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2024-2025 学年度第一学期期中测试卷
九年级数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对
称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，
中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2. 二次函数 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式 ，顶点坐
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标为 ．由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
【详解】解： 二次函数
顶点坐标为 ．
故选：D．
3. 若 ， ， 为二次函数 图象上的三点，则 ， 的大小关系
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点
的纵坐标越大”即可作答．
【详解】解： 抛物线解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大，
，
∴点 离着对称轴最远，其次是点 ，点 离着对称轴最近，
∴ ．
故选：B．
4. 如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ．当 落
在 上时， 的度数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
由三角形内角和定理可得出 ，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出 ，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
故选：B．
5. 如图， 为⊙ 直径，点 在⊙ 上，如果 ，那么 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理的应用．欲求 的度数，需先求出同弧所对的 的度数；在
中，已知 的度数，即可求得 ，由此得解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
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∴ ；
∴ ．
故选：A．
6. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据 ，配方得 进行作答即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：C．
7. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（
）
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
【答案】B
【解析】
【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出 份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出 份礼物，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
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∴参加聚会的同学有10人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，在 中， ．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边
向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿 向点B以每秒2个单位长度的速度移动．
设运动时间为t，M、C之间的距离为y， 的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（
）
A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键．
根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ， ，
∴y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）
9. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可．
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【详解】解：将抛物线 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ，
故答案为： ．
10. 如图，点A，B，C在 上， ，则 的度数为_______ ．
【答案】110
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．
根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．
【详解】解：∵点 、 、 在 上， ，
，
故答案为：110．
11. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
12. 写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点 ，这个二次函数的解析式可以是________．
（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到 ，与y 轴交于点 ，得到 ，进
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行构造即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线的开口向下，与y 轴交于点 ，
∴ ， ，
∴二次函数可以为： ；
故答案为： （答案不唯一）
13. 已知 ，则代数式 的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本考查了整式的化简求值．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．
由题意知， ，根据 ，代值求解即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
14. 已知抛物线 与直线 相交于点 和点 ，则关于 x 的方程
的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与直线交点问题，方程 的解即为交点的横坐标．
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【详解】∵抛物线 与直线 相交于点 和点 ，
∴关于x的方程 的解为 ，
故答案为： ．
15. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图
为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为 ，开口 宽为 ，这个水容器所能装水的最大深
度是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，先由垂径定理求出 的长，再根
据勾股定理求出 的长，进而可得出 的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作
出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【详解】解：连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，如图所示：
∵ ，
∴ ，
由题意得： ，
在 中，
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，
∴ ，
即水 的最大深度为 ，
故答案为： ．
16. 某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为
小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将5
吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生
产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果
分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都
能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为______________．
【答案】 ①. 2∶3 ②.
【解析】
【分析】设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得
，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为
，进而求解即可得出答案．
【详解】解：设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得： ，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料，
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∵加工时间相同，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的
应用及比例的基本性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共12小题，共86分）
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式
法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
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（1）①以点B为旋转中心，画出将 按顺时针方向旋转 后的 ；
②以原点O为旋转中心，画出将 按逆时针方向旋转 后的 ；
（2）在（1）的条件下， 可以由 绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，
旋转角的度数为 ．
（3） 的外接圆半径长 ．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ， ；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，全等三角形的判定和性质，
三角形外接圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．
（1）①根据旋转的性质作图即可；②根据旋转的性质作图即可；
（2）设旋转中心为M(x,y)，由旋转的性质可知， ， ， ，结合坐标两点
的距离公式，求出 、 值，即可得到旋转中心坐标，过点 作直线 轴，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，证明 ，得到 ，进而得出
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，从而推出 ，即可得到旋转角的度数；
（3）由直角坐标系可知， 是等腰直角三角形，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解
即可．
【小问1详解】
解：①如图， 即为所求作；
②如图， 即为所求作；
【小问2详解】
解：设旋转中心为M(x,y)，
由旋转的性质可知， ， ， ，
由（1）可知， ， ， ， ，
， ，
整理得： ， ，
解得： ， ，
旋转中心坐标为(−3,2)，
如图，过点 作直线 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
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则 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
，即旋转角的度数为 ，
故答案为：(−3,2)， ；
【小问3详解】
解：由直角坐标系可知， 是等腰直角三角形，
的外接圆半径长等于斜边 的一半，
， ，
，
的外接圆半径长是 ．
19. 如图， 是等边三角形 内一点，将线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，连接CD，
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．
（1）求证： ；
（2）连接DE，若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转
