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专题 24 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此
却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴
对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中
高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对
称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即
，进而求得 ，即可求解．
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【详解】解：∵ 为高 上的动点．∴
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形，
∴ ∴
∴ ，∴ 点在射线 上运动，如图所示，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即
∵ ， ， ∴ ∴
在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在 C中， 的面积为 ， ， 平分
，E、F分别为 、 上的动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
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【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，
通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点C作 ，垂足为H，交 于F点，
过F点作 ，垂足为 ，则 为所求的最小值，根据 的面积为 ， ，结
合三角形的面积公式求出 ，即可解答．
【详解】解：如图，过点C作 ，垂足为H，交 于F点，过F点作 ，垂足为 ，则
为所求的最小值，
∵ 是 的平分线，∴ ，∴ 是点C到直线 的最短距离（垂线段最短），
∵ 的面积为 ， ，∴ ，
∵ 的最小值是 ．故选：D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，F为
对角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 交 于一点F，连接 ，根据正方形的对称性得到此时 最小，利用勾股
定理求出 即可．
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【详解】解：如图，连接 交 于一点F，连接 ，
∵四边形 是正方形，∴点A与点C关于 对称，∴ ，
∴ ，此时 最小，
∵正方形 的边长为4，∴ ，∵点E在 上，且 ，
∴ ，即 的最小值为 故答案为： ．
【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上，
，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称
点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，
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，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．
∵菱形ABCD， ，点 ，∴ ， ，
∴ ∴△CDB是等边三角形∴
∵点 是 的中点，∴ ,且BE⊥CD， ∴ 故选：A．
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ，
，点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平行四
边形，可得 ，则 ，作点C关于直线 的对称点M，则
，点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ．
【详解】解： 四边形 是矩形， ， ，
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点M，N分别是 的中点， ， ， ， ，
， ， ，又 ， 四边形 是平行四边形，
， ，
如图，作点C关于直线 的对称点M，连接 ， ，则 ，
当点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
， 的最小值 ，故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，
轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图， 是 的直径，点C、D是 上的点．且 ，
分别与 、 相交于点E，F．若 的半径为5， ，点P是线段 上任意一点，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用圆周角定理得到 ，再证明 ，然后根据垂径定理得， ，作 点
关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，利用两点之间线段最短得到此时 的值最
小，再计算出 ，作 于 ，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三
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角形三边的关系求出 ，从而得到 的最小值．
【详解】解：∵ 是 的直径，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
作 点关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，
∵ ，∴ ，∴由两点之间线段最短可知，此时 的值最小，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵点 和点 关于 对称，∴ ，∴ ，
作 于 ，如图，则 ，则 ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂
径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段 上的一个动点， ，且
，则 的最小值是___．
【答案】
【分析】作点A关于线段 的对称点F，连接 ， 交 于点O，连接 ，过点F作
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，交 的延长线于点H，过点 作 ，交 的延长线于点G，由题意易得
，则有 ，然后可得四边形 是平行四边形，进而可得 ，推出
，勾股定理求出 的长即可得解．
【详解】解：作点A关于线段 的对称点F，连接 ， 交 于点O，连接 ，过点F作
，交 的延长线于点H，过点 作 ，交 的延长线于点G，如图所示：
由轴对称的性质可知： ， ， ，
∴ ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，
当点E与点O重合时，则 的最小值即为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
∴ ，∴即 的最小值为 ；故答案为 ．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，
熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x轴于
另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
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(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 的最小值；
【答案】(1) (2)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，进而得到 的最小
值为 的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 两点，
∴ ，解得： ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，设直线 ，
则： ，解得： ，∴ ，当 时， ，∴ ；
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则： ， ，
∴当 三点共线时， 有最小值为 的长，
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∵ ， ，∴ ，即： 的最小值为： ；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函
数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
A m
m P' P
A
m P
B
n
Q' Q
n B n
Q
B B n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
n
A'
A
A'
B A
n n
D Q
A
B m A m
E P
m B' m A"
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1， ，在 内部有一点P，M、N分别是 、 上的动点，分别作点P关于边
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、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、N，则此时 的周长最小，且顺次连接
O， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边 、 的对称点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 即 周长的的最小值为
∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形．
学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P关于边 、 的对称点 ， ，顺次连
接O， ， ，则 的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D是 的中点，若 ，请用含
有h的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P到顶点B的距
离为10， ，点M、N分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、N，使 在周长最小
的情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出
的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)等边(2) (3)存在，
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【分析】（1）根据对称性，得到 ， ， ，进而得到：
，即可得到 为等边三角形；（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，根据
中垂线的性质，得到 ， ，推出 是含 的直角三角形，用 分别表示
出 ，再利用 ，求出 ，进而求出 的面积．（3）如图，作点 关于 的对称
点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 ， 于点M，N，此时 的周长最小，可以求
出 ，由 推出 最小时， 的值
最大，此时 的面积最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 为等边三角形；故答案为：等边；
（2）解：∵ ， ，点D是 的中点，
∴ ， ， ，
作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，
则： ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
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∴ ；
（3）解：存在；理由如下：如图，以点 为圆心， 为半径画圆，分别作点 关于 ， 的对称点 ，
，则点 ， 在 上，连接 ，分别交 ， 于点 ， ，此时 的周长最小．
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，且 ，∴ ，
过点 作 于 ，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，
∵ 为定值，∴ 最小时， 的值最大，此时 的面积最大，
过点 作 于点 ，则 ，
∴当 时，即O点与Q点重合时， 的值最大，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ∴ ，
此时 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 的最大值 ．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含 的直角三角形、
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隐圆等知识．通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键．
例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图， ，点M、N分别在射线 上，
， 的面积为12，P是直线 上的动点，点P关于 对称的点为 ，点P关于 对称的
点为 ，当点P在直线 上运动时， 的面积最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点O作 交 的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出 ，再根据
轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后利用
三角形的面积公式可得 的面积为 ，可得当点P与点H重合时， 取得最小值， 的面
积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
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∵ ，且 ，∴ ，
∵点P关于 对称的点为 ，点P关于 对称的点为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为 ，
∴ 的面积的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、N分别在边 上，且 ，
点P、Q分别在边 上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证
出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
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根据轴对称的定义可知： ， ，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°， ，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，∴在Rt M′ON′中，M′N′= ．故选：A．
△
【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解
题的关键．
例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是
和 上的两个动点， 为 的中点，则
（1） 的最小值是________；（2）若 ，则 的最小值为________．
【答案】 /
【分析】（1）延长 作点D的关于点A的对称点 ，延长 作点M的关于点C对称点 ，作
，且 ， 即为最小值；
（2）过点E作 于P，可得 ，则 ，故求
的最小值即先求 的最小值．过点E作 ，且 ，可知当D，E， 三点共线时，
最小．利用 ，可求得 ，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：（1）如下图所示，延长 作点D的关于点A的对称点 ，延长 作点M的关于点C对
称点 ，作 ，且 ，
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可得 ，∴ ，∴ 的最小值为 ，
∵ ，且 ，四边形 为矩形，∴四边形 为矩形，
∵ 为 的中点∴ ， ，∴
；
（2）过点E作 于P，∵ ，∴ ，∴ ，
则 ，∴求 的最小值即先求 的最小值．
过点E作 ，且 ，
∴ ，∴当D，E， 三点共线时， 最小．此时 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ．∴ ，解得 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解
题的关键．
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模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
m P P'
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A B'
m
m P' P
B
B
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
，点 为 的中点，点 为 上一点，且 ，点 为 上一动点，连接 ，则
的最大值为________．
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【答案】
【分析】作 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，根据三角形三边关系可得到
，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．
【详解】解：作 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，∴ ，∴
，
当 在同一条直线上时， 有最大值 ，
∵在菱形 中， ，∴ ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵点 为 的中点，∴ 为 的中点，∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，故答案为 ；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边
三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，O为对角线 的
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中点，点P在 边上，且 ，点Q在 边上，连接 与 ，则 的最大值为
____________， 的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q满足使 的值最大，最大值为 的长度，证
明四边形 是矩形可得 ， ， ，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小，
