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北京市广渠门中学 2023——2024 学年度第一学期期中试题
初三年级数学学科
本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无
效．
一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）
1. 习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技
革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源
车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 9
4. 如图将 绕点A顺时针旋转 到 ，若 ，则 等于（ ）
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A. B. C. D.
5. 如图， 的半径为5，弦 ， 于点 ，则 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一
条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具
有函数关系 ，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A. 14米 B. 12米 C. 11米 D. 10米
7. 是 的二次函数，其对应值如下表：
|… 0 1 2 3 4 …
… 4 0 1 4 9 …
下列叙述不正确的是（ ）
A. 该二次函数的图象的对称轴是直线
B.
的
C. 当 时， 随 增大而增大
D. 图象与 轴有两个公共点
8. 如图，在边长为2的正方形 中，点M在AD边上自A至D运动，点N在 边上自B至A运动，
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M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接 ， 交于点P，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）
9. 点 关于原点对称的点的坐标为_______．
10. 已知 是一元二次方程 的一个根，则另一个根是_________．
11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每
次降价的百分率都为 ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．
12. 如图，平面直角坐标系中， 轴于点B，点A的坐标为 ，将 绕原点O顺时针旋转
得到 ，则 的坐标是_____．
13. 若抛物线 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是
________．
14. 关于 的方程 无实数根，则二次函数 的图象的顶点在第______ 象限．
15. 已知点 在二次函数 的图象上，则 _____________ ．（填
“>”“<”或“=”）
16. 在平面直角坐标系 中，已知二次函数 ，其中 ，下列结论：
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①若这个函数的图象经过点 ，则它必有最大值；
②若这个函数的图象经过第三象限的点P，则必有 ；
③若 ，则方程 必有一根大于1；
④若 ，则当 时，必有y随x的增大而增大．
结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．
二、解答题（共12小题，共68分）
17. 按要求解下列方程．
（1）用因式分解法解： ；
（2）用公式法解： ．
18. 小北同学解方程 的过程如下所示．
解方程： ．
解： 第一步
第二步
， 第三步
（1）小北同学是用___________（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第
___________步开始出现错误．
（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．
19. 若 是关于 的一元二次方程 的根，求 的值．
20. 已知二次函数 的图象经过点 两点．
（1）求b，c的值．
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
21. 已知抛物线 ．
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（1）求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点；
的
（2）若此抛物线与直线 一个交点在 轴上，求 的值．
22. 如图，正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）画出与 关于坐标原点 成中心对称的 ．
（2） 的面积为___________．
（3）将 绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为 ， ， ，则旋转中
心的坐标为___________．
23. 如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针
方向 旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
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的
24. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立 课程，官渡区某
学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长
为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们
进行劳动实践若设菜地的宽AB为x米．
（1） （ ）米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古
巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元
二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程 ，即 的方法．首先构造了
如图1所示的图形，图中的大正方形面积是 ，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，
中间的小正方形面积为 ，所以大正方形的面积又可表示为 ，据此易得原方程的正数解为 ．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程 解法的正确
构图是___________（从序号①②③中选择）．
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（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程 的正
数解（写出必要的思考过程）
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴并比较 ， ， 的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为 ，若 ，求t的取值范围．
27. 已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转 （ ），得到线段CE，联结
BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．
（1）如图，当BE=CE时，求旋转角 的度数；
（2）当旋转角 的大小发生变化时， 的度数是否发生变化?如果变化，请用含 的代数式表示；如
果不变，请求出 的度数；
（3）联结AF，求证： ．
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28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于 的部分关
于直线 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个
新函数叫做原函数关于直线 的“镜面函数”．
例如：图①是函数 的图象，则它关于直线 的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面
函数”的解析式为 ，也可以写成 ．
（1）在图③中画出函数 关于直线 的“镜面函数”的图象．
的
（2）函数 关于直线 “镜面函数”与直线 有三个公共点，求 的值．
的
（3）已知抛物线 ，关于直线 “镜面函数”图像上的两点 ，
，当 ， 时，均满足 ，直接写出 的取值范围．
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