文档内容
高三数学考试
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除解析几何外）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数 ， 为z的共轭复数，则 的虚部为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ）．
A．5 B． C． D．
4．黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名．该塔塔身由青灰色
石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1
平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（ ）．
A．8平方米 B．9平方米 C．10平方米 D．11平方米
5．已知 为锐角， ，则 （ ）．A． B． C． D． 或
6．已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，则四棱锥
的体积为（ ）．
A． B． C． D．16
8．已知函数 在 上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．数据 ， ， ， ， 的平均数、中位数都是 ，则（ ）．
A．数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的平均数相等
B．数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的方差相等
C．数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的极差相等
D．数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的中位数相等
10．已知函数 的定义域为R， ，且当 时， ，则
（ ）．A． B．
C． D． 没有极值
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A． 是偶函数
B． 的最小正周期是
C． 的图象关于直线 对称
D．若 ， ， ，则a的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 __________．
13．某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密
码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有__________种可能．（用数字作答）
14．如图，平行六面体 的底面 是菱形， ， ，
，若非零向量 ， 满足 ， ，则 的
最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ，
．
（1）求A；（2）若 的外接圆面积为 ，角B的平分线交 于D，求 的面积，及 与
的面积之比．
16．（15分）已知函数 ．
（1）若 在 上单调递增，求a的取值范围；
（2）若 恒成立，求a的取值范围．
17．（15分）如图，在三棱柱 中， ， ， ，
．
（1）证明：平面 平面 ．
（2）求二面角 的正弦值．
18．（17分）设数列 的前n项和为 ，若 ，且对任意的 ，均有 （k是
常数且 ）成立，则称 为“Ⅱ（k）数列”．
（1）设 为“Ⅱ（1）数列”．
①求 的通项公式；
②若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
（2）是否存在 既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ 数列”？若存在，求出符合条件的 的通
项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽
取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下
来甲有2种选择：①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若 ，则乙贏，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙
抽牌一次；
②直接结束抽牌，记 ，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若 ，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②贏得游戏的概率更大？（结果用含N的
式子表示）
参考公式：若数列 的通项公式为 ，则 的前n项和 ．高三数学考试参考答案
1．C 由 ，得 ，即 ，所以 ．
2．A ， ．
3．B ．
因为 ，所以 ，解得 ．
4．C
由题意可得该塔第一层至第七层的底面面积依次成等差数列，且首项为16，公差为 ，
故该塔顶层的底面面积为 平方米．
5．C
，解得 ．
因为 为锐角，所以 ，
， ．
．
6．A
由题意不妨设 ，因为 是增函数，所以 ，即 ．
，
则 ，即 ，A正确，B错误．
取 ， ，则 ， ， ，C错误．取 ， ，则 ， ， ，D错误．
7．C
过点P作 底面 ，垂足为O，
设E，F分别为 ， 的中点，连接 ， ，则点O在 上．
设 ，因为 ， ，所以 ．
， ，
．
在 中， ，
所以 ，解得 ，所以 ．
故四棱锥 的体积为 ．
8．D
分别作出函数 与函数 的大致图象．
分两种情形：当 时， ，如图1，
图1 图2当 时， 与 的图象有一个交点，符合题意；
当 时， ，如图2，
当 时，要使得 与 的图象只有一个交点，
只需 ，即 ，解得 （ 舍去）．
综上，正实数m的取值范围为 ．
9．AC
设数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 ，数据 ， ， ， 的平均数为
，A正确．
数据 ， ， ， ， 的方差 ，
数据 ， ， ， 的方差 ，
所以数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的方差不一定相等，B错误．
数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的极差相等，C正确．