的最小值为 的长度，延长 交 于点G，根据对称的性质可得 ，再根据
，点O是 的中点，可得 ，从而求得 ，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q满足使 的值最大，最大值为 的长度，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ，
∵点O是 的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，过点P作 于点P，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
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②过点O作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小，
的最小值为 的长度，延长 交 于点G，
∵ ，点O是 的中点，∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值为： ，故答案为： ； ．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直
线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|
=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到
∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据
等边三角形的性质即可得到结论．
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【详解】如图，作A关于 的对称点 ，连接 并延长交 延长线于点P，则点P就是使 的
值最大的点， ，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′， ， ，∴ ，
∵AC=BC，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ．故答案为：6
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确
的作出图形是解题的关键．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图， ， 为 上一动点， ，过 作
交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，
则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，
根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
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∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画
出相应图形是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形 的对角线交于点O，点E是直线 上一动点．若
，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点 ，再连接
，运用两点之间线段最短得到 为所求最小值，再运用勾股定理求线段 的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，其与BC的交点即为点E，再作
交AB于点F，∵A与 关于BC对称，∴ ， ，当且仅当 ，O，E
在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时 ，
∵正方形 ，点O为对角线的交点，∴ ，
∵对称，∴ ，∴ ，
在 中， ，故选：D．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中， ，M是对角线BD上的
一个动点， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函
数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
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∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵ ∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2 ．即 的最小值是 ．故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是 的最小值是关键．
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等
边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
【答案】A
【分析】延长 ，则 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当 点与 重合时，
则 三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 ，依题意 ∴ 是等边三角形，
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∵ 是 的中点，∴ ，∵ ，∴
∴ ，∴ ∴ ，
∴四边形 是平行四边形，则 为 的中点，如图所示，
设 的中点分别为 ，则
∴当 点在 上运动时， 在 上运动，当 点与 重合时，即 ，
则 三点共线， 取得最小值，此时 ，
则 ，∴ 到 的距离相等，则 ，
此时 此时 和 的边长都为2，则 最小，
∴ ，∴ ∴ ，
或者如图所示，作点 关于 对称点 ，则 ，则当 三点共线时，
此时 故A选项错误，
根据题意可得 三点共线时， 最小，此时 ，则 ，故B选项正确；
周长等于 ，即当 最小时， 周长最小，
如图所示，作平行四边形 ，连接 ，
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∵ ，则
如图，延长 , ，交于点 ，则 ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
在 与 中， ∴
∴ ∴ ∴
∴ ，则 ，∴ 是直角三角形，
在 中， ∴当 时， 最短，
∵ ∴ 周长的最小值为 ，故C选项正确；
∵ ∴四边形 面积等于
∴当 的面积为0时，取得最小值，此时， 重合， 重合
∴四边形 面积的最小值为 ，故D选项正确，故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当
点与 重合时得出最小值是解题的关键．
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点 是正方形 内部一个动点，且 ，
，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取 ，则 ,证明 得出 ，进而证明
，即可证明 ，得出 ，则当 三点共线时， 取得最小值，
最小值为 的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，取 ，则 ,连接 ，
∵ ， ，
∴点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，
在 中， ，∴ ，
∴ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ ，
当 时，则当 三点共线时， 取得最小值，最小值为 的长，
在 中， ，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与
判定是解题的关键．
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5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分
别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证
FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4， ，
∴BP+PQ的最小值为2 ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅
助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动
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点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最
小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明 ， ，则 ，
，如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小，即四边形
周长最小，作 于 ，则四边形 是矩形， ， ，则 ，
，在 中，由勾股定理得 求出 的值，进而可求最小的周
长．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
在 和 中∵ ，∴ ，
∴ ，同理 ，∴ ，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小，即四边形 周长最小，
作 于 ，
