2021年高考数学精选考点专项突破题集专题9.1随机变量与古典概型（教师版含解析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件

专题 9.1 随机变量与古典概型 一、单选题 1、(2020届山东省日照市高三上期末联考)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A， 即仅第一个实习生加工一等品为事件 ， 仅第二个实习生加工一等品为事件 两种情况， 则 ， 故选：B． 2、(2020·山东高三模拟)1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条 等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意 投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数 据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选:D.3、(2020届山东省潍坊市高三上期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等 马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田 忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹 马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为 ， ， ， 设田忌的上等马、中等马、下等马分别为 ， ， ， 每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜． 基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共6个， 田忌获胜包含的基本事件有： ， ， ，只有1个， 田忌获胜的概率为 ． 故选：B. 4、(2020年高考全国II卷理数)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200份 订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作 已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人 每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少 需要志愿者( ) A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者x名，， ,故需要志愿者 名. 故选：B 5、(2020年高考山东)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜 欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A．62% B．56% C．46% D．42% 【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢 足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ， 则 ， ， ， 所以 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 . 故选：C. 6、(2020届山东省德州市高三上期末)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种 动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、 乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个 吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有 种选择，丙同学有 种选择，此时共有 种； 若甲选马作礼物，则乙有 种选择，丙同学有 种选择，此时共有 种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为 . 故选：C. 7、(2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考)将三枚骰子各掷一次，设事件 为“三个点数都不相同”，事件 为“至少出现一个6点”，则概率 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵P(A|B)=P(AB)÷P(B)， P(AB)= = P(B)=1-P( )=1- =1- = ∴P(A/B)=P(AB)÷P(B)= = 故选A． 8、(2020·山东曲阜一中高三3月月考)甲，乙，丙三人报考志愿，有 三所高校可供选择，每人限报 一所，则每所一学校都有人报考的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是 (种) 如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是 (种) 所以如果每一所学校都有人报考的概率为 故选：D 9、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节 是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春 联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们 中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81， 他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 36， 则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p ． 故选：B． 10、(2020届山东省九校高三上学期联考)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒 子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟 时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖， 假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖 一次香烟，记香烟为 ，口香糖为 ，进行四次取物， 基本事件总数为： 种 事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖： 种 糖、烟、糖、糖： 种 糖、糖、烟、糖： 种 包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为 故选：D 11、(2018年高考全国Ⅱ卷理数)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机 选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 随机选取两个不同的数，共有C2 =45种方法， 10 因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故所求概 率为 ，故选C． 12、(2020届山东省潍坊市高三上期中)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机 抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表(单位： )：根据样本估计本市 生活垃圾投放情况，下列说法错误的是( ) 厨余垃圾”箱 可回收物”箱 其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A．厨余垃圾投放正确的概率为B．居民生活垃圾投放错误的概率为 C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 【答案】D 【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率 ； 可回收物投放正确的概率 ；其他垃圾投放正确的概率 ． 对A，厨余垃圾投放正确的概率为 ，故A正确； 对B，生活垃圾投放错误有 ，故生活垃圾投放错误的概率为 ，故B正 确； 对 ，该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故C正确． 对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数 ， 可得方差 ，故D错误； 故选：D． 二、多选题 13、(2020届山东省高考模拟)下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86%则下列判断中正确的是( ) A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】ACD 【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误； 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确． 故选：ACD． 14、(2021年铜山开学初模拟)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2张，一次任意取出2张卡片， 则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有 A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色 C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色 【答案】 【解析】：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有： “2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张 为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”， 选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张都不是红色”“2张恰有一张红色”“2 张都为绿色”， 其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥． 故选： ． 15、(2020·辽宁省实验高三期末)下面结论正确的是( ) A．若 ，则事件A与B是互为对立事件 B．若 ，则事件A与B是相互独立事件 C．若事件A与B是互斥事件，则A与 也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与 也是相互独立事件 【答案】BD 【解析】对于A选项，要使 为对立事件，除 还需满足 ，也即 不能同时发生， 所以A选项错误. 对于C选项， 包含于 ，所以 与 不是互斥事件，所以C选项错误. 对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确. 对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.故选：BD 16、(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、 技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( ) A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B．甲的不同的选法种数为15 C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D．