数据 ， ， ， ， 与数据 ， ， ， 的中位数不一定相等，如数据2，2，5，7，9的平均
数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，D错误．
10．ABD
令 ，得 ，A正确．
令 ，得 ，所以 ， ，
据此类推可得 ，所以 ，B正确．
也满足题意，C错误．令 ， ， ，则 ．
当 时， ．因为当 时， ，所以 ，
即 ， ，所以 是增函数， 没有极值，D正确．
11．BCD
因为 ，所以 是奇函数，A错误．
当 时， ；当 时， ．
又因为 ，
所以 的最小正周期是 ，B正确．
，
所以 的图象关于直线 对称，C正确．
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
， ．
结合对称性，得到 的部分图象如图所示．当 时， ．
由题意可得，当 时， ， ．
， ，
结合 的图象可得， ，解得 ，
则a的取值范围是 ，D正确．
12．5
， ， ．
的图象在点 处的切线方程为 ．
因为该切线过点 ，所以 ，解得 ．
13．36 ．
14．
设 ，则 ．
因为 ，所以 在 上的投影向量 ，
则投影向量的模长 ，
过点 作平面 ，使得 平面 （图略），则点N在平面 内．
设 ，则 等价于 ，
即 ，则 ，所以点M在以 为直径的球面上．又 ， ，
，
所以以 为直径的球的半径 ．
设 的中点为E，则 在 上的投影向量为
，
所以球心E到平面 的距离 ．
因为 ，所以平面 在球E的外部．
的最小值表示球E上的点M到平面 内的点N的距离的最小值，
显然 ．
15．解：（1）在 中， ， ．
因为 ， ，
所以 ，即 ， ．（2分）
因为 ，所以 ，（3分）
即 ，（5分）
所以 ， ．
（2）因为 的外接圆面积为 ，所以 的外接圆半径为3．（7分）
因为 ，所以 ， ．（9分）．（11分）
，
所以 与 的面积之比为 ．（3分）
16．解：（1） ．（1分）
因为 在 上单调递增，所以当 时， ．（3分）
因为 是增函数，所以 ，解得 ．
故a的取值范围为 ．（5分）
（2） ，即 ．（7分）
令 ， ．（9分）
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．（11分）
．（13分）
因为 恒成立，所以 ．
故a的取值范围为 ．（15分）
17．（1）证明：取 的中点O，连接 ， ， ．
四边形 为平行四边形，
又因为 ， ，所以 为等边三角形，
所以 ， ．（1分）
在 中， ， ．因为 ，所以 ．（3分）
因为 ，所以 平面 ．（4分）
因为 平面 ，所以平面 平面 ．（5分）
（2）解：以O为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ．（7分）
， ， ．（8分）
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
，即 ，令 ，得 ．（10分）
，即 ，令 ，得 ．（12分）
，则 ，（14分）
故二面角 的正弦值为 ．（15分）
18．（1）①解：因为 为“Ⅱ（1）数列”，所以 ．
因为 ，所以 ．
当 时， ，得 ．（1分）当 时， ，则 ，
即 ，（3分）
经检验，当 时，满足 ，
所以 对任意的 恒成立， 是首项为2，公比为 的等比数列，
所以 ．（5分）
②证明： ．
，（6分）
，
两式相减得 ，（7分）
所以 ．（8分）
当n为偶数时， ．
当n为奇数时， ．
故 ．（10分）
（2）解：假设存在这样的数列，
由 是“Ⅱ（k）数列”可得 ．
由 是“Ⅱ 数列”可得 ，（11分）
所以 ， ，
即 ，所以 ．（13分）
由 ，令 ，得 ，令 ，得 ．因为 ，所以 ，解得 ，
所以 为2， ，2， ，2， ，…，
的通项公式为 ．（15分）
当n为偶数时， ，解得 ，k为奇数．
当n为奇数时， ，解得 ，k为奇数．（16分）
综上，存在 既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ 数列”，
此时 的通项公式为 ， 且k为奇数．（17分）
19．解：（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．
甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N， ，此时有2种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N， ， ，此时有3种情况；
……
依次类推，甲赢的情况共有 ．（3分）
故甲赢的概率为 ．（4分）
（2）若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．
①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N， ，此时有2种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N， ， ，此时有3种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为 ，乙抽到的纸牌上的数字为N， ，…，1，此时有N种情况．
以上有 种情况．（6分）
②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N， ， ，此时有3种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N， ， ， ，此时有4种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为 ，乙抽到的纸牌上的数字为N， ，…，1，此时有N种情况．
以上有 种情况．（8分）
依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有 种；
……
甲第1次抽到的纸牌上的数字为 时，甲赢的情况有 种；
甲第1次抽到的纸牌上的数字为 时，甲赢的情况有N种．（9分）
甲赢的情况的总数为
．（11分）
故甲赢的概率为 ．（12分）
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为a时，
若甲选择①，则甲赢的概率 ，（14分）
若甲选择②，则甲赢的概率 ．（15分）
令 ，即 ，化简得 ，解得 ．
综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于 时，甲选择②赢得游戏的概率更大．
（17分）