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∴四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴四边形 的周长 ，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出
四边形 周长最小时点 、 的位置关系．
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E在 边上且 ，点P，Q分别是
边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点 ，点A关于 的对称点 ，连接 ，四边形 的周长最小，根
据 ，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点 ，点A关于 的对称点 ，连接 ，四边形
的周长最小，
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∵ ， ，∴ ， ．
∵ ，D是 的中点，∴ 是 的中位线，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 ， ， ，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角
形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形 的周长最小时，P、Q的位置．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距
离 ，已知 ， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ，
则 的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点 作直线
，在根据勾股定理求出线段 的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点 ，此时
，由三角形三边关系可知 ，故当点P运动到 时 最大，过点B作
由勾股定理求出AB的长就是 的最大值，代入计算即可得．
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【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，则点P即为所求点，
过点 作直线 ，
∵ ， ， ，∴ ， ， ，
在 中，根据勾股定理得，∴ ，即PA+PB的最小值是 ；
如图所示，延长AB交MN于点 ，
∵ ， ，∴当点P运动到 点时， 最大，
过点B作 ，则 ， ∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∴ ，即 ，∴ ，故选A．
【点睛】本题考查最短线路问题和勾股定理，解题关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ， 是
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的垂直平分线，分别交 ， 于点E，F，点D是 边的中点，点M是线段 上一动点，则
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接
，由于 是等腰三角形，点D是 边的中点，故 ，再根据三角形的面积公式求出
的长，再根据 是线段 的垂直平分线可知， ，故 的长为 的最小
值，由此即可得出结论．
【详解】连接 ，
∵ ，点D是 边的中点，∴ ，∴ ，解得 ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，∴ ，
∴当点M在线段 上时， 的值最小，∴ 的最小值为 ．故选：A．
10．（2023上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的直径， ，点 在 上，
， 为 的中点， 是直径 上一动点，则 的最小值是 ．
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【答案】
【分析】首先利用在直线 上的同侧有两个点 、 ，在直线 上有到 、 的距离之和最短的点存在，
可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 的交点就
是所要找的点 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
【详解】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，则 点就是所求作的点．
此时 最小，且等于 的长．连接 ， ，
， ，∵ 为 的中点，∴ ，
， ， ，则 ，
又 ，则 ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解题的关键是确定点 的位置．
最短问题，属于中考常考题型．
11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图， ， 在 的同侧， ， ， ，
点 为 的中点，若 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，由 ，可推出 为等
边三角形，再根据三角形三边关系即可推出结论．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
， ， ， ，∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ 为等边三角形， 点 为 的中点， ， ，
∵ ， 的最大值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确作出辅助
线利用三角形的三边关系求解是解题的关键．
12．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 是
的平分线．若P，Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求
的值是解题关键．
根据题意可证 是 边上的高，设点Q关于直线 对称的对称点为 ，可得 ，
根据题意可证点 在 上，当 且C、P、 三点共线时， 有最小值 ，根据等面积
法计算求值即可．
【详解】解：∵ ， 是 的平分线，∴ ，
设点Q关于直线 对称的对称点为 ，连接 ，如图，
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∵ 是 的平分线，∴点 在 上，∴ ，
∴当 且C、P、 三点共线时， 有最小值，即 ，
∵ , ， ， ，
∴ ，解得， ，∴ 的最小值是 ，故答案为： ．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图， ，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧
有一点P，连接BP，CP， ，将 沿BC翻折至同一平面得到 ，连接 ．若
取得最大值时，则 ______．
【答案】12
【分析】如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．求出PH＝2，推出点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换
的性质可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4 ，推出当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的
值最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求
出PM，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．
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∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB BC＝4 ，∵S BCP＝4，∴ 4×PH＝4，∴PH＝2，
△
∴点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，
∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4 ，∴当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，
设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，
∴PM＝4+2＝6，∴S ACP AC×PM 4×6＝12，故答案为：12．
′
△
【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P
的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末） 中， ， ，点P为高 上的一个
动点，连接 ，将射线 绕点A顺时针旋转 ，交过点P与 垂直的直线于点Q，连接 ，则
周长的最小值是______．
【答案】
【分析】以 为边向下作正方形 ，连接 、 ，证明 ，可得 ，
点Q在 上移动，然后根据点D与点E关于 对称可知当点A、Q、E在一条直线上时， 取最
小值，最小值为 的长，利用勾股定理求出 ，进而可得答案．
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【详解】解：如图，以 为边向下作正方形 ，连接 、 ，
由题意知 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 为 的高线，∴ ，∴ ，
∴ ，∴点Q在 上移动，
∵四边形 是正方形，∴点D与点E关于 对称，
∴当点A、Q、E在一条直线上时， 取最小值，最小值为 的长，
