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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京外国语大学附属外国语学校
2023—2024 学年第二学期初三数学零模检测卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．
1. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（ ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行
“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nm m．将 用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；
当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： .
故选B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转 得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图
形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到
答案．
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【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转 得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对
称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
3. 某个几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 三棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】由左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱．
【详解】解：图中主视图为三角形，长方体的主视图为长方形，因此排除B；
图中俯视图为长方形，圆锥的俯视图为圆形，因此排除C；
图中左视图为长方形，三棱锥的左视图为三角形，因此排除D；
由左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱，故选项A符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查根据三视图判断几何体的形状，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
4. 将含有 角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若 ，则 度数（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得 ，再根据 即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
，
∵ ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
5. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知， ， ，
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A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解
题的关键．
6. 若实数 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，则点 所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法求出 ， 的值，根据各象限点的特征即可求得．
【详解】∵实数 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，
∴ ,
∴ 为 ，
∴ 在第二象限，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解
法．
7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统
文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），
抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大
学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即 A）和《大学》（即C）的可能结果有2
种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》） ，
故选：B．
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率
的方法是解题的关键．
8. 设m是非零实数，给出下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
其中命题成立的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
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【解析】
【分析】此题考查命题与定理，关键是根据不等式的性质解答即可．判断一个命题是假命题，只需举出一
个反例即可．
【详解】解：若 ，则 ，即 ；故①是正确的；
若 ，则 ，故②是错误的；
若 ，当 时，此时 ，即 ，故③是错误的；
若 ，则 ，故④是正确的．
故选：B.
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数 的条件，
要使 在实数范围内有意义，必须 ，
∴ ．
故答案为：
10. 写出一个比 大且比 小的整数 _____．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】先对 和 进行估算，再根据题意即可得出答案．
【详解】解：∵ ＜2＜3＜4＜ ，
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∴比 大且比 小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出 与 是解题的关键．
11. 分解因式 ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全
平方公式 ．
12. 如图，在 中， ， ，线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
则 ________．
【答案】 ##10度
【解析】
【分析】由 ， ，求得 ，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三
角形的两锐角互余求得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线
性质是解题的关键．
13. 将抛物线 先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为
___________．
【答案】
【解析】
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右
减”即可得出结论．
【详解】解：将抛物线 先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解
析式为 ，
故答案为： ．
14. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整 体的系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问
题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言
可表述为：“如图， 是 的直径，弦 于点 ， 寸， 寸，求直径 的
长．”可求出直径 的长为_______寸．
【答案】26
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接 ，设 寸，
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则 寸， 寸，先根据垂径定理求出 寸，再在 中，利用勾股定理求
解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
则 ，
设 寸，则 寸， 寸，
的
∵ 是 直径，弦 于点 ， 寸，
寸，
在 中， ，即 ，
解得 ，
则 寸，
故答案为：26．
15. 如图，正比例函数 与一次函数 的图象交于点 ．下面四个结论：① ；②
，③不等式 的解集是 ；④当 时， ．其中正确的是_______
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【答案】④
【解析】
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．根据正比
例函数和一次函数的图像与性质判断即可．
【详解】解：①因为正比例函数 经过二、四象限，所以 ，①错误；
②一次函数 经过一、二、三象限，所以 ，即 ②错误；
③由图象可得：不等式 的解集是 ，③错误；
④当 时， ，④正确；
故答案为：④．
16. 如图 中， ， ， ， ，O为 的中点，若点D为直线
下方一点，且 与 相似，则下列结论：①若 ， ，则 的长
为 ；②若 ，则 的最大值为 ；③若 ， 与 相交于E，则点E不一定是
的重心；④若 ，则当 时， 取得最大值．其中正确的结论是
______．
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【答案】③④
