文档内容
北京市房山区2018-2019学年八年级下学期数学期末考试试卷
阅卷人
一、选择题
得分
1．下列各点在函数 y=2x−1 的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，4） C．（3，5） D．（﹣1，0）
2．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．如果用配方法解方程 x2−2x−1=0 ，那么原方程应变形为（ ）
A．(x−1) 2=1 B．(x+1) 2=1 C．(x+1) 2=2 D．(x−1) 2=2
4．如图， A , B 两点分别位于一个池塘的两端，小超想测量 A , B 间的距离，但不能直接到达，他
想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达 A , B 的点 C ,找到 AC ， BC 的中点 D , E ，并
且测出 DE 的长为 8m ，则 A , B 间的距离为（ ）
A．14m B．15m C．16m D．17m
5．如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若 AB=4 , AC=6 ，则BD的长为
（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
6．方差表示一组数据的（ ）
A．数据个数 B．平均水平 C．变化范围 D．波动大小
7．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻
边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”
1 / 21原理复原了《海岛算经》九题古证，则下列说法不一定成立的是（ ）
A．S =S B．S =S
ΔABC ΔADC ΔAEF ΔANF
C．S =S D．S =S
矩 形NFG矩D 形EFMB ΔANF 矩 形NFGD
8．如图， ΔDEF 是由 ΔABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（2，0） C．（0，1） D．（3，1）
阅卷人
二、填空题
得分
9．方程 x2−x=0 的解为 ．
10．如果一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限， 请你写出一组满足条件的 k ， b 的值：
k= ， b= ．
11．如图是一个窗户造型，为正八边形，则∠1= °．
12．如图，已知函数 y=x+1 和 y=ax+3 的图象交于点 p ，点 p 的横坐标为1，则a的值是
．
2 / 2113．某种手机每部售价为a元，如果每月售价的平均降低率为x，那么两个月后，这种手机每部的售价是
元．（用含a，x的代数式表示）
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,√3) ，B(−1,0) ，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半
轴上，其对角线BD的长为 .
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(−3,0) ， B(−1,2) .以原点 O 为旋转中心，将 ΔAOB
顺时针旋转 900 ，再沿 y 轴向下平移一个单位，得到 ΔA'O'B' ，其中点 A' 与点 A 对应，点 B'
与点 B 对应.则点 A' 的坐标为 ，点 B' 的坐标为 ．
16．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点
H，那么DH的长是 ．
阅卷人 三、综合题
3 / 21得分
17．解下列一元二次方程
（1）(x−1) 2=2
（2）2x2−4x−3=0
18．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．
小明的作法如下：
①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；
②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AP＝ ＝ ．
∴四边形ABQP是菱形（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l．
19．已知：关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
20．十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田
地面积为 55 ，长边比短边多 6 ，问长边多长？”.请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题.
21．已知一次函数 y=kx+b(k≠0) ，当 0≤x≤3 时， −1≤ y≤2 ，求此一次函数的表达式.
2
22．如图，直线 y= x+4 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点D在y轴的负半轴
3
上，C、D两点到x轴的距离均为2．
4 / 21（1）点C的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（2）点P为线段OA上的一动点，当PC+PD最小时，求点P的坐标．
23．已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD 、DA的中点，判断
EG与FH的数量关系并加以证明．
24．如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°，求AF的长．
25．某中学为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，由体育老师随机抽取了八年级 40 名学生进
行一分钟跳绳测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：
5 / 21请结合图表完成下列问题：
（1）表中的 a= ， b= ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若八年级学生一分钟跳绳的成绩标准是： x<120 x<120 为不合格； 120≤x<140 为合格；
140≤x<160 为良好； x≥160 为优秀．如果该年级有 320 名学生，根据以上信息，请你估计该年级
跳绳不合格的人数为 ；优秀的人数为 ．
26．当a是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 x2−4ax+4a2−4a−5=0 与 ax2−4x+4=0 的根都
是整数．
27．如图，在正方形ABCD中，P为边AD上的一动点（不与点A、D重合），连接BP，点A关于直线
BP的对称点为E，连接AE，CE.
