知三棱柱ABC–ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为
1 1 1 1 1
BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1
（1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四棱锥B–
1 1 1 1 1
EBC F的体积．
1 1
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在
答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均
按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），C ： （t
1 2 1 2
为参数）.
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极
1 2
轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