【解析】
【分析】本题主要考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，采用分类讨
论和数形结合的方法是解题的关键．
当 时， 取得最大值，根据已知数据，结合勾股定理，求得 的长，即可求解；
如图，若 ，根据相似三角形的性质求得 ， 进
而求得 ，即可求解；有3种情况，分别画出图形，得出 的重心，即可求解；如图，根据相似
三角形的性质得出 ，在 中， ，根据二次函数的性质，即可求出最终
结果．
【详解】当 ，如图， 取得最大值， ，
，
，
故②错误．
如图，若 ，
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，
，
，
，故①错误．
有3种情况，如图1， 和 都是中线，点 是 的重心；
如图2，四边形 是平行四边形， 是 中点，点 是的 重心；
如图3，点 不是 中点，所以点 不是 的重心；故③正确；
如图， ，
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，
即 ，
在 中， ，
，
，
当 时， 最大为5，故④正确．
故答案为：③④．
三、解答题：本大题有12个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是
注意各部分的运算法则，细心计算．
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18. 解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为0，1，2
【解析】
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是 ，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，
以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
19. 先化简，再求值： ，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
【答案】 ，当 时，值为
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
【详解】解：
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，
∴当 时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20. 关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可；
（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明： ，
∵无论m取何值时， ，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解： ，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且 ．
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．
．
【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有
两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．
21. 如图，在等腰直角 中， 是 边上任意一点（不与 重合），将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得 ，由旋转的性质可得： ，
，从而得到 ，证明 得出 ，从而得到
；
（2）由（1）可知， ，得到 ，由勾股定理可得 ，从而得出
，最后由勾股定理进行计算即可．
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【小问1详解】
解： 是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可得： ， ，
，即 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知， ，
，
，
，
，
在 中，根据勾股定理 ．
22. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选
拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，
从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数
据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ， ， ，
， ， ）：
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b．甲学校学生成绩在 这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78
根据以上信息，回答下列问题：
的
（1）甲学校学生A，乙学校学生B 综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示
排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到
_________分的学生才可以入选．
【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）88.5
【解析】
【分析】（1）先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以
此判断排名；
（2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（3）先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题
意，得 ，解得x即可．
【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5
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∴中位数为：
∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分
为
∵B成绩 83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为： ，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙
校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（3）根据题意，90-100分的人数为为： 人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需
要补充x个人，
根据题意，得 ，解得x=3，
而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图
的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 交于点 ．
（1）求k，b的值．
（2）已知点 ，过点P作平行于y轴的直线，交直线 于点M，交函数 的图象于点
N．
①若 ，结合函数的图象，求p的取值范围；
②若点M，N的纵坐标m，n和p满足 ，直接写出p的取值范围．
【答案】（1） ，
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（2）① 或 ；②
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）画出图象，结合图象解答即可；
（3）①分当 时和当 时两种情况求解即可；②根据 列不等式求解即可．
【小问1详解】
把 代入 ，得
∴ ，
把 代入 ，得
，
∴ ；
【小问2详解】
①∵ ， ，
∴ ， ．
如图，
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∵ ，
∴点P在直线 上，即 ．
∵点M在 的图象上，点N在 的图象上，
∴ ， ．
当 时，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ．
当 时，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ．
综上可知，当 或 时， ．
②∵ ， ， ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ 即 ．
【点睛】1本题考查了待定系数法求含漱液解析式，一次函数的图象与性质，以及坐标与图形的性质，数
形结合是解答本题的关键．
24. 如图， 是 的直径，点C是 上的一点（点C不与点A，B重合），连接 ，点D是
上的一点， ， 交 的延长线于点E，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为5， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）8
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线
的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用直角三角形的边角关系定理得到 ，设 ，则 ，利用 的代数式表示出线
段 ， ，再利用勾股定理列出关于 的方程，解方程即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： (不合题意，舍去)或 ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切
线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
25. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与
平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘
