文档内容
绝密☆启用前 试卷类型：A
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号
和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答
在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 后可求 .
详解】 ，故 ，
【
故选：D
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .
【详解】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D3. 在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即
，
所以 ．
故选：B．
4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水
库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水
面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从
海拔 上升到 时，增加的水量约为（ ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的
体积 ．
棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴
．故选：C．
5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.
6. 记函数 的最小正周期为T．若 ，且
的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
7. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关
系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分．
9. 已知正方体 ，则（ ）
A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为
C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直
线 与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得
，故D正确.
故选：ABD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切
线
【答案】AC
【解析】
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判
断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 是极值点，故A正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，
故D错误.
.
故选：AC
11. 已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线
交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为 B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公
式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ，
均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性
质逐项判断即可得解.
【详解】因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函
数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求
解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
14. 写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】 或 或【解析】
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心
为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
15. 若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】
【解析】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到
关于 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
16. 已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率
为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
【答案】13
【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离
心率得到直线 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线
的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到：
，利用弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将
的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程
为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直
于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为
，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程
，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周
长等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为
故答案为：13.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到
，利用和与项的关系得到当 时，
,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【小问1详解】
∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，∴ 的通项公式 ；
【小问2详解】
∴
18. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ，求B；
（2）求 的最小值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成
，再结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将
化成 ，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1详解】
因为 ，即
，
而 ，所以 ；
【小问2详解】
由（1）知， ，所以 ，而 ，
所以 ，即有 ．
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
19. 如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
（1）求A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间
向量法即可得解.
【小问1详解】
在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
【小问2详解】
取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好
和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同
时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选
到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程
度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估
计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；(ii) ；
【解析】
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有
99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合
条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求 .
【小问1详解】
由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
【小问2详解】
(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
21. 已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线
的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】【分析】（1）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线l的斜率存在，设 ，
，再根据 ，即可解出l的斜率；
（2）根据直线 的斜率之和为0可知直线 的倾斜角互补，再根据
即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程
求出点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出
点 到直线 的距离，即可得出 的面积．
【小问1详解】
因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，
即双曲线
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ，
．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
【小问2详解】
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 ，
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
22. 已知函数 和 有相同 的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并
且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求
a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，
构建新函数 ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得
的大小关系，根据存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点可得
的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
【小问1详解】
的定义域为 ，而 ，若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
【小问2详解】
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个零点，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无零点，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同 的交点，
故 ，此时 有两个不同的零点 ，
此时 有两个不同的零点 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对
参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