∵在等腰直角 中， 为高线， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 周长的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题，作出合适的辅助
线，判断出点Q的运动路径是解题的关键．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形 中，E为 边上一动点（点E，B不
重合），以 为直角边在直线 上方作等腰直角三角形 ， ，连接 ，则在点E的运动
过程中， 周长的最小值是______．
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【答案】
【分析】首先说明点 在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，则点 、 、 在一条直线上，
此时 的最小值即为 的长，即可得出答案．
【详解】解：证明： 四边形 是正方形， ，
， ， ， ，
在 上取点 ，使 ，连接 ，
， ， ，
， ， ， ，
， ，
作点 关于 的对称点 ，则点 、 、 在一条直线上，此时 的最小值即为 的长，
在 中，由勾股定理得 ，
以 、 、 为顶点的三角形周长的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识，确定点 的运动路径是
解题的关键．
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16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体 ， 是
棱 上任意一点， 是侧面对角线 上一点，则 的最小值是________．
【答案】
【分析】将正方形展开，取 及 两个面，过点 作 于点Q， 交 于点P，
此时 取最小值 ，由正方形的性质可得出 ，再利用特殊角的三角函数值即可求出
的长度，此题得解．
【详解】解：将正方形展开，取 及 两个面，过点 作 于点Q， 交 于点
P，此时 取最小值 ．
∵ 为正方形，∴ ．
在 中， ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题、正方形的性质以及特殊角的三角函数值，找出点P、Q的
位置是解题的关键．
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17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连
接 ， ，若 ， ，则 的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点 ，交AC于点F，连接 交AC于点P，则 的最小值为 的
长度；然后求出 和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点 ，交AC于点F，连接 交AC于点P，则 的最小
值为 的长度；
∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中， ， ，∴ ，∴ ，
由对称的性质，得 ， ，∴ ，∴
∵ ， ，∴△BEF是等边三角形，
∴ ，∴ 是直角三角形，
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∴ ，∴ 的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三
角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得 有最小值．
18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ，
，AH是 的平分线， 于点E，点P是直线AB上的一个动点，则 的最小值
是________．
【答案】 /
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则
PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，
OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，
则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB= = ，∴OA= ，∴点O关于AB的对称点F，
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∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA= ，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA= ，∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF= ,
∴PO+PE最小值= ．故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于
AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最
小值=EF的长是解题的关键．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将 CDE沿
CE翻折得 CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交△MC于点
P，则MN+△NP的最小值为________．
【答案】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相
似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，
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由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，
∵AD=CD=2，DE=1，∴CE= = ，∵ CE×DO= CD×DE， ∴DO= ，∴EO= ，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG=2OE= ，GM= DE=1，∴CG= ，
∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，
∴ ，即 ， ∴FG= ，∴MF=1+ = ，∴MN+NP的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，
会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中， ，E，F分别是AD，AB的中点，
的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则 的周长最小值为__________．
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【答案】 ##
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，
从而得到当点F、P、H三点共线时， 的周长最小，最小值为FH+EF，分别求出EF和FH，即可求
解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，
∴ 的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时， 的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，
∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，∴HK=1，∴ ，
∴FH+EF= ，即 的周长最小为 ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点
F、P、H三点共线时， 的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
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21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点 ， ， 在抛物线
上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线 上方的抛物线上求一点 ，使 的面积为 ；
（3）若点 是抛物线对称轴上一动点，当 的值最大时，求 点的坐标；
【答案】（1） ；（2）点P的坐标为（1， ）或（2，1）；（3）（1，2）；（4）存在，
点Q的坐标为（1， ）
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将点C的坐标代入即可求出结论；
（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，连接PC、PB，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点P的坐
标为 ，则点D的坐标为 ，求出PD的长，然后利用三角形的面积列出方程即
可求出结论；（3）根据三角形的三边关系， ＜AC，当A、C、M共线时， =AC，从而
得出当A、C、M共线时， 最大，利用待定系数法求出直线AC的解析式，并求出抛物线的对称
轴，即可求出点M的坐标；
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为 ，
将点C的坐标代入，得 解得：
∴该抛物线的解析式为 ；
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（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，连接PC、PB，