6 / 21（1）依题意补全图形，
（2）求∠AEC的大小；
（3）过点B作BF⊥CE于F，用等式表示线段AE、CF和BF的数量关系，并证明.
28．平面直角坐标系中，对于点 A(m，n) 和点 B(m，n') ，给出如下定义：
{ n(m≥1)
若
n'=
则称点 B 为点 A 的可变点．例如：点 (1，4) 的可变点的坐标是 (1，4)
−n(m<1)
，点 (−1，4) 的可变点的坐标是 (−1，−4) ．
（1）①点 (√3，1) 的可变点的坐标是 ；
②在点 A(−1，2) ， B(2，−4) 中有一个点是函数 y=2x 图象上某一个点的可变点，这个点是
；（填“A”或“B”）
（2）若点 A 在函数 y=x+2(−4≤x≤3) 的图象上，求其可变点 B 的纵坐标 n' 的取值范围；
（3）若点A在函数y=-x+4（-1≤x≤a，a>-1）的图象上，其可变点B的纵坐标n的取值范围
是-5≤n'≤3，直接写出a的取值范围.
7 / 21答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】A. 把x=1代入解析式得y=2-1=1≠3，故不在图像上；
B. 把x=-2代入解析式得y=-4-1=-5≠4，故不在图像上；
C. 把x=3代入解析式得y=6-1=5，故在图像上；
D. 把x=-1代入解析式得y=-2-1=-3≠0，故不在图像上；
故答案为：C.
【分析】把各点代入函数关系式即可判断.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意可知△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
所以方程x2﹣2x+1=0有两个相等的实数根．
故答案选A．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
3．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】∵x2−2x−1=0
∴x2−2x=1
故 (x−1) 2=2 ，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式即可变形判断.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D,E分别是 AC ， BC 的中点
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=8m，
∴AB=2DE=16m，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线即可求解.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
8 / 21【解析】【解答】∵AC=6 ，
∴AO=3，
∵AB⊥AC，
∴BO= √32+42 =5
∴BD=2BO=10，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理先求出BO的长，再根据平行四边形的性质即可求解.
6．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】方差表示一组数据的波动大小，
故答案为：D.
【分析】根据方差的定义即可求解.
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】根据题意可知 S =S ，故C符合题意；
矩 形NFG矩D 形EFMB
根据矩形的性质得 S =S ， S =S ，故A,B符合题意，
ΔABC ΔADC ΔAEF ΔANF
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质及材料即可判断.
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；旋转的性质
【解析】【解答】如图，连接AD,BE,分别作其垂直平分线，其交点即为旋转中心，即为（0，1），
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质及直角坐标系的特点即可作图找到旋转中心.
9．【答案】x=1，x=0
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
9 / 21【解析】【解答】 x2−x=0
x(x-1)=0
解得x=1，x=0.
1 2
【分析】根据因式分解法即可求解一元二次方程.
10．【答案】-1；-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵直线过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，
故k=-1,b=-1
【分析】根据直线过第二、三、四象限可知k,b的取值，即可写出.
11．【答案】45°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】∵图形为正八边形
(8−2)×180o
∴内角为 =135°，
8
∴∠1=180°-135°=45°.
【分析】根据正多边形的内角和公式即可求解.
12．【答案】-1
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵点 p 的横坐标为1，代入 y=x+1 得y=2，
∴P（1,2），代入 y=ax+3 ，解得a=-1.
【分析】根据一次函数的解析式先求出P点坐标，即可求出a的值.
13．【答案】a（1-x）2
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】∵某种手机每部售价为a元，如果每月售价的平均降低率为x，
则一个月后的售价为a（1-x）
故两个月后的售价为a（1-x）2
【分析】根据题意即可列出代数式.
