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北京市广渠门中学 2021-2022 学年度第一学期期中考试
初三数学试卷
一、选择题
1. 一元二次方程3x2-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3，-1，-2 B. 3，1，-2 C. 3，-1，2 D. 3，1，-2
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式： （ ， ， 是常数，且a≠0）， 叫二次项，
叫一次项， 是常数项．其中 ， ， 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：3x2-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：3，-1，-2.
故选:A
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确理解一元二次方程各项系数是解题关键．
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一分析即可．
【详解】解：A．是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
B．既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，理解并熟记定义是解答本题的关键．
3. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 中秋节晚上能看到月亮． B. 今天考试小宇能得满分．
C. 早晨的太阳从东方升起． D. 明天气温会升高．【答案】C
【解析】
【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A．是随机事件，故不符合题意；
B．是随机事件，故不符合题意；
C．是必然事件，故符合题意；
D．是随机事件，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件指
在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事
件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法进行计算即可判断．
【详解】解：
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程．
的
5. 如图，△ABC内接于⊙O，若 ，则∠ACB 度数是( )A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB= ∠AOB，代值计算即可．
【详解】解：∵⊙O是 ABC的外接圆，∠AOB＝100°，
△
∴∠ACB= ∠AOB=50°，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，解题的关键是熟练掌握相关
定理．
6. 若一个扇形的半径是 ，且它的弧长是 ，则此扇形的圆心角等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由弧长公式变形可得n= ，代入数据即可求解.
【详解】根据弧长的公式l= ，得n= = =120°，
故选D．【点睛】本题主要考查了弧长的有关计算，熟知弧长公式l= 是解决问题的关键.
7. 如果点M(-2，y)，N(-1，y)在抛物线y=－x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
1 2
A. y＜y B. y＞y C. y≤y D. y≥y．
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣ =1，
∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，
∴y＜y．
1 2
故选A．
8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所
示：
成活率 成活率
移植棵数 成活数 移植棵数 成活数
50 47 1500 1335
270 235 3500 3203
400 369 7000 6335
750 662 14000 12628
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是 ；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活
的概率是 ；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】C【解析】
【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树
苗成活的概率是 ，据此进行判断即可．
【详解】解： 当移植的树数是 1 500时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是
，故错误；
随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成
活的概率是 ，故正确；
若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；
若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的
频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中
趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二、填空题
9. 在平面直角坐标系中，点A(2，﹣3)关于原点对称的点的坐标为______．
【答案】（﹣2,3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，解答即可．
【详解】点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都
互为相反数是解题的关键．
10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是
________°．【答案】105
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一
个满足y＜0的x的值_____．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】写出函数图象x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，1＜x＜3时，y＜0．
故答案为2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
12. 某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额
平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________．
【答案】200（1+x）2=320【解析】
【分析】根据销售额平均每月的增长率为x，先求出9月份销售额(200+200x)万元，10月份(200+200x)+
(200+200x)x=200（1+x）2,然后让10月销售额=320，列方程即可．
【详解】解：设销售额平均每月的增长率为x，
根据题意得200（1+x）2=320．
故答案为200（1+x）2=320．
【点睛】本题考查增长率问题，抓住增加额=前一月销售额×增长率，根据8月份销售额，利用增长率表示
出10月份销售额是解题关键．
13. 如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数
为__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】先根据等腰三角形 的性质求出 的度数，从而可得 的度数，再根据圆的切线的
性质可得 ，最后根据四边形的内角和即可得．
【详解】如图，连接OB
是 的切线， 为切点
，即
在四边形OAPB中，
故答案为： ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质、四边形的内角和公式等知识点，通过作辅助线，
