文档内容
丰台区 2020－2021 学年度第一学期期中练习
初三数学
2020.11
考生须知：
1、本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间 120分钟．
2、在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4、在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5、考试结束，将本试卷、和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图
形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．
【详解】解：A、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故C选项错误；
D、符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故D选项正确；
故答案选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键．
2. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
3. 将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【详解】解：将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=2（x+2）2-3．
故得到抛物线的解析式为y=2（x+2）2-3．
故选C．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4. 二次函数 的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【详解】A．因为抛物线的开口向下，则 a<0；又因为抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 >0，所以
b>0，故A错误；B．抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c<0，故B错误；
C．抛物线与x轴一个交点为（1，0），则x=1时， ，故C正确；
D．抛物线与x轴有两个交点，则 ，故D错误，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函
数的相关性质是解题的关键.
5. 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监
测半径为 的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在 点，每一个小格的边长为 那
么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格特征结合勾股定理分别求得点P到各点的距离即可判断．
【详解】PG=3，
PN=4，
PH= ，
PM= ，不在监测范围内，
∴能被雷达监测到的最远点为H点，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定
理得出∠D=∠B．
7. 在 中， ．在同一平面内，将 绕点 旋转到 ，若 恰好
落在线段 上，连接 ．则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A、由旋转知 =180º 计算即可，
B、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，由AC=A′C，
∠CAA′=∠CA′A= 计算，可得 ，
C、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º计算即可 ，
D、先求∠BAC=180º-∠ACB-∠B，再求∠CAA′，计算∠BAA′=∠BAC+∠CAA′即可．
【详解】A、∠BAC=180º- ，
由旋转知 ，正确，
B、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，
∴∠CAA′=∠CA′A= ，故 ，不正确，
C、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，正确
D、∵∠BAC=180º-∠ACB-∠B=25º，∠CAA′= ，
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25º+65º=90º，AB⊥AA′，正确
故选择：B．
【点睛】本题考查旋转变换问题，掌握旋转图形的性质，会找旋转角，会利用点B′在AB上，求旋转角，
利用三角形的内角和求∠CAA′，会求两角和证垂直是解题关键．
8. 函数 的自变量 的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数
有下列结论：①函数图象关于 轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当 时， 随 的增大而减小；
④当 时，关于 的方程 有 个实数根．
其中正确的结论个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．
【详解】解：如图：
①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意．
②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．
③如图所示，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故③符合题意．
④如图所示，当-2＜a＜-1时，关于x的方程x2-2|x|-1=a有4个实数根，故④符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：A．
【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．
二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）
9. 在平面直角坐标中，点 关于原对称的点的坐标为_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：点P的坐标是（1，-2），则关于原对称的点的坐标为（-1，2），
故答案为：（-1，2）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x轴对
称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原
点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中 ，则 _______________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆内接四边形的对角和为180°求解即可．
【详解】∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠A=80°，
∴∠C=180°-80°=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，关键是利用圆内接四边形的对角和为180°解答．
11. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与 轴交于点 ，这个二次函数的解析式可以
是_______________________．
【答案】【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0
即可得出结论．
【详解】解：设二次函数 的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数
图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-3是解题的关键．
12. 点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图
案（如图）．这个图案绕点O至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．
【答案】72
【解析】
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【详解】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝ ＝72°．
故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了旋转图形．正确掌握旋转图形的性质是解题的关键．
13. 在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：
… …
… …根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
________________________（结果保留小数点后一位）．
【答案】5.8
【解析】
【分析】根据题意和表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近x=6．
【详解】由表格可知，
当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0，
则关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 5.8（5.6至5.9均
可），
