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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024-2025 学年度第一学期九年级 9 月月考模拟数学试卷
（人教版，北京朝阳适用）
考试范围：统计与概率、图形的性质、函数、数与式、方程与不等式、图形的变化
考试时间：90分钟；满分：100分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共24分）
1. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 掷一枚均匀的硬币，落地后正面向上
C. 随机翻开数学书，翻到的页码是偶数 D. 同位角相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件和必然事件的定义判断即可．
【详解】解：A、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，故此选项符合题意；
B、掷一枚均匀的硬币，落地后正面向上，是随机事件，故此选项不合题意；
C、随机翻开数学书，翻到的页码是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、同位角相等，是随机事件，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不
会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2. 在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸取一个小球然后放回，再
随机地摸出一个小球.则两次取的小球的标号相同的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用列举法，列举出所有情况，看两次取的小球的标号相同的情况数占总情况数的多少即可.
【详解】解：列表，得：
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(1，1) (1，2) (1，3)
(2，1) (2，2) (2，3)
(3，1) (3，2) (3，3)
所以共有9种情况，两次取的小球的标号相同的有3种情况；
所以两次取的小球的标号相同的概率为 = .
故选：A.
【点睛】此题考查的是用列表法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完
成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
3. 如图，在正方形 中，点E，F分别在 上，满足 ，若 ，则
（ ）
.
A α B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，延长
至G，使得 ，连接 ，证明 得出 证明
得出 ，再得 ，进一步可得结
论
【详解】解：延长 至G，使得 ，连接 ，如图，
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∵四边形 是正方形，
∴
又 ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵
∴
而 ,
∴
∴ ，
故选：A．
4. 如图，抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，则下列结论中正确的是（
）
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A. B. 当 时， 随 的增大而增大
C. D. 是一元二次方程 的一个根
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向可以判断A，由二次函数的增减性可以判断B，由抛物线与 轴的交点可以
判断C，由抛物线与 的交点和对称轴可以求出另一个交点，可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：A.根据图象可得，二次函数开口方向向下，
，故本选项错误，不符合题意；
B.根据图象可得，当 时， 随 的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
C.根据图象可得，抛物线与 轴交于正半轴，
，故本选项错误，不符合题意；
D. 抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
设另一个交点为 ，
，
，
另一个交点为 ，
是一元二次方程 的一个根，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数与 轴的交点问题，熟
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记二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解决问题，是解此题的关键．
5. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n， ）是二次函数
y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣1 D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．
【详解】过点Q作QC⊥AB于点C，
∵AQ⊥BQ
∴ ，
设 的两根分别为 与 ，
依题意有 ，
化简得： .
有 ，
∴ .
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∵(n, )是图象上的一点，
∴ ，
∴- a= ，
∴a=−2.
故选D.
【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思
想.
6. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数 图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转
的对应点 落在一次函数 图象上，则代数式 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据点 落在一次函数 图
象上得到 ，根据P 的坐标是由P旋转 得到的得到 ，又由P是反比例函数
1
图象上的一点，得到 ，把代数式进行加法运算后利用整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵点 落在一次函数 图象上，
∴ ，
∴ ，
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∵P 的坐标是由P顺时针旋转 得到的，如图所示，作 轴于点 ，作 轴于点 ，
1
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵P是反比例函数 图象上的一点，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
7. 在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做
了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的
数据．请估算盒子里白球的个数有（ ）个
摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率 0.7 0.83 0.82 0.7 0.81 0.79 0.8
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5 9
A. 无法估计 B. 8个 C. 6个 D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．
用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在 0.8左右．
利用概率公式进行计算．
