文档内容
2020年高考文科数学试题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 则
A． B．
C． D．
2．若 ，则
A．0 B．1
C． D．2
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为
A． B． C． D．
4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A． B．
C． D．
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温
度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程
类型的是
A． B．
C． D．
6．已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设函数 在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为
A． B．C． D．
8．设 ，则
A． B． C． D．
9．执行下面的程序框图，则输出的n=
A．17 B．19 C．21 D．23
10．设 是等比数列，且 ， ，则
A．12 B．24 C．30 D．32
11．设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则
的面积为
A． B．3 C． D．2
12．已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为.
14．设向量 ，若 ，则 .
15．曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.
16．数列 满足 ，前16项和为540，则 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约
定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家
每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，
乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这
种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂
承接加工业务?
18．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.19．（12分）
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，
∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
20．（12分）
已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
21．（12分）
已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线
x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
文科数学试题参考答案(A 卷)
选择题答案
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．A
5．D 6．B 7．C 8．B
9．C 10．D 11．B 12．A
非选择题答案
二、填空题
13．1 14．5 15．y=2x 16．7
三、解答题
17．解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 ；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 .
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利 − −7
65 25
润 5 5
频
40 20 20 20
数
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 −7
0
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18．解：（1）由题设及余弦定理得 ，
解得 （舍去）， ，从而 .
的面积为 ．
（2）在 中， ，所以
，
故 .
而 ，所以 ，故 .
19．解：（1）由题设可知，PA=PB= PC．
由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB．
△PAC≌△PBC．
又∠APC =90°，故∠APB=90°，∠BPC=90°．从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l．
由题设可得rl= ， ．
解得r=1，l= ，
从而 ．由（1）可得 ，故 ．
所以三棱锥P-ABC的体积为 ．
20．解：（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则 =ex–1．
当x<0时， <0；当x>0时， >0．
所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2） =ex–a．
当a≤0时， >0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增，
故f（x）至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由 =0可得x=lna．
当x∈（–∞，lna）时， <0；
当x∈（lna，+∞）时， >0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）．
（i）若0≤a≤ ，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．
（ii）若a> ，则f（lna）<0．
由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．
由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
．
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
综上，a的取值范围是（ ，+∞）．
21．解：（1）由题设得 ．
则 ， ．由 得 ，即 ．
所以 的方程为 ．
（2）设 ．
若 ，设直线 的方程为 ，由题意可知 ．
由于直线 的方程为 ，所以 ．
直线 的方程为 ，所以 ．
可得 ．
由于 ，故 ，可得 ，
即 ．①
将 代入 得 ．
所以 ．代入①式得 ．
解得 （舍去）， ．
故直线 的方程为 ，即直线 过定点 ．
若 ，则直线 的方程为 ，过点 ．
综上，直线 过定点 ．
22．解：当k=1时， 消去参数t得 ，故曲线 是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
（2）当k=4时， 消去参数t得 的直角坐标方程为 ．
的直角坐标方程为 ．
由 解得 ．
故 与 的公共点的直角坐标为 ．
23．解：（1）由题设知
的图像如图所示．（2）函数 的图像向左平移1个单位长度后得到函数 的图像．
的图像与 的图像的交点坐标为 ．
由图像可知当且仅当 时， 的图像在 的图像上方，
故不等式 的解集为 ．