构造一个四边形，并联系到圆的切线的性质是解题关键．
14. 一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球
的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为_．
【答案】
【解析】
【分析】用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：∵袋子中装有6个黑球3个白球，共有9个球，
∴摸到白球的概率为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 在 中， ，点 在线段 上，过点 作 于点 ， 于点
，使得四边形 为正方形，此时 ， ，则阴影部分面积为_________ ．
【答案】6
【解析】【分析】由正方形的性质可得 ，CE＝CF＝BF＝BE，得 AEC∽ ABD，设CE＝CF＝BF＝BE
△ △
＝x，利用相似三角形对应边成比例得到 ，解得AE＝ ，FD＝ ，在Rt AEC
△
中，由勾股定理得 ，求得x的值，进一步即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ，CE＝CF＝BF＝BE，
∴ AEC∽ ABD，
△ △
∴ ，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴ ，
解得AE＝ ，FD＝ ，
在Rt AEC中，由勾股定理得，
△
，
即 ，
解得x＝ ，
∴AE＝ ＝ （cm），FD＝ ＝ （cm），
∴阴影部分面积为 （ ）．
故答案为：6【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
16. 如图，在 中，半径 ， 是半径 上一点，且 ． ， 是 上的两个动点，
， 是 的中点，则 的长的最大值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，此时F是AB的中点，则OF⊥AB，设OF为x，则
DF＝x﹣4，在Rt△BOF中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图所示，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB，
设OF为x，则DF＝x﹣4，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DF＝ AB＝BF＝x﹣4，
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
∵OB＝OC＝6，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
∴OF的长的最大值等于 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，确定点F与点D运动至共
线时，OF长度最大是解题的关键．
三、解答题
17. 解方程： ．
【答案】x= ，x=- ．
1 1
【解析】
【分析】根据配方法即可求解．
【详解】
∴x= ，x=- ．
1 1
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法的运用．
18. 如图，将 绕点 旋转得到 ，且 ， ， 三点在同一条直线上．
求证： 平分 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论．
【详解】解：证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA=BD，∠A=∠BDE，
∴∠A=∠ADB．
∴∠ADB=∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
【点睛】本题考查了切线 的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20. 如图，在⊙O中， ，求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由 证明 再利用同圆半径相等，证明 从而可得结
论.
【详解】解：【点睛】本题考查的是圆的基本性质，两个圆心角，两条弧，两条弦之间的关系，全等三角形的判定与性
质，掌握以上知识是解题的关键.
21. 关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【答案】（1） ；（2）x=0，x=1.
1 2
【解析】
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知 ＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的△值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）由题意，得 ．
△
解得 ．
（2）∵k为负整数，
∴ ．
则方程为 ．
解得 ， ．
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数
结合根的判别式，找出 =4k+5＞0；（2）将k=-1代入原方程，利用因式分解法解方程．
22. 下表是二次函数y＝△ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x … ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … m ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 …
（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ；（2）当x＞0时，y的取值范围是 ；
（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是 ．
【答案】(1)上，（1，－2），2；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，然后可得抛物线的开口方向及顶点坐
标，令x＝−1代入可求得m的值；
（2）根据（1）中所求顶点坐标可得答案；
（3）在y＝x＋n中，将x＝1代入可得y＝1＋n，结合条件可列出关于n的不等式，解不等式可得n的取值
范围．
【详解】解：（1）把点（0，−1），（1，−2）和（2，−1）代入二次函数解析式，
得： ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝x2−2x−1＝（x−1）2−2，
∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，−2），
令x＝−1，代入y＝x2−2x−1可得m＝2，
故答案为上；（1，−2）；2；
（2）∵顶点坐标为（1，−2），
∴当x＞0时，y≥−2，
故答案为y≥−2；
（3）在y＝x＋n中，将x＝1代入可得y＝1＋n，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋n的下方，
∴1＋n＞−2，解得n＞−3，
故答案为n＞−3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
23. 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧
贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．【答案】直径为8mm．
【解析】
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt AOD
中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长． △
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt AOD中，
△
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题
的关键．
24. 在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4，现从中随机抽取一个