【详解】解： 大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右，
设白球有 个，
，解得 ．
故选：B．
8. 如图， 是 的中线， 分别是 的中点，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC= BC，再用PQ是
△EFC中位线，PQ= CF，即可求得答案．
【详解】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
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∴DE= BC，AE=BE，AD=CD，
∴∠EDB=∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP=BP，
∵在△DEP与△BFP中，
，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF=DE= BC，P是EF中点，
∴FC= BC，
PQ是△EFC中位线，
PQ= FC，
∴PQ：BC=1：4．
故选：B．
【点睛】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出
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△DEP≌△BFP，FC= BC，是解答此题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共24分）
9. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式 计算即可．
【详解】半径为6，圆心角为120° 的扇形的面积是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，牢记扇形的面积公式是解题的关键．
10. 已知a是方程 的一个解，则代数式 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．根据一元二次方程的解的定义把 代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可．
【详解】解： a是方程 的一个解，
，
，
，
．
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故答案为： ．
11. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若⊙O半径是4，∠B＝22.5o，那
么BC的长是____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】连接 ，根据等角对等边以及三角形的外角的性质可得 ，根据切线的性质可得
，进而可得 是等腰直角三角形，即可求得 的长，进而求得 的长
【详解】解：连接 ，如图，
AC是⊙O的切线，
是等腰直角三角形，
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故答案为：
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，切线的
性质，求得 是等腰直角三角形是解题的关键．
12. 如图，二次函数 的图像的对称轴是直线 ，有以下四个结论：① ；
② ；③ ；④ ，其中正确的结论是__________（填序号）
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】由图像可知开口向下，与y轴的交点位于1和2之间，从而得出 ， ．结合对称轴为
和对称轴公式可得出 ， ，即可判断①②；又可知 ，即得出 ，根据
不等式的性质可得出 ，根据a和b的关系即得出 可判断③；根据图像可知当
时， ，结合a和b的关系即得出 可判断④．
【详解】解：由图像可知抛物线开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，
∴ ， ．
∵对称轴是直线 ，
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∴ ，
∴ ， ，故②正确；
∴ ，故①错误；
由图像可知抛物线与y轴的交点位于1和2之间，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
两边都乘以 ，得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故③错误；
由图像可知当 时， ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
13. 如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则
当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是_____．
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【答案】﹣2＜x＜2．
【解析】
【分析】设直线y＝3与y轴交于D点，则D（0，3），由C(0，﹣1),可设抛物线的表达式为：y=ax2﹣1；
由∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，可求点B(4，3)，由点B在抛物线上，可求解析式，由
y=0，解方程即可求解．
【详解】设直线y＝3与y轴交于D点，则D（0，3）
∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，
由C(0，﹣1)，则抛物线的表达式为：y=ax2﹣1；
CD=3﹣(﹣1)=4，
AD=BD=CD=4
则点B(4，3)，
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：
∴a= ，
故抛物线的表达式为：y= x2﹣1，
令y=0，则x=±2，
故y＜0时，﹣2＜x＜2，
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故答案为：﹣2＜x＜2．
的
【点睛】本题考查 是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．
14. 如图，点A、C分别是y轴、x轴正半轴上的动点、 ．将线段 绕点A顺时针旋转 得到线
段 ，则 的最小值是____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】连接 ，过点B作 于点D，连接 ．由旋转的性质易证 是等边三角形，从
而可求出 ，进而可求 ．最后由三角形三边关系可得出 ，
且当点B，O，D在同一直线上时取等号，即得出 的最小值是 ．
【详解】如图，连接 ，过点B作 于点D，连接 ．
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由旋转的性质可知 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴点D为 中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，且当点B，O，D在同一直线上时取等号，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，以及
三角形三边关系的应用．正确作出辅助线并理解当点B，O，D在同一直线上时 最小是解题关键．
15. 如图，弦 与 相交于A、B两点，已知 的直径为10，若圆心O到 的距离为3，那么弦
长为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．如图，作辅助线；运用勾股定
理求出 的长度，即可解决问题．
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【详解】解：如图，过点 作 于点D，
则 ，
由题意得： ， ，
∴ ，则 ，
∴ ．
故答案为：8．
16. 如图， ，且点D在 （不与点B，C重合）上．
（1）若 ， ，写出一个符合条件的x的整数值______；
（2）若 ， ，则 的度数为______．
【答案】 ①. 2（或1或3） ②.
