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北京市师达中学 2023-2024 学年度第二学期开学练习初二数学
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代
表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则AB的长度为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】在Rt ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
△
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学科网（北京）股份有限公司∴AB= =10，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3. 在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组邻边相等 D. 对角线互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：
平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是
平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．
【详解】A、 ，此选项计算错误，不符合题意；
B、 ，此选项计算错误，不符合题意；
C、 ，此选项计算正确，符合题意；
D、 ，此选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，解题的关键是准确利用公式计算．
5. 如图，一根木棍斜靠在与地面 垂直的墙 上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B
端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP= AB=a，即可得出答案．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP= AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6. 如图，正方形ABCD的边长为 ，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE=CO.则
BE的长度为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的性质得到OB=OC= BC=1，OB⊥OC，则OE=2，然后根据勾股定理计算BE的
长．
【详解】∵正方形ABCD的边长为 ，
∴OB=OC= BC= × =1，OB⊥OC，
∵CE=OC，
∴OE=2，
在Rt OBE中，BE= ．
△
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，
互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
7. 对于实数 ，我们规定：用 表示不小于 的最小整数，例如： ， ．现对72
进行如下操作：
．即对72只需进行3次操作后变为
2．类似地：对121只需进行______次操作后变为2．（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件．按照定义的新运算，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴对121只需进行3次操作后变为2．
故选：B．
8. 如图，在 中， ，以 的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在
的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是( )
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以 三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，
分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形
【详解】①以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， 是等腰三角形，
②以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， 就是等腰三角形；
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学科网（北京）股份有限公司③以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， 就是等腰三角形，交 于点 ,
是等腰三角形；；
④作 的垂直平分线交 于点 ， 就是等腰三角形；
⑤作 的垂直平分线交 于 ，则 是等腰三角形；
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学科网（北京）股份有限公司⑥作 的垂直平分线交 于 ，则 和 都是等腰三角形，此情形点 与点 重合与④的情
形重合，共计2个等腰三角形．
综上所述，最多有7个等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 若式子 有意义，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．根据二
次根式的的被开方数大于等于0求解即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
10. 在平面直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点 的坐标是_____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，正确掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．当
两点关于y轴对称时，它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 关于 轴的对称点 的坐标是 ．
故答案为： ．
11. 如图，在 中， ，则 ________．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知 ，再利用两直线平行同旁内角互补可求出 的度数．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行同旁内角互补是解答本题的
关键．
12. 菱形对角线的长分别是6cm和8cm，则周长是_____cm，面积是_____cm2．
【答案】 ①. 20 ②. 24．
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，求出对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，最后
根据周长公式计算即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，∴两条对角线的长的一半分别是3cm和4cm，∴菱
形的边长为 5（cm），∴菱形的周长＝5×4＝20（cm）；
面积 8×6＝24（cm2）．
故答案为20，24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，注意掌握菱形的对角线互相垂直平分及菱形面积的特殊求法，难度一般．
13. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后
成功地连接到网络．他输入的密码是_______．
账号：shu xue le yuan
密码
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单
项式除以单项式的运算，然后问题可求解．
【详解】解： ，
∴他输入的密码是2024；
故答案为：2024．
14. 如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝_____°．
【答案】45
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由
等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°，进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从
而得到答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
又∵三角形ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．
15. 有一根长7cm的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，_______(填“能”或“不能”)放
进去．
【答案】能
【解析】
【分析】根据此长方体木箱的对角线的长与木棒的长比较以确定能不能放入．
【详解】
解：此长方体木箱的对角线长为 =5 ＞7，
∴木棒能放进去．
故答案为能．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用．
16. 如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平分线，若
， 分别是 和 上的动点，求 的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】在 上截取 ，连接 ， ，可证 ，根据全等三角形的性质
可知点 和点 关于 对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ，
是 的平分线，
在 与 中
点 和点 关于 对称，连接 ， 与 交于 点，连接 ，此时 ，
是动点，
也是动点，当 与 垂直时， 最小，即 最小．
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学科网（北京）股份有限公司此时，由面积法得 ．
【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．
三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19-25题每题5分，第26题7
分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：
（1）先化简各式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式计算，然后合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先化简，再求值： ，其中 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值和分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式
的除法法则、减法法则把原式化简，把x的值代入分母有理化计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
19. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知∶如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，O为AC的中点．
求作∶四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法∶①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明∶∴点O为AC的中点，
∴AO=CO．
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学科网（北京）股份有限公司又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴ ABCD为矩形(_________)(填推理的依据)．
【答案】（1）作图如图所示，见解析；（2）对角线互相平分 的四边形是平行四边形， 有一个角是直
角的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．
【详解】（1）如图，矩形ABCD即为所求．
（2）理由：∵点O为AC的中点，
∴AO=CO
又∵DO=BO，
∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵∠ABC=90°，
∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
20. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD（如图所示）的周长，其中边 CD上有水池及建
筑遮挡，没有办法直接测量其长度．
小东经测量得知 AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°．
小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度．
你同意小明的说法吗？若同意，请求出 CD 的长度；若不同意，请说明理由．
【答案】同意，13m
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
的
【分析】直接利用等边三角形 判定方法得到△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案即可．
【详解】解：同意，理由如下：
连接 BD
∵AB=AD=5，∠A=60°
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=5，∠ABD=60°
∵∠ABC=150°
∴∠CBD=∠ABC－∠ABD=150°－60°=90°
在 中，BD=5，BC=12
∴
答：CD的长度为13米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题的
关键．
21. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使
DF=CE，连接AF.
(1)求证:四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
【答案】(1)见解析；(2) OF = .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平
行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF= AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．
【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，
.