正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似
是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状
的大致图象；
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（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起
始点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过
网，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长
为274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27
．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）见解析 （2）① ； ；②
（3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【解析】
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时， ；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当
时， ，代入进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详
解】
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①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐标为
，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时， ，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问3详解】
∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的
性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
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（1）当 时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线 经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大
而增大，求a的取值范围；
（3）当 时，点 ， 在抛物线 上．若 ，请直接写出m的
取值范围．
【答案】（1）
（2）a的取值范围是 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和
分类讨论的思想进行解答．
（1）当 时， ， 为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把 ， 代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分 和 ，由函
数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据 确定m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ， 为抛物线上的对称点，
∴ ，
抛物线的对称轴 ；
【小问2详解】
解：∵ 过 ， ，
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∴ ， ， ，
∴对称轴 ．
①当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ．
②当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ，
综上：a的取值范围是 或 ；
【小问3详解】
解：∵点 在抛物线 上，
，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴对称轴为直线 ，
①如图所示：
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，
且 ，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
27. 如图，在四边形 中， ， ， ，作 ，使得点 和点
在直线 异侧，连接 ，将射线 绕点 逆时针旋转90°交射线 于点 ．
（1）①依题意，补全图形；
②证明： ．
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（2）连接 ，若 为线段 的中点，连接 ，请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证
明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】 （1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转性质和全等三角形的判定证明
即可证得结论；
（2）延长 至H，使 ，连接 ， ，先证明 ，得到 ，
，进而证得 ，再证明 ，得到
，在 中，利用勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：①根据题意，补全图形如图所示；
②证明：由旋转性质得 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
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∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ．
证明：延长 至H，使 ，连接 ， ，
∵ 为线段 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，添加适当辅助线构造全等三角形求
解是解答的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于 与 ，给出如下定义：若 的一个顶点在 上，除
这个顶点外 与 存在且仅存在一个公共点，则称 为 的“相关三角形”．
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（1）如图1， 的半径为1，点 ， 为 的“相关三角形”.在点 ，
， 这三个点中，点 可以与点_________重合；
（2）如图2， 的半径为1，已知点 ，点 是 轴上的一个动点，且点 的横坐标 的取值范
围是 ，点 在第一象限，若 为直角三角形，且 为 的“相关三角形”，求点
的横坐标 的取值范围；
（3） 的半径为 ，直线 与 在第一象限的交点为 ，点 ，若平面直角坐
标系 中存在点 （点 在 轴下方），使得 为等腰直角三角形，且 为 的“相关三
角形”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）利用相关三角形的定义逐个进行判断即可；
（2）由相关三角形有一个顶点在圆上，得到点 C在第一象限的圆上，再通过点B位置和点A位置，明确
直角只有 ，先确定点C，作 ，然后 由小极大，找到点B符合条件的位置，得到对
应点C符合条件的位置，分别计算，得到 范围；
（3）通过点A的位置及交点个数，明确 与 只能有一个交点，得到半径最大值，再由 与直线
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交点在第一象限，得到半径最小值，画图确定无论点 B在圆内、圆上、圆外均存在满足条
件的等腰直角三角形 ，得到半径的范围．
【小问1详解】
如图各点在图中位置，由于边 已与圆有1个交点 ，且点O、C均不在圆上，故只有A在圆上，且
与 与除点A外只有 一个交点，
由 ， 可知，点 在圆上，且 与 相切，可知 与圆只有 及
两个交点，满足“相关三角形”条件，故点A可与 重合；
与与 有额外交点， 不在 上，均不满足条件；
【小问2详解】
为 的“相关三角形”，又点B在圆内，点A在圆外， 与 有1个交点，故点C只能在
圆上，且 除点C外不再与 有交点，
为直角三角形，且点 在第一象限，
当 时，点 不在圆上，当 时，点 不在第一象限，
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故只有 ，又 ，
当点B在 处， 时， 最小，但此时不可取， 中点 到点C的距离为 的
一半，得到 ，
，C在圆上，得到 ，解得 ，
当 与 相切时， 最大，因为 继续增大，则 与 会有2个交点，此时点B与原点O重合，
可取，作 于点D，则 ， ，
得 ， ，
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综上所述 ．
【小问3详解】
顶点A为 与直线 在第一象限的交点， 与 轴交点为 ，故 最大
时， 在 上， 最大为 ； 最小时，直线 与 相切， 最小为
，
顶点A在 上，当 与 有两个交点时．若点B在圆上， 与有3个交点，不满足“相关三角
形”条件；若点B在圆内，则 与 无交点， 与 有一个交点，不满足“相关三角形”条件；
若点B在圆外，则 与 有一个交点无交点， 与 无交点，也不满足“相关三角形”条件；故
与 仅能有1个交点．
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当 与 相切时， ， 与 轴交于点 ， ，
，恰有 ， ，
当 时， 与 只有1个交点，当点B在圆内、圆上、圆外时， 与 均只有2个交
点，满足“相关三角形”条件，故 ．
【点睛】本题为新定义类型的综合题，涉及新定义须严格按照定义
的说法进行摸索和判断，本题还涉及直角三角形、等腰直角三角形形状对应顶点的多种位置情况，直角三
角形须分类，三个顶点均可能为直角点，解题时须分类处理．通常解决动点类综合题可以采用动点轨迹的
从一端到另一端的动态分析，找到符合条件的位置，画图时有时须转换点的先后性，达到画图顺利，找位
置顺利的目的．
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