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 ，再根据三角形的三边关系得到 ，即可
得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，即 ，又由
即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x的整数值可以是1或2或3；
为
故答案 ：2（或1或3）
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的性质、三角形的三边关系等知识，熟练掌握全等三角形的对应边相等和
对应角相等是解题的关键．
三、解答题（共52分）
17. 某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有
如下表关系：
每箱售价x（元） 68 67 66 65 …… 40
每天销量y（箱） 40 45 50 55 …… 180
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是
多少元？
【答案】（1）y＝﹣5x+380；（2）56元．
【解析】
【分析】（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出
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y与x的函数解析式；
（2）利用该超市每天销售水蜜桃获得的利润＝每箱的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方
程，解之即可得出x的值，再结合要使顾客获得实惠，即可得出每箱售价是56元．
【详解】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（68，40），（67，45）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣5x+380．
（2）依题意得：（x﹣40）（﹣5x+380）＝1600，
整理得：x2﹣116x+3360＝0，
解得：x＝56，x＝60．
1 2
∵要使顾客获得实惠，
∴x＝56．
答：每箱售价是56元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数量，
利用待定系数法求出y与x的函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18. 已知（x+3）2+|y﹣6|=0，求x﹣y的值．
【答案】﹣9
【解析】
【分析】利用平方的非负性和绝对值的非负性求出x、y的值，然后求解即可.
【详解】解：∵（x+3）2+|y-6|=0，
∴x+3=0，y-6=0，
∴x=-3，y=6．
∴x﹣y=-3-6=-9．
【点睛】本题主要考查了平方的非负性和绝对值的非负性以及代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解.
19. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形 上，并使它的直角顶点P在对角线 上滑动，直角
的一边始终经过点B，另一边与射线 相交于Q．
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探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边 上时，线段 与 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
（2）当点Q在边 上时，设四边形 的面积为y，求y与x之间的函数关系；
（3）当点P在线段 上滑动时， 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使
成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）点Q的位置见解析， 或1
【解析】
【分析】（1）过点P作 ，分别交 、 于点M、N，根据正方形的性质和直角三角形的性
质，可证明 ，可证明 ；
（2）由 ，结合（1）的结论可分别表示出 、 、 和 ，可表示出 和 的
面积，从而表示出四边形 的面积，进而得到y与x的关系式；
（3） 可以成为等腰三角形，分情况讨论当点P与点A重合，点Q与点D重合；当点Q在 边
上时，利用勾股定理可得到x的方程；当点Q在 的延长线上时，由 ，可得到x的方程；当
Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值．
【小问1详解】
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解：过P作 ，分别交 、 于点M、N，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴四边形 、四边形 是平行四边形，
又 ，
∴四边形 、四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ 、 为等腰直角三角形，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
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解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
即 ；
；
【小问3详解】
解： 可能为等腰三角形，
当点P与点A重合时， ，此时点Q与点D重合， ，
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由 得 是等腰三角形；
当Q在 边上时，如图1，
∵ ，∴当 时， 是等腰三角形，
由 得 ，
解得 或 （舍去），
此时，点P与点A重合，点Q与点D重合；
当点Q与C重合时，△PCQ不存在；
当Q在DC延长线上时，如图2，
∵ ，∴当 时， 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
综上，当 或1时， 为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的
性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中用x分
别表示出 和 的面积是解题的关键，在（3）中利用分类讨论思想分别得到关于x的方程是
解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，有一定的难度．
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20. 如图，在 中， ， ， ，点O为边 中点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在 上作一点D，使得 ；（不写作法，保
留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，则 的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）在 的延长线上截取 ，再作线段 的垂直平分线，交 于点D，则点D即
为所求．
（2）连接 ，则可得 ，由作图可得， ，则 ，利用三角形的面积
公式计算可得答案．
【小问1详解】
解：如图，在 的延长线上截取 ，
再作线段 的垂直平分线，交 于点D，
则 ，
即 ，
则点D即为所求．
【小问2详解】
连接 ，
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由（1）可知， ，点D为 的中点，
∵O为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、中位线、勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角
形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21. 已知，二次函数的表达式为 ．写出这个函数图象的对称轴和顶点.