故答案为：5.8．
【点睛】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合要求
的即可，本题答案不唯一．
14. 如图，点P是⊙ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于点C，若 ，PB=6，则PC等于
_____．
【答案】 ．
【解析】
【详解】解：连结CO，∵PC切⊙ 于点C，
∴∠PCO=90°，
∵ ，
∴PO=2OC，
∵PB=6，
∴PO+OB=PO+CO=3CO=6，
∴CO=2，
∴PO=6－2=4，
∵ ，
故答案为 ．
15. 若二次函数 的图象上有两点 ， ____________ ．（填“ ”，
“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线 ，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y随x
的增大而增大．
【详解】∵二次函数 ，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线： ．
∴点A（-3，m）关于对称轴的对称点为（1，m），
∵-1＜0＜1，
∴m＞n．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出
对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 是 的外接圆，则圆心 的坐标为__________________， 的半径为_______________________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点 A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线
x=3，AB的垂直平分线为直线y=x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．
【详解】解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵ ，
∴⊙M的半径为 ．
故答案为（3，3）， ．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
三、解答题解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第
27~28题，每小题7分）
17. 已知二次函数 ．
（1）用配方法将其化为 的形式；（2）求出此二次函数的对称轴和二次函数图象与 轴交点的坐标．
【答案】（1） ；（2）对称轴 ，与 轴的交点的坐标为
【解析】
【分析】（1）看二次项系数为1，找一次项-2x，补常数1，利用公式
即可，
（2）对称轴公式： 计算可求，y轴的交点特征是x=0，让x=0，求出y,写出 轴的交点的坐标即
可．
【详解】解：（1）由题意得，
，
，
，
，
（2）对称轴： ，
令 ，
与 轴的交点的坐标为 ．
【点睛】本题考查用配方法求抛物线的顶点式，对称轴，y轴交点坐标，会用配方法求定点是，会利用对
称轴公式求对称轴，会用y轴上点的特征，求抛物线与y轴的交点是解题关键．
18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：
… …
… …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当 时， 的取值范围．【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）设交点式 ，然后把（0，3）代入求出a，则可得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画出函数图象；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点（-3，0），（1，0），（0，3），
∴设抛物线解析式为 ，
把（0，3）代入得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
即 ；
（2）描点，连线，函数图象如图所示，（3）观察图象，当-3＜x＜1时，函数的图象都在x轴的上方，
∴当y＞0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象与性质．在利用待定系数法求
二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
19. 如图， 为等边三角形，将 边绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连接 ，求
的度数﹒
【答案】
【解析】
【分析】解：由 为等边三角形得 由将 边绕点 顾时针旋转
，由旋转性质得 ，求出 ，由等式的性质得
，求出 ， 即可．
【详解】解： 为等边三角形，
，将 边绕点 顾时针旋转 ，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查角的和差问题，利用等边三角形，与等腰三角形求出，掌握旋转的性质，找出旋转角是
关键．
20. 下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．
已知： ．
求作： 边上的高 ．
作法：如图，
①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点；②作直线 ，交 于点 ，则直线 是线段 的 线；
③以 为圆心， 为半径作 ，与 的延长线交于点 ，连接 ，线段 即为所作的高．
（1）补全尺规作图并填空﹔
（2）判断 为高的依据是 ．
【答案】（1）画图见解析，垂直平分；（2）直径所对的圆周角是直角
【解析】
【分析】（1）利用基本作图可判断PQ垂直平分AC；
（2）根据圆周角定理求解．
【详解】解：②作直线 ，交 于点 ，则直线 是线段 的垂直平分线；
（1）如图，AD为所作；
（2）∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
故答案为垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．
21. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心
在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．
【答案】 分米
【解析】
【分析】连接 过圆心， 为 中点，由垂径定理得 为 中点求出 的
长在 中，由勾股定理 即 解方程即可．
【详解】解：连接
过圆心， 为 中点，
，为 中点，
，
设半径 为分米，则 ，
，
，
在 中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是 分米．
【点睛】本题考查圆的半径问题，掌握垂径定理，与勾股定理，会利用垂径定理求线段的长度，会利用等
量关系用代数式表示线段，会利用勾股定理构造方程，会解方程是解题关键．
22. 如图， 的顶点坐标分别为 ．
（1）请画出 关于点 成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
（2）四边形 的面积为 ．
【答案】（1）画图见解析， ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据中心对称图形的特征即可画出 ，进而可得点 的坐标；（2）易判断四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1） 如图所示：
点 的坐标是 ；
（2）四边形 的面积=4×4= ．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了中心对称作图和四边形面积 的计算，属于常考题型，熟练掌握中心对称图形的特征是
解题关键．
23. 已知二次函数 的图象与 轴有公共点．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求此时二次函数与 轴的交点坐标．
【答案】（1） ；（2） 和
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到 =（-2）2-4（2m-2）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据（1）中的m的取值范围，可△以取m=1，然后由二次函数解析式得到x2-2x=0，由此求得该抛物
线与x轴交点的横坐标．
【详解】解：（1） 二次函数与 轴有公共点（2） 为正整数
令
二次函数与 轴的交点坐标为 和 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，
抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点．
24. 如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽
度 为 拱桥的最高点 到水面 的距离为 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为 ，求水面上涨的高度﹒
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，C点是抛物线的顶点且位于y轴上，A、B点是抛物线与c轴交点，所以抛物线
的对称轴为y轴，得A（-6,0）、B（6,0）、C（0，6）然后设二次函数解析式为 ，，将点B、
C带入解析式解出即可.
（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为 和 ，将其代入解析式求得y值即可.
