文档内容
海淀区八年级练习
数 学
考生须知：
1．本试卷共8页，共3道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，
符合题意的选项只有一个．
1．要使二次根式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用6根和8
根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的图像上，则
（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
5．如图， ， 两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点 ，然后测量出 ， 的
中点 ， 的距离，若 ，则 ， 两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页6．一次函数 的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．如图， ， ，点 是射线 上的一个动点， ，垂足为点
，点 为 的中点，则线段 的长的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（
）
A．平均数比16大
B．中位数比众数小
C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小
二、填空题（本大题共18分，每小题3分）
9．在 中，若 ，则 ．
10．如图，数轴上点 ， ， ， 所对应的数分别是 ，1，2，3，若点 对应的
数是 ，则点 落在 之间．（填序号）
试卷第2页，共3页① 和 ② 和 ③ 和
11．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为 ， 的两个正方形所
拼成的．若直角三角形的斜边长为 ，则 的值为 ．
12．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：
项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果
成绩 90 80 90
若按照演讲内容占 ，演讲能力占 ，演讲效果占 ，计算选手的综合成绩，
则该选手的综合成绩为 ．
13．在矩形 中， 的角平分线交 于点 ，连接 ，若 ，
，则线段 的长为 ．
14．已知直线 ，将直线 向上平移5个单位后经过点 ，将直线
向下平移5个单位后经过点 ，那么直线 向 （填“左”或“右”）平
移 个单位后过点 ．
三、解答题（本大题共58分，第15题6分，16~21题，每题4分，22题
~24题，每题5分，25题6分，26题7分）
15．计算：
试卷第3页，共3页(1) ；
(2) ．
16．如图，将平行四边形 的对角线向 向两个方向延长，分别至点 和点 ，
且使得 ，求证：四边形 为平行四边形．
17．已知一次函数 ．
(1)在下图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象；
(2)该一次函数图象与 轴交点坐标为__________．当 时，自变量 的取值范围是
__________．
18．如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画 和 ．
(1)请你在方格纸中找到点 ，补全 ；
试卷第4页，共3页(2)若每个正方形小格的边长为1，请计算线段 的长度并判断 与 的位置关系，
并说明理由．
19．快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如
下表：
型号 长 宽
小号
中号
大号
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为
， ，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节
约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
20．已知一次函数的图像经过点 ， ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若正比例函数 的图像与线段 有公共点，直接写出 的取值范围．
21．如图，在 中， ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
试卷第5页，共3页(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
22．邻边比为 的矩形叫做“黄金矩形”．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．
若要将一张边长为2的正方形纸片 剪出一个以 为边的黄金矩形 ，小
松同学的作法如下：
①作 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ；
②连接 ，作 的角平分线，交 于点 ；
③过点 作 于点 ；
矩形 即为所求．
(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形 是黄金矩形的思路如下：
作 于点 ，连接 ，设 ，
根据角平分线的性质，可知 ．
根据条件，可求得 的长度为__________， 的长度为__________．
在 和 中，由勾股定理可得 ．
由此可列关于 的方程为__________．
解得 __________．
所以 ，矩形 为黄金矩形．
23．甲、乙两名选手参加25米手枪速射资格赛．资格赛规则为每名选手完成60发射
击，得分按整数计．例如： 环计9分，每发最高得10分，满分600分．甲、乙各射
击60发的成绩如下表所示：
得分
频数 6 7 8 9 10
选手
试卷第6页，共3页甲 3 3 21 21
乙 3 3 12 27
已知甲、乙两名选手在资格赛中9分段的详细数据如下：
甲的9分段频数分布表
分组（环） 频数
2
3
2
5
9
根据以上信息，整理分析两名选手得分数据如下：
选手 平均数 中位数 众数
9，
甲
10
乙 9
(1)补全上述表格中的信息；
