文档内容
北京二中教育集团 2022—2023 学年度第一学期
初三数学期中考试试卷
考生须知：
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共14页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题纸6
页．全卷共三道大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以
不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （2，1） D. （2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数解析式的顶点式即可解答．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数解析式的顶点式求顶点坐标，熟练掌握和运用求二次函数顶点坐标的方
法是解决本题的关键．
3. 将方程 配方后，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
4. 如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 与 相交于点 ，若 且
是以线段 为底边的等腰三角形，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质得出 ， ，由等腰三角形的性质得出 ，
求出 ，根据 即可得出答案．
【
详解】解： 将 绕点 逆时针旋转 得到 ，且 ，
， ，
又 是以线段 为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的
关键．
5. 如图，已知 是 的内切圆，点 是内心，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据点I是 的内心，可得
，进而再根据三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点I是 的内心，
∴ ， ，
即 ，
．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的
交点是解题的关键．
6. 如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为 ，
母线长为 ，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设扇形的圆心角为 ，
∵圆锥的底面圆周长为 ，母线长为 ，
∴ 解得 ，
即扇形的圆心角为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关
键．
7. 二次函数 的图象如图所示，下列四个说法中：
① ；② ；③ 的两个解是 ， ；④当 时， 随 的
增大而减小；正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象逐项判断即可；
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为
∴
整理得： ，故①错误；
当 时， ；故②正确；
∵该抛物线 的对称轴为
∴根据抛物线的对称性可知，该二次函数的图象与 轴相交于∴关于 的方程 的两个解是 ， ；故③正确；
由图象可知，当 时， 随 的增大而减小；故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质；熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
8. 如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为
，另一边的长为 ，矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 与 ， 与 满足的函
数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正例函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，正例函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】分别列出 与 的关系式， 与 的关系式判断即可；
【详解】解：由题意可得： ，
∴ 与 成一次函数关系； 与 成二次函数关系；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关
键．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 如图，在 中， ，则 的度数是___________．【答案】 ##120度
【解析】
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【详解】∵ 所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记同一个圆中，同弧所对圆心角等于所对圆周角的两倍是解题的关键．
10. 将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表
达式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右
减，上加下减．并用规律求函数解析式．
11. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了
2256张照片，若该班有 名同学，则根据题意可列出方程为___________．【答案】
【解析】
【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片 张，全班应该送照片 ，那么根据题意可
列得方程．
【详解】若该班有x名同学，那么每名学生送照片 张，全班应该送照片 张，
则可列方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清
每名同学送出的照片是 张是解决本题的关键．
12. 如图，直线 与抛物线 交于点 ，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等
式 的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式 ，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完
成解答．
【详解】∵ ，∴ ，
解得x=3或x=-1，
∴点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴不等式 的解集为 ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函
数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 的顶点 在 轴的正半轴上，已知点 、
、 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则图中阴影部分图形的面积为
___________．
【答案】
【解析】【分析】先判断出 ，根据勾股定理可得 的长，根据 绕点A顺时针旋转 得到
，可得图中阴影部分面积 ，再根据扇形面积公式即可求出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴图中阴影部分面积
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，坐标与图形变化-旋转，熟记扇形的面积公式是解答此
题的关键．
14. 北京中轴线申遗已确定天安门等14处遗产点．北京的南北中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，北京城另
一条重要的东西线是长安街．我们以天安门为原点，分别以长安街的正东方向和中轴线的正北方向为 轴、
轴的正方向建立平面直角坐标系，单位长度为 ．表示前门的点A的坐标为 ，表示朝阳门的
点B的坐标为 ，表示广安门的点C的坐标为 ．这几个点中，距离天安门 以内的点是
___________．
【答案】A
【解析】【分析】根据直角坐标系中两点之间的距离公式计算即可．
【详解】∵原点 ， ， ，
∴
∴这几个点中，距离天安门 以内的点是A
故答案为：A．
【点睛】本题考查两点之间的距离公式，熟记距离公式是解题的关键．已知 ， ，则
．
15. 二次函数 ，当 时， 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数 的性质求解即可．
【详解】解： ，
当 时，y随x的增大而减小，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
16. 如图，在 中，直径 ，延长 至 ，使 ，点 在 上运动，连接 ，将绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 的最大值为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取 ，连接DF，从而可证 ，进而得
到 ，将求线段OE的最大值转化为求FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
【详解】如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取 ，连接DF，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，
将OE转化为其他线段进而求最大值．
三、解答题（共68分）
17. 解方程:x(2x+1)=4x+2
【答案】x=2,x=-
1 2
【解析】
【分析】方程整理后, 利用因式分解法求出解即可.