（不放回），再从剩下的3个中随机抽取第二个小球．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）计算取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，再由概率
公式求解即可．【小问1详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，
∴取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率为 ．
【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25. 如图，已知 是等边三角形，以 为直径作 ，交 边于点 ，交 边于点 ，作
于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的边长为4，求 的长度．
【答案】（1）见解析；（1）1
【解析】【分析】（1）连接 ，根据等边三角形的性质求出 ，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接 ， ，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形
计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
．
于点 ．
点 在 上，
是 的切线；
（2）解：如图2，连接 ， ，
为 直径，
．
， ．
是等边三角形，
， ．
，
．
．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质以及切线的判定定理，熟记等边三角形的性质以及切线的
判定定理是解此题的关键．
26. 已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b的对称轴；
（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．
①当MN＝2时，求b的值；
②当PM+PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线x 2；（2）①a＝4，b＝4；②1≤b＜5．
【解析】
【分析】（1）利用x＝0和x＝4时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x 2；
（2）①不妨设点M在点N的左侧．由MN＝2，根据对称性可知点M（1，1），点N（3，1）；②根据图像与根的判别式、根与系数的关系即可求解．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
∴对称轴为直线x 2；
（2）①不妨设点M在点N的左侧．
∵对称轴为直线x＝2，MN＝2，
∴点M的坐标为（1，1），点N的坐标为（3，1），
∴x 2，1＝1﹣a+b，
∴a＝4，b＝4；
②1≤b＜5．
∵a＝4，
∴y＝x2﹣4x+b，
过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣4x+b的图象交于不同的两点M、N．
的
∴1＝x2﹣4x+b有两个不同 根，
∴△＝16﹣4b+4＞0，
∴b＜5，
∵x+x＝4，
1 2
∴1≤b＜5．
【点睛】考查知识点：二次函数图象的对称性．对称轴两侧的点到对称轴的距离相等是解题的关键点．
27. 在 中， ， ，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕
点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．（1）依题意补全图1；
（2）探究线段 、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）若 ， ，求 的长（直接写出答案）．
【答案】（1）补全图见解析
（2）AB＝BD+BE．证明过程见解析
（3）BE的长为2或4
【解析】
【分析】（1）根据旋转变换的性质画出图形即可；
（2）只要证明 CAD≌△BAE．推出BE＝CD，可得AB＝BC＝CD+BD＝BD+BE；、
（3）如图2中，△作EH⊥CB交CB的延长线于H．设BE＝x．在Rt EBH中，∠EBH＝60°，推出∠BEH＝
△
30°，可得BH x，EH x，在Rt DEH中，根据勾股定理得到， ，构建方程即
△
可解决问题；
【小问1详解】
解：如图1中，旋转后的图形如图所示．
【小问2详解】
结论：AB＝BD+BE．
理由：∵∠C＝60°，AC＝BC，AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ACB，△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD，
∴AB＝BC＝CD+BD＝BD+BE．
【小问3详解】
如图2中，作EH⊥CB交CB的延长线于H．设BE＝x．
∵AC＝AB＝6，AB＝BD+BE，
∴DB＝6﹣x，
∵△CAD≌△BAE，
∴∠ABE＝∠C＝60°，
在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴BH x，EH x，
在Rt△DEH中，∵ ，DE＝AD＝2 ，DH＝6 x，
∴ ，
解得x＝2或4，
∴BE的长为2或4．
【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角
三角形解决问题，属于常考题型．
28. 在平面直角坐标系 中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两
点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点 中，⊙O的关联点是_______________．
②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都
是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）①P、P，②－ ≤x≤－ 或 ≤x≤ ；（2）－2≤x≤1或2≤x≤2 .
2 3
【解析】
【详解】试题分析：（1）①由题意得，P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由
的值可知 为⊙O的关联点；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P
横坐标范围是－ ≤x≤－ 或 ≤x≤ ；
（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A，AC=1时；当圆
过点 B 时，即可得出.
试题解析：
（1） ，
点 与⊙的最小距离为 ，点 与⊙的最小距离为1，点 与⊙的最小距离为 ，
∴⊙的关联点为 和 ．
②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意；∴ 设点P的坐标为P (x ，-x) ，
当OP=1时，由距离公式可得，OP= ，解得 ，当OP=3时，由距离公式
可得，OP= ， ，解得 ，
∴ 点的横坐标的取值范围为－ ≤x≤－ 或 ≤x≤
（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，
令得x=0得，y=0，
∴A(1，0) ，B (0，1) ，
分析得：
如图1，当圆过点A时，此时CA=3，
∴ 点C坐标为，C ( -2，0)
如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，
∴CD=1 ，
又∵直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，
∴ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，
∴ RT△ACD中，CA= ，
∴ C点坐标为 (1- ，0)
∴ C点的横坐标的取值范围为；-2≤ ≤1- ，
如图3，当圆过点A时，AC=1，
C点坐标为(2，0)
如图4，
当圆过点 B 时，连接 BC ，此时 BC =3，
在 Rt△OCB中，由勾股定理得OC= ， C点坐标为 (2 ，0)．∴ C点的横坐标的取值范围为2≤ ≤2 ；
∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－ ≤ ≤－ 或 ≤ ≤ ．
【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正
确地进行分类讨论是解题的关键.