乙、丙两名同学都选物理的概率是 【答案】BD 【解析】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误； 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即 种选法，故B正确； 由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 ，故C错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为 ，故乙、丙两名同学都选物理的概率是 ，故D正确； 故选BD. 17、(2020·聊城一中高三模拟)从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从 两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，“从乙袋中模出一个红球”为事件 ， 则 ， ，且 ， 独立； 在A中，2个球都是红球为 ，其概率为 ，A 正确； 在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为 ，B错误； 在C中，2个球中至少有1个红球的概率为 ，C正确； 2个球中恰有1个红球的概率为 ，D正确.故选：ACD． 18、(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个 红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球 是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列 结论中正确的是( ) A． B． C．事件 与事件 相互独立D． ， ， 是两两互斥的事件 【答案】BD 【解析】由题意 ， ， 是两两互斥的事件， ， ，故B正确； ，故A，C不正确； ， ， 是两两互斥的事件，故D正确. 故选：BD． 三、填空题 19、(2020年高考江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概 率是_____. 【答案】 【解析】根据题意可得基本事件数总为 个. 点数和为5的基本事件有 ， ， ， 共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为 . 故答案为： . 20、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)将 随机排成一列，记为 ， ， ， ， ， ，则 是偶数的概率为______ 【答案】 【解析】 由题意，将 随机排成一列，共有 种不同的排法， 其中 为偶数等价于 不全为奇数，且 不全为奇数， 共有 ， 所以所求的概率为 21、(2019年高考全国Ⅱ卷理数)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 ，其中高铁个 数为 ，所以该站所有高铁平均正点率约为 ． 22、(2018年高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选 中2名女生的概率为______________． 【答案】 【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概 率为 ．23、(2020年高考天津)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响， 则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子 概的率为 ， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 故答案为： ； . 24、(2020·浙江温州中学高三3月月考)海面上漂浮着 、 、 、 、 、 、 七个岛屿，岛与岛之 间都没有桥连接，小昊住在 岛，小皓住在 岛.现政府计划在这七个岛之间建造 座桥(每两个岛之间至 多建造一座桥).若 ，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若 ，则桥建完后，小 昊和小皓可以往来的概率为______. 【答案】 【解析】七个岛之间两两连接共可以有 条线路，在这21条线路中若 ，若只建一座桥，则有21种建法，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为 ， 若 ，则桥建完后，小昊和小皓可以往来可以的情况有： 若A岛和B岛连接，其余任选2条线路建桥，共有 种方法， 若A岛和B岛不连接，再选一个岛，与A岛和B岛都连接，再在其他18条线路种选一条建桥，则有 种方法， 若A岛和B岛不连接，再选两个岛，与A岛和B岛连接，共建3座桥，共有 种方法， ∴若 ，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为 ． 故答案为： ， ． 25、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)小明口袋中有3张10元，3张20元(因纸币有编号认定每张纸币不 同)，现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏 出4张，刚好是50元的概率为_______. 【答案】 【解析】超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元， 如果掏出纸币50元，则2张20元，1张10元，或3张10元，1张20元，共有 ； 如果掏出纸币60元，则2张20元，2张10元，或3张20元，共有 ； 如果掏出纸币70元，则3张20元，1张10元，或2张20元，3张10元，共有 ； 如果掏出纸币80元，则3张20元，2张10元，共有 ； 如果掏出纸币90元，则3张20元，3张10元，共有 ； 综上，共有 种.设“如果不放回的掏出4张，刚好是50元”为事件 ，则所有的基本事件的总数为 ， 中含有的基本事件的总数为 ，故 . 所以分别填 . 四、解答题 26、(2020·北师大附中高三期末)甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为 ，乙破译密码 的概率为 .记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. (1)求甲、乙二人都破译密码的概率； (2)求恰有一人破译密码的概率； (3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 【解析】(1)由题意可知 ， ，且事件A，B相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为 ， 所以 ； (2)事件“恰有一人破译密码”可表示为 ，且 ， 互斥 所以 (3)小明同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式 正确解答过程如下 “密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码” 可以表示为 ，且 ， ， 两两互斥 所以 27、(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未 售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直 x 100 x150 方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以 (单位：吨， )表示 下一个销售季度的市场需求量，T (单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． Px120 x (Ⅰ)视 分布在各区间内的频率为相应的概率，求 ； (Ⅱ)将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； (Ⅲ)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值，并以市场需 x100,110 x105 求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如 ，则取 的概率等于市 100,110 ET 场需求量落入 的频率)，求T 的分布列及数学期望 ． 【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得： Px120 P120 x130P130 x140P140 x150 0.030100.025100.01510 0.7． x100,130 T 0.5x0.3130x0.8x39 (Ⅱ)当 时， ， x130,150 T 0.513065 当 时， ． 0.8x39,100 x130 T  所以  65,130 x150 (Ⅲ)由题意及(Ⅱ)可得：x100,110 PT 450.010100.1 T 0.81053945 当 时， ， ； x110,120 PT 530.020100.2 T 0.81153953 当 时， ， ； x120,130 PT 610.030100.3 T 0.81253961 当 时， ， ； x130,150 PT 650.0250.015100.4 T 65 当 时， ， ． 所以T 的分布列为： T 45 53 61 65 P 0.1 0.2 0.3 0.4 ET450.1530.2610.3650.459.4 ∴ 万元． 28、(2020·北京四中高三期末)为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取 了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均 分成 五组，得到频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数； (Ⅱ)若测试数据与成绩之间的关系如下表： 测试数据(单位：米) 成绩 不合格 及格 优秀 根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两 人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率． 【解析】(Ⅰ)由题意可知 ,解得 . 所以此次测试总人数为 . 故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人 (Ⅱ)设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件 . 由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生, 成绩优秀的频率为 , 则估计 . (Ⅲ)记事件 ：第 名男生成绩优秀，其中 .两人中恰有一人成绩优秀可以表示为 ， 因为 相互独立， 相互独立， 所以 ， ， 又因为 互斥， 所以 . 所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为 . 29．(2020·辽宁省实验高三期末)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人 报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一 次报名中，每个学员有 次参加科目二考试的机会(这 次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过， 即进入下一科目考试，或 次都没有通过，则需要重新报名)，其中前 次参加科目二考试免费，若前 次 都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交 元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为 ，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率 均为 ．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为： 通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 元的概率． 【解析】(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第 次通过”记为事件 ，“妻子在科目二考试中第 次通过”为事件 ，则 ， . 设事件 “丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件 “妻子参加科目二考试不需要交补考费”， 事件 “这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则 ， ， ． 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率 ； (2)设事件 “丈夫参加科目二考试需交补考费 元”，事件 “妻子参加科目二考试需交补考费 元”，事件 “这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 元”，则 ， ，． 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 元的概率为 ．