【详解】x(2x+1)=2(2x+1)
即(x-2)(2x+1)=0
∴x-2=0或2x+1=0
∴x=2,x=- ，
1 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法.
18. 若 是关于 的一元二次方程 的根，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入 即可得到 ，再整体代入即可求值．【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的根
∴把 代入 得：
∴
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体求值是解题的关键．
19. 如图所示，在平面直角坐标系 中， 的顶点均在格点上，点 的坐标为 ．
（1）将 绕原点 顺时针方向旋转 得到对应的 ，请画出 ；
（2） 的外接圆的圆心坐标是___________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质分别找出点 的对应点，即可解决问题；
（2）在图中找出 其中两边中垂线的交点，即为 的外心；
【小问1详解】
解：作图如下：【小问2详解】
解：由图可知：
的中垂线相交于点P
故 的外接圆的圆心坐标是：
【点睛】本题考查了图形的旋转、三角形的外心；掌握图形旋转的特点和求作三角形外心的方法是解题的
关键．
20. 下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图1， ．求作： 的内接正方形．
作法：①作 的直径 ；
②作直径 的垂直平分线 交 于点 ， ；
③连接 ， ， ， ．
∴四边形 就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∴ ．（___________）（填推理依据）
∴四边形 是菱形．（___________）（填推理依据）
∵ 是 的直径，
∴ ．（___________）（填推理依据）
∴四边形 是正方形．
【答案】（1）见解析 （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四边都相等的四边形是菱形；
直径所对圆周角是直角
【解析】
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；
（2）根据作图过程可得 是 的垂直平分线，然后根据圆心角、弧、弦定理证明四边形 是菱
形，再根据直径所对圆周角是直角可判断四边形 是正方形．
【小问1详解】
解：如图，四边形 为所作，
【小问2详解】
证明：∵ 是 的垂直平分线，∴ ．
∴ ．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）
∴四边形 是菱形．（四边都相等的四边形是菱形）
∵ 是 的直径，
∴ ．（直径所对圆周角是直角）
∴四边形 是正方形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
21. 关于 的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求实数 的取值范围；
的
（2）设方程 两根为 ， ，当 为满足条件的最大整数时，求 的值．
【答案】（1） 且
（2）
【解析】
【分析】（1）由 且 得到关于k的不等式，解之得到k的范围；
（2）由（1）知 ，可得方程 ，利用利用根与系数关系求解可得．
【小问1详解】
∵关于 的一元二次方程 有两个实数根
∴ 且
解得： 且 ，
【小问2详解】由（1）知 且 ，
∴当 为满足条件的最大整数时
此时方程为：
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的
情况与判别式的值之间的关系．
22. 如图是广场喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪 ，喷水口为 ，喷出水流的运动路线是抛物
线，如果水流的最高点 到 所在直线的距离为 ，且到地面的距离为 ，水流的落地点 到喷水
枪底部 的距离为 ，喷水枪 应为多长？请你在以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴的平
面直角坐标系中解决问题．
【答案】 米
【解析】
【分析】用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点 的坐标即可得出结果；
【详解】解：由题意可得：
，
设该抛物线的解析式为：
将 代入得：解得：
∴设该抛物线的解析式为：
当 时，
∴
即： （米）
答：喷水枪 的长为 米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用；根据实际问题建立合适的坐标系得出函数解析式是解决问题的
关键．
23. 二次函数 （ ， ， 是常数，且 ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
…… -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 0 -4 -6 -6 -4 0 ……
（1）求二次函数的解析式并在坐标系中画出该函数图象；
（2）该二次函数的图象与直线 有两个交点 ， ，若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，图象见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法列方程组，即可求出二次函数的解析式，描点连线即可画
出该函数图象；
（2）观察函数图象可知当 时， ，由此可解．也可将 与 联立，
利用一元二次方程根与系数的关系求解．
【小问1详解】
解：将 ， ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
故二次函数的解析式为 ，
函数图象如下所示：
．【小问2详解】
解法一：观察函数图象可知，当 时， ，
当 时， ，
即n的取值范围为 ．
解法二：设点 ， ， ．
将 与 联立，得： ，
整理得 ，
可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
当 时， ，
解得 ．
【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，描点法画二次函数的图象，二次函数图象与直线的
