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2015年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（
）
A． B． C． D．
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 ， 分别经过点
，若 ， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．已知双曲线 （ ）的一条渐近线过点（ ），且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）
第1页 | 共5页A． B． C． D．
7．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ， ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰
有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9． 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数
的值为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体
的体积为 ．
11．曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为
．
12．在 的展开式中， 的系数为 ．
13 ． 在 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 . 已 知 的 面 积 为 ，
第2页 | 共5页，则 的值为 ．
14．在等腰梯形 中，已知 。动点 和 分别在线段
和 上，且 ，则 的最小值为 ．
三、解答题
15．已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 内的最大值和最小值．
16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员
名，其中种子选手 名；乙协会的运动员 名，其中种子选手 名。从这 名运动员中随机选择 人
参加比赛。
（Ⅰ）设 为事件“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”，求事件
发生的概率；
（Ⅱ）设 为选出的 人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱柱 中，侧棱 底面
， ， ， ，
第3页 | 共5页，且点 和 分别为 和 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）设 为棱 上的点。若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长。
18．已知数列 满足 （ 为实数，且 ）， ， ， ，且 ，
， 成等差数列。
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， ，求数列 的前 项和．
19．已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一象
限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， ．
（Ⅰ）求直线 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率的取值范围。
第4页 | 共5页20．已知函数 其中 ，且 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，
求证：对于任意的正实数 ，都有 ；
（Ⅲ）若关于 的方程 （ 为实数）有两个正实数根 ，求证： ．
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