(2)进入决赛后，资格赛成绩不带入决赛，每名选手最多完成40发，每发按照“击中”
或“脱靶”统计， 环及以上计为击中， 环以下计为脱靶、只有击中才累计环数，
按照总环数高低进行排名．若甲、乙两名选手均进入决赛，请你推断哪位选手更可能
获胜，并说明理由．
24．实数 与 满足 ．
(1)写出 与 的取值范围；
(2)已知 是有理数．
①当 是正整数时，求 的值；
②当 是整数时，将符合条件的 的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第
试卷第7页，共3页11个位置的数．
25．在正方形 中，点 在射线 上，点 在 的延长线上， 为
的角平分线，点 为射线 上一点，且 ．
(1)如图，当点 在线段 上时，补全图形，求证： ；
(2)在（1）的条件下，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
(3)若 ， ，直接写出线段 的长．
26．在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：若存在实数 ， ，
， 使得 且 ，则称点 为以点 和 为端点
的线段的等差点．
(1)若线段 的两个端点坐标分别为 和 ，则下列点是线段 等差点的有
__________；（填写序号即可）
① ；② ；③ ；④ ．
(2)点A， 都在直线 上，已知点A的横坐标为 ， ， ．
①如图1，当 时，线段 的等差点在线段 上，求满足条件的点 的坐标；
试卷第8页，共3页②如图2，点 横坐标为2，以 为对角线构造正方形 ，在正方形 的边
上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段 上存在其中某条线段的等差点，
直接写出 的取值范围__________．
试卷第9页，共3页1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件，求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开
方数是非负数．
2．B
【分析】根据勾股定理求解．
【详解】要构成直角三角形，则第三边平方
∴第三边 ；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
3．D
【分析】利用二次根式的化简逐一判断即可解题．
【详解】解：A. 是最简二次根式，故不正确；
B. 是最简二次根式，故不正确；
C. ，故不正确；
D. ，正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简是解题的关键．
4．A
【分析】根据一次函数图像的增减性即可求解．
【详解】解：函数 在平面直角坐标系 中， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
答案第1页，共2页【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，理解并掌握一次函数图像的性质，增减性是
解题的关键．
5．C
【分析】连接 ，根据三角形的中位线性质得出 ，再代入求出答案即可．
【详解】连接 ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 两点间的距离是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出 是
解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6．A
【分析】根据待定系数法先求出一次函数的解析式，在运用不等式的性质解一元一次不等
式即可求解．
【详解】解：根据题意可知，一次函数 的图像过 ， ，
∴ ，解得， ，
∴一次函数的解析式为 ，
∴解不等式 ，
答案第2页，共2页移项， ，
合并同类项， ，
系数化为 ， ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合，掌握待定系数法求一次函数解
析式，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
7．D
【分析】由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可以得到 ，继而分析可
知当 时， 长最小，此时 的长最小，利用勾股定理计算解题即可．
【详解】解：由题意可知： ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
当 时， 长最小，此时 的长最小，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一
半是解题的关键．
8．D
【分析】根据方差，平均数，众数和中位数的定义进行求解判断即可．
【详解】解：平均数为 ，故A不符合题意；
∵一共有 （人），
∴把年龄按照从小到大排列，中位数为第11名和第12名年龄的平均数，即中位数为
答案第3页，共2页，
∵年龄为15的人数最多，
∴众数为15，
∴中位数与众数相等，故B不符合题意；
∵去年的所有成员都比今年对应成员小一岁，
∴去年的平均数为14岁，
∴去年的方差为
今年
的方差为
，
∴今年方差跟去年方差相同，故C不符合题意；
年龄最大的选手离队，则方差为
，
∴方差变小了，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了求方差，平均数，众数和中位数，熟知相关定义是解题的关键．
9． ## 度
【分析】根据平行四边形对角相等求出 ，再根据 ，即可得到答
案．
【详解】解：如图，
答案第4页，共2页在 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键
10．③
【分析】利用无理数的估算解题即可．
【详解】解： ∵ ，
∴点 落在 和 之间，
故答案为：③．
【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
11．
【分析】根据勾股定理与正方形的面积计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据题意得， ， ，四边形