14．【答案】2√3
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】因为点A(0,√3) ，B(−1,0) ，所以由勾股定理可得AB=2；则由菱形的性质可知
AD=2，即点D的坐标为（ √3 ，2）；则由B(−1,0) ， D（ √3 ，2），根据勾股定理可得BD=
10 / 21√ (√3) 2+(3) 2=2√3 .
【分析】先利用勾股定理求出AB，再利用菱形的性质求点D的坐标，最后用勾股定理得出对角线BD的
长.
15．【答案】（0,2）；（2,0）
【知识点】点的坐标；旋转的性质
【解析】【解答】根据题意作图，得到 ΔA'O'B' ，
故点 A' 的坐标为（0,2），点 B' 的坐标为（2,0）
【分析】根据题意画出图形即可求解.
16．【答案】√3
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】如图所示．连接HC、DF，且HC与DF交于点P
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG
∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC，∠EFC=∠ADC=90°
∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°
∠DCF=∠BCG－∠BCF－∠DCG=120°－30°－30°=60°
∴△DCF是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°
∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD
1
∴HC是FD的垂直平分线，∠FCH=∠DCH= ∠DCF=30°
2
11 / 21在Rt△HDC中，HD=DC·tan∠DCH= √3
∵正方形ABCD的边长为3
√3
∴HD=DC·tan∠DCH=3×tan30°=3× =√3
3
【分析】把所求的线段放在构建的特殊三角形内
17．【答案】（1）解： (x−1) 2=2
x-1= ±√2
∴x= 1+√2 ,x = 1−√2
1 2
（2）解： 2x2−4x−3=0
a=2,b=-4,c=-3,
∴△=（-4）2-4×2×（-3）=40
−(−4)±√40
∴x=
2×2
2+√10 2−√10
∴x= ,x =
1 2 2 2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法即可求解；（2）根据公式法即可求解.
18．【答案】（1）解：如图所示．
（2）PQ；BQ；四边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）∵AB＝AP＝PQ＝BQ，
∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
∴PQ∥l．
故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
19．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等实根，
∴△＝16﹣4（m+1）＞0，
12﹣4m＞0，
∴m＜3.
12 / 21（2）解：∵当m＝﹣1时，
x（x﹣4）＝0，
∴x＝0，x＝4．
1 2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围，
（2）由（1）中所求m的取值范围，取一个m的值，代入方程求解即可．
20．【答案】解：设长为x, 根据题意得x(x-6)=55
解得x=11（-5舍去）
∴长边为11
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设长为x ，则短边为 (x-6) ，根据矩形的面积等于长乘以宽列出方程，求解并检验即
可.
21．【答案】解：依题意得① 直线过（0，-1）（3,2）
{ −1=b { k=1
代入得 解得
2=3k+b b=−1
∴y=x-1
②直线过（0,2），（3，-1）
{ 2=b {k=−1
代入得 解得
−1=3k+b b=2
∴y=-x+2
∴一次函数的表达式为y=x-1或y=-x+2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】根据待定系数法确定一次函数关系式，分情况讨论即可求解.
22．【答案】（1）（-3，2）；（0,-2）
（2）解：如图，连接CD，求出直线CD与x轴的交点即为P点.
设直线CD的解析式为y=kx+b，
13 / 21{ −2=b
把（-3，2），（0,2）代入得
2=−3k+b
{ 4
k=−
解得 3
b=−2
4
∴y= − x-2
3
3
令y=0，解得x= −
2
3
∴P（ − ，0）
2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）令y=2，解得x=-3，∴点C的坐标为（-3，2）
令y=-2，解得x=0，∴点D的坐标为（0,-2）
2
【分析】（1）根据直线 y= x+4 与C、D两点到x轴的距离均为2即可求出C,D的坐标；（2）连接
3
CD，求出直线CD与x轴的交点即为P点.