【答案】对称轴为x=4
顶点坐标（4，-16）
【解析】
【详解】试题分析：把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标.
试题解析：∵y=x2-8x=-（x-4）2-16，
∴对称轴为x=4，顶点坐标为（4，-16）.
22. 如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平
线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．
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（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．
【答案】（1）15米 （2） 米
【解析】
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，根据含30度的直角三角形的性质即可求出CE的
长度；
（2）由角平分线的性质可求出CD，在Rt△ACD中，由含30度的直角三角形的性质可求出AC，再根据勾
股定理即可求出AD.
【小问1详解】
解:（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°，
∵∠B＝30°，BC＝30米，
∴CE＝ BC＝15（米）
∴点C到AB的距离是15米；
【小问2详解】
解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝90°－∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD－∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC，
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∵CE⊥AB，
∴CD＝CE＝15米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米，
∴CD＝ AC，
∴AC＝2CD＝2×15＝30（米），
由勾股定理得： （米），
答：线段AD的长度是 米．
【点睛】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，并求出CD的长度是解
决问题的关键.
23. 从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张、黑桃10张、方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌
面上．
（1）从中摸出一张牌是红桃的概率为______．
（2）现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉数量相同的红桃，洗匀背面朝上放着，随机抽出1张是
红桃的概率为 ，请问抽掉多少张黑桃？
（3）若先从桌面上抽掉9张红桃和 张黑桃后，再在桌面上抽出1张牌．
①当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
②当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率最小值．
【答案】（1）
（2）3张 （3）① ＝10；② ＝7或8或9；最小概率为
【解析】
【分析】（1）根据概率公式列式计算即可；
（2）设至少抽掉了x张黑桃，放入x张的红桃，根据题意列不等式即可得到结论；
（3）①根据题意及必然事件的定义即可得到结论；
②由题意可得m为9、8、7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，然后计算概率最小的值即可．
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【小问1详解】
洗匀背面朝上放在桌面上有红桃9张、黑桃10张、方块11张，
∴抽出一张牌是红桃的概率为 ；
【小问2详解】
设抽掉x张黑桃，则放入x张红桃，
由题意得， ，
解得x=3，
答：至少抽掉了3张黑桃.
【小问3详解】
①当m为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件；
②当m为9、8、7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，
P（最小）= ．
【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算，一元一次方程的应用，必然事件及随机事件的满足条件，理
解题意，熟练掌握运用概率公式是解题关键．
24. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
【答案】（1）
（2）水面上涨的高度为 m
【解析】
【分析】（1）先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式；
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（2）根据题意将 代入求解即可．
【小问1详解】
如图：
以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为： ，
把A（5，0）代入，得 ，
所以抛物线解析式为： ，
【小问2详解】
当 时， ，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为 m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的平面直角坐标系是解决本题的关键．
25. 如图， 是 的直径，点D在 的延长线上， 与 相切于点C，连接 ．
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（1）求证： ．
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等知识．
（1）连接 ，由 是 直径， 与 相切于C，得 ， ，
根据 即可证明结论；
（2）先解直角三角形得到 由题意易证 ，得 ，
得到 ，根据 ，从而求出 的长即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
是 的直径，
，
．
与 相切于点C，
，
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．
，
，
．
【小问2详解】
，
，
．
，
，
，
，
即 的半径为 ．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）若抛物线过点 ，求抛物线的对称轴；
（2）若 ， 为抛物线上两个不同的点．
①当 时， ，求 的值；
②若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
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【答案】（1）直线 ；
（2）① ；② ．
【解析】
【分析】（1）把点 代入抛物线 ，求出解析式，再利用对称轴公式计算即可得到
答案；
（2）①当 时， ，说明 与 对称，根据对称轴公式即可计算 值；