的性质三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质知 ， ，由旋转的性质知 ， ，从而
得 ，再证 可得答案；
（2）由 ， 知 为等边三角形，即 ，继而由 ，
得到 ，再利用 即可得解．
【小问1详解】
证明： 是等边三角形，
， ．
线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，
， ．
．
．
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在 和 中，
，
．
【小问2详解】
解： ， ，
为等边三角形．
，
，
．
．
20. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
的
（3）结合函数图象：直接写出当 时， 取值范围．
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【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．
（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；
（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；
（3）根据图象即可求得y的范围；
【小问1详解】
，
该二次函数的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
列表如下，
．． ．．
x -1 0 1 2 3
． ．
．． ．．
0 -3 -4 -3 0
． ．
的图象如图，
【小问3详解】
由图象可知，当 时，y取得最大值，y的最大值为0，
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当 时，y取得最小值，y的最小值为-4，
当 时，y的范围为 ．
21. 已知：如图， 及 外一点P．
求作：直线 ，使 与 相切于点B．
李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线 上方一点）：
作法一（如图1） 作法二（如图2）
①接 ，作线段 的垂直平分线， ①连接 ，交 于点M，过点M作
交 于点 A；②以点 A 为圆心，以 的垂线 ；②以点O为圆心，以 的长
的长为半径作 ， 交 于 为半径作弧，交直线 于点 Q；③连接
点B；③作直线 ，则直线 是 ，交于点B；④作直线 ，则直线
的切线． 是的切线．
证明：如图1，连接 ，∵ 为
直径，∴ ．（________）
证明：……
∴ ，∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线．
请仔细阅读，并完成相应的任务：
（1）“作法一”中的“依据”是指________；
（2）请写出“作法二”的证明过程．
【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
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（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得答案；
（2）由作法可得， ， ，证明 ，得 ，
根据切线的判定方法即可求证．
【小问1详解】
解：由题意得：“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；
【小问2详解】
证明：由作法可得， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线．
【点睛】本题考查了作图-作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 和 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标．
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【答案】（1）
（2）对称轴 为直线 ，顶点为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关
键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）配方成 即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过 和 两点，
，
解得： ，
∴解析式为： ；
【小问2详解】
解： ，
∴对称轴为直线 ，顶点为 ．
23. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，进行作答即可；
（2）由 ，解得， ， ，由该方程恰有一个实数根为非负数，可
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得 ，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
【
小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得， ， ，
∵该方程恰有一个实数根为非负数，
∴ ，解得， ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于
正确的解方程．
的
24. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物 主干长出若干数目的支干，每个支干又长
出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数
【答案】6
【解析】
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得： ，
整理得： ，
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解得： （不合题意，舍去）， ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25. 如图1，线段 及一定点 是线段 上一动点，作直线 ，过点 作 于点 ，已
知 ，设 两点间的距离为 ， 两点间的距离为 ， 两点间的距离为 ．
小明根据学习函数的经验，分别对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的
探究过程：
第一步：按照下表中自变量 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 、 与 的几组对应值．
0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7
0.2 0.4 0.7 1.4 1.8 2.3 2.6 2.7 2.7 2.7
0 1
8 9 9 8 7 7 1 2 6 8
0.0 0.0 0.0 0.2 0.7 1.8 3.0 4.2 5.3 6.4
0 0
8 9 6 9 3 2 3 0 3 1
第二步：在同一平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数
的图象．
解决问题：
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（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数 的图象；
（2）结合函数图象，解决问题：当 中有一个角为 时， 的长度约为______ ．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】本题考查函数图象的画法，根据函数图象获取信息， 直角三角形的性质；
（1）根据表格数据描点，再连线即可绘制函数图象；
（2）当 中有一个角为 时， 或 ，画出直线 ，根据函数图象找到
与函数图象交点即可．
【小问1详解】
解：函数图象如下：
【小问2详解】
解：当 时， ，即 ，由函数图象可得 ；
当 时， ，即 ，由函数图象可得 ；
综上所述， 的长度约为 或 ．
故答案为： 或 ．
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26. 在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在抛物线 上，设抛物线的对称轴
为 ．
（1）当 ， 时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点 在抛物线上，若 ，求 的取值范围及 的取值范围．
【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为 ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．
（1）将 代入 中，可得抛物线与 轴交点的坐标，再根据 可得点
与 关于抛物线的对称轴对称，即 计算即可；
（2）根据 ，可确定出 ， 结合 ，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可
表示为直线 ，进而可确定 的取值范围．
【小问1详解】
解：当 时，抛物线：
当 时， ；
∴ 抛物线与 轴交点的坐标为： ；
∵ ，
∴点 与 关于抛物线的对称轴对称，
∴ ；
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【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， 而 ，
∴ ，即 ，
∵点 ， 在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的取值范围 ．
27. 已知，如图，在 中， ，点D在 的延长线上，点E在CB的延长
线上， ，连接 ，过C作 于F，CF交AB于G，连接 ．
（1）求证： ；
（2）用等式表示 和 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
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（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握知
识点的应用是解题的关键．
（1）由 ，则 ，从而有 ， ，再
根据同角的余角相等即可求证；
（2）在 上截取 ，连接 ， ， ，延长 ， 交于点 ， 交 于点 ，
连接 ，证明 ，得 ， ，证明 ，得
出 ，通过性质证明 ，则 ，然后证明 垂直平分 ，
最后由垂直平分线的性质和线段和差即可求解；
【小问1详解】
证明： ，
，
， ，
；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 ， ， ，延长 ， 交于点 ， 交 于点
，连接 ，
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， ，
，
，
由 ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
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，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
，
，
．
28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于 的部分
关于直线 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 的部分共同构成一个新的函数图象，则这
个新函数叫做原函数关于直线 的“镜面函数”．例如：图①是函数 的图象，则它关于直线
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的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为 ，也可以
写成 ．
（1）在图③中画出函数 关于直线 的“镜面函数”的图象；
（2）函数 关于直线 的“镜面函数”与直线 有三个公共点，直接写出
的值．
【答案】（1）见解析 （2）n的值为 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数 的“镜面函数”的图像即可；
（2）分直线 过“镜面函数”图像与直线 的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为函数 的“镜面函数”的图像．
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【小问2详解】
解：如图，
对于 ，当 时， ，
函数 与 轴的交点坐标为(0,2)；
当直线 经过点 时， ；
此时 关于直线 的“镜面函数”与直线 有三个公共点，
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当直线 与原抛物线只有一个交点时，则有： ，
整理得， ，
此时， ，
解得，
综上，n的值为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称
转化为点的对称，借助图象解题是关键．
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