交点问题，解题的关键是熟练运用数形结合的方法．
24. 如图，四边形 内接于 ， ， 是 的直径，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）若 直径为4，求 的长．【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到 ，根据题意求出 ；
（2）连接 ，根据圆周角定理得到 ， ，根据直角三角形的性质求出
，结合勾股定理即可求出 的长度．
【小问1详解】
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
连接 ，
由圆周角定理得： ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，∴
∴ ．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角
互补是解题的关键．
25. 如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，连接
并延长 与 的延长线交于点 ，连接 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 半径为3， ．求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定方法，证出 即可；
（2）先在 中利用勾股定理求出 ，然后在 中利用勾股定理建立关于 的方程，
然后求解即可．
【
小问1详解】
解：连接 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
即 ，
∵ 是弦， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
即 ，
∴ 为 的切线；
【小问2详解】
解：在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定方法并作出合理的辅助线是解题
的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，设抛物线的对称
轴为 ．
（1）当 ， 时，求抛物线与 轴交点的坐标及 的值，并直接写出 、 的大小关系；
（2）点 在抛物线上，若 ，求 的取值范围及 的取值范围．
【答案】（1）抛物线与 轴交点的坐标为 ； ；
（2） ；
【解析】
【分析】（1）将 ， 代入 中，可得抛物线与 轴交点的坐标及 的值，
再根据抛物线的增减性可确定 、 的大小关系；
（2）根据点 的纵坐标相同；得出函数对称轴 ，再根据函数的增减性分类讨论，即
可求得结果．
【小问1详解】
解：当 时，抛物线：
当 时， ；
∴ 抛物线与 轴交点的坐标为：
∵
所以抛物线：此时，抛物线的对称轴为
故
∴当 时， 随 的增大而减小
∵
【小问2详解】
解：∵ 的纵坐标相同；
∴
∴ 时， 随 的增大而增大；在 时， 随 的增大而减小；
当 时
不符合题意；
当 时
即：
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．
27. 如图，在 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，将线段 绕点逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图形并求 的度数；
（2）连接 交 于点 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
【答案】（1）补图见解析，
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据题意补全图形，然后根据“ ”证明 即可求解；
（2）在 上取点 Q，使 ，连接 ， ，根据“ ”证明 ，可得
，然后分别在 和 中，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，
，根据题意，得 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ．
理由：如图，在 上取点Q，使 ，连接 ， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全
等三角形是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形 ， 和点 ．给出如下定义：如果图形 ， 上分别存在点
， ，使得点 ， 关于点 中心对称，那么称点 为图形 ， 的关联点．特别地，当 ， ，
三点重合时，点 也为其关联点．已知点 ， ．
（1）在点 ， ， 中，点 的坐标为___________时，点 为线段 ，点 的关联点；
（2） 的圆心为 ，半径为1．若点 为 ，线段 的关联点，求 的取值范围；
（3） 的半径为3，若点 为 ，线段 的关联点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）作出线段 关于点O的对称线段 ，满足条件的点在线段 上，继而即可求解．
（2）如图2中，线段 与线段 关于点 对称，当 与线段 有交点时，满足条件，继而即可
求解．
（3）点 ， 关于 的对称点为 ， ，当 与线段 有
交点时，满足条件，当对称点在 上即可求出边界值，继而即可求解．
【小问1详解】
解：∵点 ，
∴点 ， 关于原点O的对称点为 ，
∴直线 的解析式为
∴线段 的解析式为
当 时， ，
∴点 ， ， 中， 在线段 上
∴点 的坐标为
故答案为： ．【小问2详解】
解：线段 与线段 关于点 对称，当 与线段 有交点时，满足条件．
设 与线段 相切于点 ，连接 ， ，此时 在线段 的右边，如图2：
则
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
当 过 点时， ，
当 过 点时，
∴ 或
∴ 的取值范围是【小问3详解】
解：∵点 ，
∴点 ， 关于 的对称点为 ，
当 与直线 相切时，设切点为 ，连接
∴ ，
∵
∴
此时 或 ，不可能在线段 上
即 与线段 不相切
当 经过 时， ， ，解得
当 经过 时， ， ，解得
综上所述，满足条件的 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，距离公式，中心对称图形的性质，解题的关键
是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