②利用二次函数的性质，即可求得 的取值范围．
【小问1详解】
解： 函数 图象过点 ，
，
，
，
对称轴 ，
二次函数的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：① 时， ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
，
．
②由题意可知，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
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，
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握相关性质是解题关键．
27. 在 中， ， ，点D，E分别是边 的中点，点F为直线 上一动
点，连接 ，将线段 绕点E逆时针旋转 ，连接 ．
（1）如图1，当 时，请直接写出线段 和线段 之间的数量关系；
（2）如图2，当 时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不
成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若 ，请直接写出线段 的长
【答案】（1）
（2）成立，理由见解析
（3） 或
【解析】
【分析】（1）结论： ，连接 ，证明 是等边三角形，可得 ，根据
证明 ，可得结论．
（2）成立．如图 2 中，连接 ，证明 是等腰直角三角形得 ，根据 证明
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，可得结论．
（3）分两种情形：当点F在线段 上和当点F在 的延长线上时求解即可．
【小问1详解】
结论： ．
理由：如图1中，连接 ．
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点D，E分别是边 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
成立．
证明：如图2中，连接 ．
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连接 ，由题意得， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵点D，E分别是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
如图2中，
由（2）知， ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ 过点C．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知， ，
∴ ，
如图3中，当点F在 的延长线上时，
同法可得， ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形
的中位线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
28. 点P到 的距离定义如下：点Q为 的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的
长度为点P到 的距离，记为 ．特别的，当点P在 的边上时，
．
在平面直角坐标系xOy中， ．
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（1）如图1，若 ， ，则 ______， ______；
（2）在正方形OABC中，点 ．
①如图2，若点P在直线 上，且 ，求点P的坐标；
②将抛物线 向下平移 个单位长度后得到的新抛物线记作图象W，若点P在图象W上，
且满足 的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1）1，1 （2）① ， ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意的定义即可直接得出 ．过点M作 于点D，由
含30°角的直角三角形的性质即可得出 ，即得出 ；
（2）①点P到 的距离定义，可知点P的运动路径．分类讨论：如图，当点P在射线EH上时，射
线EH与直线 没有交点，不符合题意；当点P在 上时，即此时点P为直线 与
的交点，如图点 ，连接 ．设 ，由两点的距离公式即可列出关于x的方程，解出x，再舍
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去不合题意的值，即可得到 的坐标；当点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为 ，即点P与点
C重合，从而得出点 的坐标；②将抛物线 向下平移 个单位长度后得到的新抛物线
为 ，如图，当平移后的抛物线位于 和 之间时满足 的点P有且
只有两个，易求出直线CF的解析式为 ．联立 并整理可得 ，由平
移后的抛物线位于 和 之间，即此时抛物线与直线 没有交点，可判断方程 无
解，由其根的判别式即可得出k的取值范围．再由平移后的抛物线位于 上方，即得出 ，
解出k即可．
【小问1详解】
解：根据题意可直接得出 ．
如图，过点M作 于点D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1，1；
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【小问2详解】
①解：分类讨论：如图，取E（0， ），作EH x轴，过点C作CG OB，以点O为圆心，
为半径画弧，较CG于点F，
当点P在射线EH上时，
∵射线EH与直线 没有交点，
∴此情况不符合题意；
当点P在 上时，即此时点P为直线 与 的交点，如图点 ，连接 ，
∴ ，
设 ，
∴
∴ ，
解得： ， （舍），
∴ ；
当点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为 ，即点P与点C重合，如图点 ，
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∴ ．
综上可知 或 ；
的
②将抛物线 向下平移 个单位长度后得到 新抛物线为
如图，当平移后的抛物线位于 和 之间时满足 的点P有且只有两个，
∵F(-2，2)，C(0，4)，E(0， )
设直线CF的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴设直线CF的解析式为 ．
联立 ，
整理，得： ，
∵平移后的抛物线位于 和 之间，即此时抛物线与直线 没有交点，
∴方程 无解，
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∴ ，
解得： ．
∵平移后的抛物线位于 上方，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查坐标与图形，含30°角的直角三角形的性质，对新定义的理解，两点的距离公式，勾股
定理，二次函数图象的平移，二次函数图象与一次函数图象的交点等知识．正确作出图形，并利用数形结
合和分类讨论的思想是解题关键．
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