∴∠AFC=90°，AB=FE
∵AB=6，DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt AFD中，∠AFD=90°.
∵∠A△DF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt AFC中，∠AFC=90°.
△
∴ .
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
△
∴OF= AC= .
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司22. 问题背景：
在 中， 、 、 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网
格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出 的面积为______；
思维拓展：
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 ， ， ，请利用
图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，则它的面积是______；
探索创新：
（3）若 三边的长分别为 ， ， （m>0，n>0，且m≠n，则这三
角形的面积是_____．（用含 ， 的式子表示）
【答案】（1）3.5；（2）图见解析， ；（3）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及收纳教学面积求法，根据题意正确画出 是解题的关键．
（1）利用恰好能覆盖 的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（2）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积
即可；
（3）根据题目中所给 的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的
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学科网（北京）股份有限公司面积即可．
【详解】解：（1） ，
故答案为：3.5；
（2）∵ ，
∴ 可以看作是两直角边长分别为2和1的直角三角形斜边长，
同理： 可以看作是两直角边长都是2的直角三角形斜边长， 以看作是两直角边长是4和1的直角
三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图 即为所求，
，
故答案为：3；
（3）∵ ，
∴ 可以看作是两直角边长分别为m和 的直角三角形斜边长，
同理： 可以看作是两直角边长分别是 和 的直角三角形斜边长， 可以看作是
两直角边长是 和 的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图 即为所求，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为： ．
23. 如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，
M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；
(2)求∠MPN的度数．
【答案】（1）证明见解析；(2) ∠MPN＝120°.
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接CD、AE,由 ABD和 BCE是等边三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝
∠CBE＝60°，易证 ABE≌△DBC，得AE＝△DC，再由△三角形中位线的性质可证PM＝PN；
（2）如图，设PM△交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易证四边形PFHG为平行四边形，故
∠MPN＝120°.
试题解析：(1)如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM= CD，PN= AE，∵△ABD和 BCE
△
是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.
(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知 ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.
∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°. △
易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.
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学科网（北京）股份有限公司24. 小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式 若能分解成两个一次整式相乘
的形式 ，则当 或 时原多项式的值为0，因此定义 和 为多
项式 的 0 值， 和 的平均值为轴值．例： 或
时 ，则 和 为 的0值，3和 的平均值1为 的轴
值．
（1） 的0值为____________，轴值为____________；
（2）若 的0值只有一个，则 ____________，此时0值与轴值相等；
（3） 的0值为 ，轴值为m，则 ____________，若 的0值与
轴值相等，则 ____________．
【答案】24. 2和 ，0 ；
25. ；
26. 0，9．
【解析】
【分析】（1）把 进行因式分解，即可求解；
（2）根据 的0值只有一个，则 ，即可求解；
（3）根据 ，且0值为 ， ，即可得出结论， 由 的0值与
轴值相等，即可得出 ，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
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学科网（北京）股份有限公司或 时， ，
的0值为 和 ，
又 ，
的轴值为0，
故答案为：2和 ，0 ；
【小问2详解】
解： 的0值只有一个，
，
即 的0值为 ，
又 ，
，
故答案为： ；
【小问3详解】
解： ，
的0值为： 和 ，
，
；
当 的0值与轴值相等，
的0值只有一个，
，
即 时，
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学科网（北京）股份有限公司此时 的0值为 ，轴值为： ，
故答案为：0，9．
【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的
运算．
25. 在 中， ， ，D为 上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋
转 得到线段 ．
（1）如图1，当点D与点B重合时，连接 ，交 于点H，求证： ；
（2）当 时（图2中 ，图3中 ），F为线段 的中点，连接 ．在图
2，图3中任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形．
②猜想 的大小，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）选择图2：①补全图形见解析，②猜想 ．证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ，由旋转的性质得 是等边三角形，即可证明；
（2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想 ．过点 作 于点 ，连接 ，则
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学科网（北京）股份有限公司有 、 和 ，根据题意有 ，由（1）可知 是等边三角形，即可证得
，即可证明猜想．
【小问1详解】
证明， ， ，
，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
是等边三角形．
，
，
则 ；
【小问2详解】
选择图2：
①补全图形如图所示：
②猜想 ．
如图，过点 作 于点 ，连接 ，
则 ，
， ，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司为线段 中点，
，
．
由（1）可知 是等边三角形，
， ，
，
在 利 中，
，
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和
性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等．
26. 在平面直角坐标系中，已知点 ，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点 关于直线l
的轴对称点Q，连接 ，过Q作垂直于y轴的直线与射线 交于点 ，则 称为P点的M中心对称
点．
（1）如图1，当 ， 时Q点坐标为____________， 点坐标为____________；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若P点的M中心对称点为 ， ，则 ____________，P点的坐标为
____________；
（3）在（1）中，在 内部（不含边界）存在点N，使点N到 和 的距离相等，则N点横坐
标n的取值范围是___________．
【答案】（1） ；
（2） 或 ； 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 ， ，先求出点Q的坐标，证明 ，得出
，即 ，得出 ，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，分别作出图形，求出m的值和点P的坐标即可；
（3）连接 ，证明 为 的平分线，根据角平分线的性质可知，点N在 上，求出n的取
值范围即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴直线l为 ，
∵P与Q关系直线l对称，
∴点Q 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：如图，当点M在点 上方时， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
如图，当点M在点 下方时， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
综上分析可知， 或 ，点P的坐标为： 或 ．
故答案为： 或 ； 或 ．
【小问3详解】
解：连接 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
根据解析（1）可知， ，
∴ 平分 ，
∴点N一定在 上，
∴N点横坐标n的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，轴
对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论．
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