都是正方形，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查图形与面积的计算方法，掌握勾股定理，正方形的面积计算方法是
解题的关键．
答案第5页，共2页12．
【分析】利用加权平均数的计算方法解题即可．
【详解】解：选手的综合成绩为
故答案为：
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
13．
【分析】先利用勾股定理求出 ，利用矩形的性质和角平分线可以得到
，再利用勾股定理解题即可．
【详解】解：∵ 是矩形，
∴ ，
在 ，
，
又∵ 是 的角平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理进行计
算是解题的关键．
14． 左 4
【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，
从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点 ，列得关于m的方程，
解方程即可．
【详解】已知直线
则该直线向上平移 个单位后对应的解析式为
答案第6页，共2页∵它过点
∴
原直线向下平移 个单位后对应的解析式为
∵它过点
∴
解方程组 得 ，
∴
设它向左平移m个单位后过点
过点
即
解得：
即直线向左平移 个单位后过点 ，
故答案为：左， ．
【点睛】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题
的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，然后合并计算即可；
（2）先运用二次根式的乘除法则计算，然后合并解题即可．
【详解】（1）解：
答案第7页，共2页（2）解：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
16．见解析
【分析】连接 ，与 交于点O，由平行四边形的性质得 ，再证得
，即可得出结论．
【详解】连接 ，与 交于点O．如图所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出
是解题的关键．
17．(1)见解析
(2) ，
【分析】（1）用两点法画图即可；
答案第8页，共2页（2）由（1）可得一次函数图象与 轴交点坐标，根据图形可得当 时，自变量 的取
值范围．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
如图，
（2）∵ 时， ，
∴一次函数图象与 轴交点坐标为 ．
由图象可知，当 时，自变量 的取值范围是 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了两点法画画一次函数图象，一次函数图形与坐标轴的交点，以及利用
图象解不等式，正确画出图象是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2) ， ，理由见解析
【分析】（1）如图所示，取格点D，连接 ，则四边形 即为所求；
答案第9页，共2页（2）利用勾股定理求出 ， ，进而求出 的长，再利用勾股定理的逆定理
证明 ，由平行四边形的性质可得 ，由此可得 ．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解： ，理由如下：
由勾股定理得 ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的性质与判定等等，
灵活运用所学知识是解题的关键．
19．应选择中底面型号的纸箱
【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为 ，进而估算出 ，
由此即可得到答案．
【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：
∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为 ， ，
∴甲、乙两件礼品的边长分别为 ，
∴甲、乙两件礼品的边长之和为 ，
答案第10页，共2页∵ ，
∴ ，
∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，
∵ ，
∴从节约材料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围
是解题的关键．
20．(1)
(2) 或
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）求出正比例函数 的图像过点 ，点 时m的值，结合函数图
像可得答案．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为 ，
∵一次函数的图像经过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：当正比例函数 的图像过点 时，
即 ，
解得： ；
当正比例函数 的图像过点 时，
即 ，
解得： ；
∴若正比例函数 的图像与线段 有公共点， 的取值范围为 或 ．
答案第11页，共2页【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，掌握以上
知识的综合运用是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明 是 的中位线，得到 ，同理可得
，再由 ，得到 ，则四边形 是菱形；
（2）设 交于O，利用三角形中位线定理求出 ，再根据菱形的性质和勾股定
理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
∴ 是 的中位线， ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：设 交于O，
同理可证 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
答案第12页，共2页在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，熟知菱形的