23．【答案】解：连接EF,FG,HG,EH,
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD 、DA的中点，
1 1
∴EF∥AC,EF= AC,同理HG∥AC,GH= AC,
2 2
∴EF∥HG,EF=GH
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD，故EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH为矩形，∴EG=FH.
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接EF,FG,HG,EH,根据中位线的性质与垂直证明四边形EFGH为矩形，即可得到结论.
14 / 2124．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又BE=AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD=90°，
∴平行四边形BECD是矩形；
（2）解：如图,作PG⊥AE于G点，
∵CE=2，∠DAB=30°，
∴∠CBE=30°，PG=1，BE=2 √3
∴AB=2 √3
∵P为BC中点，∴G为BE中点，
∴AG=AB+BG=3 √3
∴AP= √AG2+PG2 = 2√7
【知识点】勾股定理；矩形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的判定即可求解；（2）根据题意作出图形，根据直角三角形的性质及
勾股定理即可求解.
25．【答案】（1）8；11
（2）解：补全统计图如下：
（3）96；24
15 / 21【知识点】用样本估计总体；条形统计图
12
【解析】【解答】解：（1）由直方图值b=8,∴a=40-4-8-14-3=11；（3）不合格的人数为320× =96人；
40
3
优秀的人数为320× =24人.
40
【分析】（1）根据表格与直方图即可求出a,b的值；（2）根据数据补全统计图即可；（3）求出样本中
不合格学生与优秀学生的占比即可求解.
26．【答案】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2−4ax+4a2−4a−5=0 与 ax2−4x+4=0 有解，
则a≠0，△≥0，
即16-16a≥0，解得a≤1，
16a2-16a2+16a+20≥0，
5
解得a≥-
4
5
∴- ≤a≤1，又a为整数，
4
∴a=1(a=0舍去)
当a=-1时，方程化为 x2+4x+3=0 和 −x2−4x+4=0
4±4√2
−x2−4x+4=0 方程的解为x= 不为整数，
−2
故a=1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出a的可能取值，再根据求解.
27．【答案】（1）解：如图
（2）解：∵折叠，∴∠1=∠2，AB=BE=BC，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+90°=360°，
16 / 211
∴∠AEC=∠2+∠3= （360°-90°）=135°.
2
√2
（3）解： BF= AE+CF ，
2
延长BP、CE，交于点Q，
∵点A、E关于BP对称，
1
∴AE=2ME，∠ABM=∠EBM= ∠ABE，∠QME=∠AMB=90°，
2
∵∠AEC=135°，
∴∠QEM=45°，
√2
则QE= √2 ME，即QE= AE，
2
∵BF⊥CE且BE=BC，
1
∴∠CBF=∠EBF= ∠CBE，CF=EF，
2
∵∠CBE+∠ABE=90°，
1
∴∠EBM+∠EBF= （∠CBE+∠ABE）=45°，
2
∴在Rt△QBF中，BF=QF=QE+EF，
√2
则 BF= AE+CF .
2
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据折叠的性质、等腰三角形的性质及四边形的
内角和即可求解.
28．【答案】（1）(√3，1)；A
（2）解：若点 A 在函数 y=x+2(−4≤x≤3) 的图象上，设A（x，x+2）
当1≤x≤3时，3≤x+2≤5，即3≤ n' ≤5，
当-4≤x＜1时，-3≤-( x+2)≤2，即-3≤ n' ≤2，
17 / 21∴纵坐标 n' 的取值范围为3≤ n' ≤5或-3≤ n' ≤2.
（3）解：依题意，y=-x+4（-1≤x≤a，a>-1）图象上的点A的可变点B必在函数
n′=
{−x+4(x⩾1)
的图
x−4(x<1)
象上，当x=1时，n’取最大值，n'=-1+4=3，
当n'=-5时，x-4=-5或-x+4=-5，∴x=-1或x=9，
当n'=-3时，-x+4=-3∴x=7.
∵-5≤n'≤3，
∴由图象可知，k的取值范围时：7