设直线BC的解析式为y=kx＋d 将点B和点C的坐标分别代入，得
解得： ∴直线BC的解析式为
设点P的坐标为 ，则点D的坐标为
∴PD= ∴
∵ 1∴ 解得： ∴点P的坐标为（1， ）或（2，1）；
（3）根据三角形的三边关系， ＜AC，当A、C、M共线时， =AC
∴当A、C、M共线时， 最大
设直线AC的解析式为y=mx＋n 将点A、C的坐标分别代入，得
解得： ∴直线AC的解析式为y=x＋1
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抛物线 的对称轴为直线x= =
将x=1代入y=x＋1中，解得y=2 ∴点M的坐标为（1，2）；
【点睛】此题考查的是抛物线的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次
函数解析式和勾股定理是解题关键．
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝ ， 的图象交于点A、
B．
(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式 的解集：
；
(3)点P是坐标轴上的动点，当 取得最小值时，求点P的坐标．
【答案】(1) ； (2) 或 (3)点P的坐标为 或
【分析】（1）一次函数与反比例函数组成方程组即可求得交点坐标；
（2）根据反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，是反比例函数值大于一次函数值，可得答案；
（3）分两种情况：①点 在 轴上，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，利用轴
对称得出 的最小值为线段 ，进而利用待定系数法求出解析式，即可得出 点坐标；②点 在
轴上，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，利用轴对称得出 的最小值为
线段 ，进而利用待定系数法求出解析式，即可得出 点坐标．
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【详解】（1）解：由题意得： ，解之得： ， ，
、 两点坐标分别为 、 ；
（2）解：由图象得：不等式 的解集为 或 ；
（3）解：分两种情况：①如果点 在 轴上，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 ，
所以 ，即 的最小值为线段 的长度．
设直线 的解析式为 ， ， ，
，解得 ， 直线 的解析式为 ，
当 时， ， 点 的坐标为 ；
②如果点 在 轴上，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 ，
所以 ，即 的最小值为线段 的长度．
设直线 的解析式为 ， ， ，
，解得 ， 直线 的解析式为 ，
当 时， ， 点 的坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称 最短路线问题，待定系数法求一次
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函数解析式，进行分类讨论、利用数形结合以及方程思想是解题的关键．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形 为平行四边形，延长 到点 ，使 ，
且 ．(1)求证：四边形 为菱形；(2)若 是边长为2的等边三角形，点 、 、 分别
在线段 、 、 上运动，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）先根据四边形 为平行四边形的性质和 证明四边形 为平行四边形，再
根据 ，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到 ，进一步说明
的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．
(1)证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，∵ ，∴ ，
又∵点 在 的延长线上，∴ ，∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，∴四边形 为菱形．
(2)解：如图，由菱形对称性得，点 关于 的对称点 在 上，∴ ，
当 、 、 共线时， ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，∴ 的最小值即为平行线间的距离 的长，
∵ 是边长为2的等边三角形，∴在 中， ， ， ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．
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【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，
运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形 中， ，点P在边 上，且不与点B、C重
合，直线 与 的延长线交于点E．
(1)当点P是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线 于点F．
①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；②连接 ，求 周长的最小值；③如图2，
交 于点H，点G是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①见解析； ；②12,；③ ，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到 ，再结合P是 的中点证明 ；
（2）①设 ，在 中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；
②当点 恰好位于对角线 上时， 最小，利用勾股定理计算即可；
③过点 作 ，交 于点M，证明 ，再由
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即可得到 ．
(1)解：如图9-1，在矩形 中， ，
即 ，∴ ．
∵点P是 的中点，∴ ．∴ ．
(2)①证明：如图9-2，在矩形 中， ，
∴ ．由折叠可知 ，∴ ．∴ ．
在矩形 中， ，∵点P是 的中点，∴ ．
由折叠可知 ， ．
设 ，则 ．∴ ．在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，∴ ，即 ．
②解：如图9-3，由折叠可知 ， ．
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∴ ．
由两点之间线段最短可知，当点 恰好位于对角线 上时， 最小．
连接 ，在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
③解： 与 的数量关系是 ．
理由是：如图9-4，由折叠可知 ．
过点 作 ，交 于点M，∵ ，∴ ，
∴ ．∴ ，∴点H是 中点．
∵ ，即 ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．
∵点G为 中点，点H是 中点，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是
作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
25．（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把
直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l
上存在点P，使 的值最小．
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作法：作A点关于直线l的对称点 ，连接 ， 与直线l的交点即为点P．此时 的值最小．
模型应用：
（1）如图2，已知 为等边三角形，高 ， 为 上一动点，D为 的中点．
①当 的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则 的最小值为 ．
模型变式：
（2）如图3所示，某地有块三角形空地 ，已知 ， 是 内一点，连接 后测得
米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 ， 分别是 ， 边上的
任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值．
【答案】（1）①见解析；②8；（2）
【分析】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题，
（1）①根据轴对称的性质点 ， 关于 对称，进而连接 交 于点 即可；
②根据轴对称的性质 ，进而解答即可；（2）分别作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接
， ， ， 交 ， 于点 ， ，连接 ， ，此时 周长的最小值等于 ，利用
轴对称的性质解答即可．解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答．
【详解】（1）①如图所示点 为所求的点：
② ， 关于 对称， ， ，
的最小值 ，故答案为：8；
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（2）如图所示，分别作点 关于 ， 的对称点 ， ，连接 ， ， ， 交 ， 于
点 ， ，连接 ， ，此时 周长的最小值等于 ．
由轴对称性质可得， ， ， ，
，则 为等边三角形，
即 ．即 周长的最小值等于 ．
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