【详解】解：（1）设二次函数解析式为
由题意得，
解析式为
（2）由题意得，水面宽度的横坐标为 和 ．水面上涨的高度为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含
义是解题的关键
25. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若DE= ，，∠BAC=60°，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE，根据等腰三角形的性质得到
∠ODA=∠OAD，由垂直的定义得到∠AEP=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE=30°，推出AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，根
据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP=90°，
∴∠ODP=∠AEP=90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，
∵AC⊥PE，DE= ，
∴AD=2DE= ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=2BD，
设BD=x，则AB=2x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴
∴BD=2，AB=4，
∴AO=2，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，圆周角定理，含30度角的直角三角
形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．（1）抛物线 的对称轴为 ；
（2）若在抛物线 上有两点 ，且 ，则 的取值范围是 ；
（3）若抛物线的顶点纵坐标 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 或
【解析】
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得抛物线G的对称轴；
（2）根据二次函数的图象和性质，抛物线G上有两点（2，y ），（m，y ），且y ＞y 进而可得m的取
1 2 2 1
值范围；
（2）y=a2x2-2a2x+4=a2(x-1)2-a2+4，根据题意得出，0＜-a2+4＜3，即1＜a2＜4，解不等式组即可求a的取值
范围．
【详解】（1）抛物线G的对称轴为直线 ，
故答案为：1；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
抛物线G上有两点（2，y），（m，y），且y＞y，则m的取值范围是m＞2或m＜0；
1 2 2 1
故答案为：m＞2或m＜0；
（3）y=a2x2-2a2x+4=a2(x-1) 2-a2+4，
∵顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，
∴0＜-a2+4＜3，
∴1＜a2＜4，
设 ，由图象得，当 时， 或
∴a的取值范围为：-2＜a＜-1或1＜a＜2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握
二次函数的性质．
27. 在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
（1）如图1，点 是正方形 内一点， ，你能求出 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
思路二：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数．
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
（2）如图2，若点 是正方形 外一点，要使 ，线段PA，PB，PC应满足怎样的等量
关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA，PB，PC满足的等量关系．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，
∠PBP'=90°，证得PA2+P'P2=AP'2，由△PBP'是等腰直角三角形可得出结论．
【详解】（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，
则△ABP'≌△CBP，AP'=CP=3，BP'=BP=2，∠PBP'=90°
∴∠BPP'=45°，
根据勾股定理得， ，
∵AP=1，
∴AP2+P'P2=1+8=9，
又∵P'A2=32=9，
∴AP2+P'P2=P'A2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
思路二：
将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，
∴P'B=PB=2，P'C=AP=1，∠P'BP=90°，∠APB=∠BP'C，
∴∠BP'P=45°， ，
∵PC=3，P'C=1，
∴P'C2+PP'2=PC2，
∴∠PP'C=90°，
∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°，
∴∠APB=∠BP'C=135°；
（2）线段PA，PB，PC满足的数量关系是PA2+2PB2=PC2．
如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．
则△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，∴∠BPP'=45°，
∵∠APB=45°，
∴∠APP'=∠APB+∠BPP'=45°+45°=90°，
∴PA2+P'P2=AP'2，
又∵△PBP'是等腰直角三角形，
∴PB2+P'B2=2PB2=P'P2，
∴PA2+2PB2=PC2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅
助线是解本题的关键．
28. 对于平面上两点 ，给出如下定义：以点 或 为圆心， 长为半径的圆称为点 的“共径
圆”．点 的“共径圆”的示意图如图所示．
（1）已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的“共径圆”的面积为_______________；
（2）已知点 在以坐标原点为圆心，以 为半径的圆上，点 在直线 上，求点 的“共径
圆”的半径最小值；
（3）已知点 的坐标为 ，点 是 轴及 轴上方的点，如果直线 上存在两个点 ，使得
点 的“共径圆”的面积为 ，直接写出满足条件的 的取值范围．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由点 A、B 的坐标知， 由圆的面积公式得：“共径圆”的面积
πr2=25π；
（2）如下图，当O、A、B三点共线，且OB⊥直线l时，共径圆”的半径最小，即可求解；
（3）设点B的坐标为（x，x+b），设AB之间的距离为r，则πr2=4π，解得r=2（负值已舍去），则
AB=x2+（x+b）2=22=4，满足条件的B点有2个，故△=（2b）2-2×4（b2-4）＞0，进而求解．
【详解】解：（1） 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
由圆的面积公式得：“共径圆”的面积πr2=25π，
故答案为25π；
（2）作OB⊥直线l于B交圆O于点A，此时点 的“共径圆”的半径最小值；
设直线 与 轴交于点 ．
），则ON=OM=4，
等腰直角三角形，点到直线 的距离为
点在 上， 点在直线 上
间的最短距离是
即 的“共径圆”的最小半径是
（3）设点B的坐标为（x，x+b），
设AB之间的距离为r，则πr2=4π，解得r=2（负值已舍去），
则AB=x2+（x+b）2=22=4，
化简得：2x2+2bx+b2-4=0，
∵满足条件的B点有2个，故△=（2b）2-2×4（b2-4）＞0，
解得：
∵点B是x轴及x轴上方的点，故b＞0，
而当b=2时，点B在x轴上，
【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数的性质、根的判别式等，这种新定义类的题目，通常按照题
设的顺序逐次求解，一般比较容易解答．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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