性质与判定定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）作 于点 ，连接 ，设 ，则 ，由角平分线的性质可得
，求出 ，证明 得到
，则 ，勾股定理得到 ，解得
．所以 ，则矩形 为黄金矩形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
答案第13页，共2页（2）证明：作 于点 ，连接 ，
设 ，则 ，
根据角平分线的性质，可知 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，由勾股定理可得 ．
∴ ．
解得 ．
所以 ，
∴矩形 为黄金矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与
判定，垂线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
答案第14页，共2页【分析】（1）根据题目所给信息求出中位数、平均数、众数即可；
（2）题目求的是两位选手的获胜可能性，要用概率来解决此类问题，根据题目信息来计算
即可．
【详解】（1）解：∵每名选手完成60发射击，
∴甲得分为8的频数为： ，
乙得分为9的频数为： ，
∴甲乙射击的图如下所示，
得分
频数 6 7 8 9 10
选手
甲 3 3 12 21 21
乙 3 3 12 15 27
∴甲的中位数为 ，即为频数30、31的平均得分，由上图知，中位数为9；
乙的平均数为 ，众数为频数最大的得分，即为
10；
∴两名选手得分数据如下：
选手 平均数 中位数 众数
9，
甲 8.9 9
10
乙 9 9 10
（2）解：设每位选手射击得分在 环及以上为事件 ，
由题目信息可知，当每位选手完成60发射击时，
甲的得分在 环及以上的频数为 ，乙的得分在 环及以上的频数为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴甲选手更可能获胜．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数、众数以及概率等相关概念，根据题目所给信息计
算是关键．
答案第15页，共2页24．(1)
(2)① 或 ②
【分析】（1）由二次根式有意义的条件解题即可；
（2）①把正整数 的值一次代入，将 是有理数的数值留下即可；②要使 是有理数，
则 为 的整数倍，即可以得到知第3个数 ，第11个数 ，代入求出 的
值．
【详解】（1）解：由题可知：
解得： ;
（2）①∵ 是正整数时，
∴ 可以取 ，
这时b的对应值为： ，
又∵ 是有理数，
∴ 或 ；
②∵ 是有理数，
∴ 的整数倍，
当 是正整数时，则 ，
由①可知第3个数 ，第11个数 ，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的乘法，掌握二次根式的有意义条件
是解题的关键．
25．(1)画图见解析，证明见解析
答案第16页，共2页(2) ，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）先根据题意作图，由正方形的性质可得
，再由角平分线的定义可得 ，
由此证明 得到 ，再由三角形内角和定理和等边对等角得到
，则
（2）如图所示，在 上截取 ，连接 ，证明 ，得到
， ，再证明 ，得到 ，即可得到
；
（3）分图3-1和图3-2两种情况，通过证明 ， ， 之间的数量关系进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，证明如下：
答案第17页，共2页如图所示，在 上截取 ，连接 ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图3-1所示，当点E在 上时，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第18页，共2页由（2）的结论可知 ，
∴ ；
如图3-2所示，当点E在 延长线上时，
在射线 上截取 ，连接 ，
同理可证明 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
答案第19页，共2页【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等
角，平行线的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解
题的关键．
26．(1)①④
(2)① 或 ；② 或 ．
【分析】（1） 的两个端点坐标分别为 和 ，根据定义计算检验即可；
（2）①根据解析式得 ，当 时， ， ，待定系数法确定直线
解析式为 ，联立 ，求解交点即等差点坐标为 ；设点 ，根据
定义求解；
②如图，点 横坐标为2，可知 ， ， ， ，分
别在x轴、直线 上，如图，正方形上两点 的一个等差点为 ，点
位于 时， 取最小值， ；正方形上两点 的一个等差点为
，点 位于 时， 取最大值， ；任取两点连接的线段的等差点不可能
出现在正方形内部，故 ，或， ，所以 或 ．
答案第20页，共2页【详解】（1）解： 的两个端点坐标分别为 和
① ：∵
∴ 是等差点；
② ：∵ 且
∴ 不是等差点；
③ ：∵ ，且
∴ 不是等差点；
④ ：∵ 且
∴ 是等差点．
故答案为①④．
（2）解：①∵点A直线 上，横坐标为 ，
∴
当 时， ，
设直线 解析式为 ，则
，解得 ，
∴直线 解析式为 ，联立 ，得
，解得
∴交点即等差点坐标为 ；
设点 ，则 或 ，解得 或
∴ 或 ；
答案第21页，共2页②如图，点 横坐标为2，以 为对角线构造正方形 ，可知 ，
， ， ，分别在x轴、直线 上，
如图，根据等差点定义知，正方形上两点 的一个等差点为 ，点
位于 时， 取最小值， ， ；
如图，正方形上两点 的一个等差点为 ，点 位于 时， 取最大
值， ；
正方形 的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，
故 ，或 ，即 ，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查正方形性质，一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意
动态问题的多情况分析．
答案第22页，共2页
