文档内容
北京市上地实验学校 2021-2022 学年第一学期期中练习
初二数学
考生须知：
1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间90分钟
2．在试卷和答题纸上准确填写班级名称和姓名．
3．试卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个迭项，符合题意的只有一个．
1. 下列四个图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可；
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直
线两旁的部分能够完全重合．
2. 利用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．
【详解】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线
的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．
3. 图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A. 45° B. 62° C. 73° D. 135°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质解答．
【详解】∵图中的两个三角形全等，且∠1是b与c的夹角，
∴∠1=73°，
故选：C．
【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，确定两个三角形的对应关
系是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】解：点P（2，-1）关于x轴的对称点的坐标为（2，1），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5. 等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55°
【答案】D
【解析】
【分析】分① 角是这个等腰三角形的顶角，② 角是这个等腰三角形的底角两种情况，利用等腰三
角形的定义和三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当 角是这个等腰三角形的顶角时，
则它的底角为 ；
②当 角是这个等腰三角形的底角时，
则它的底角为 ；
综上，它的底角为 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的内角和定理，正确分两种情况讨论是解题关键．
6. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．
下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数
学知识解决实际问题的能力．
7. 若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的边数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．
【详解】解：360°÷60°=6．
故该正多边形的边数为6．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360°．
8. 已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q,M均不与点O重合.在OB上确定点N，使
QN =QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A. 1 个 B. 2个 C. 1或2个 D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况：QM⊥OA和QM不垂直OA，当QM⊥OA时，N有一点；当QM不垂直OA时，N
有两点.故可得解.
【详解】当QM⊥OA时，N有一点，如图所示，
过点Q作QN⊥OB，垂足为N，
∵OP平分∠AOB，QM⊥OA，
∴QM=QN；
当QM不垂直OA时，N有两点，如图所示，在OA，OB上分别截取OM=ON ，连接QM，QN ，
1 1
∵OP平分∠AOB，
∴∠MOQ=∠NOQ
1
在 MOQ和 NOQ中，
1
△ △
∴△MOQ≌△NOQ
1
∴QM=QN ；
1
作∠QN N=∠QN N，则有QN =QN，
1 2 2 1 1 2
∴QM=QN .
2
所以，满足条件的点N的个数为1个或2个.
故选：C.
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等分析．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 五边形的内角和是________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据 边形内角和为 求解即可；
【详解】解：五边形的内角和为
故答案为：
【点睛】本题考查求多边形的内角和；掌握 边形内角和为 是解题关键．
10. 如果等腰三角形的两边长分别为 和 ，那么它的周长是____________．【答案】 或
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，
还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】当2是腰时，2，2，3能组成三角形，
周长=3+2+2=7（cm）；
当3是腰时，3，3，2能够组成三角形，
周长=3+3+2=8（cm），
为
综上所述，周长 7cm或8cm，
故答案为7cm或8cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三
角形．
11. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，
两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于______
【答案】
【解析】
【详解】∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案是： ．
12. 如图．在 中， ， ， 和 的平分线交于 点，过点 作 的平行线交 于 点，交 于点 ，则 的周长为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN
周长转化，求出即可．
【详解】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO＋NO＝MB＋NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM＋MN＋AN＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝10，
故答案为10
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质
是解题的关键．
13. 如图，在 中， ， ， ，垂足为 ．若 ，则 的
长为__．
【答案】3
【解析】
【分析】利用互余计算 ，利用30°角的性质即可即可【详解】解：在 中， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，30°角所对直角边是斜边的一半是解题的
关键．
14. 如图， ， ，垂足分别为 ， ．只需添加一个条件即可证明 ，
这个条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】 或 或 或
【解析】
【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解．
【详解】解：若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
故答案为： 或 或 或 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
15. 如图， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ．则 的大小为________．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据垂直平分线的性质可得 ，然后根
据等腰三角形的性质可得 ，最后根据角的和差求解即可；
【详解】解：∵ ，
∴
∵ 垂直平分
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌
握等腰三角形的性质是解题关键．
16. 已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中 ，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB
边上的E点处，折痕为BD（如图乙），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为______．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得∠BED=∠C，∠A=∠ADE，再由三角形外角的性质可得∠C=2∠A，然后根
据等腰三角形的性质，可得∠ABC=2∠A，再根据三角形内角和定理，可得∠A=36°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠BED=∠C，∠A=∠ADE，
∵∠BED=∠A+∠ADE=2∠A，
∴∠C=2∠A，
∵ ，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°，
∴∠ABC=2∠A=72°．
故答案为：72°
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的折叠等知识，熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的性
质是解题的关键．
三、解答题（本题共 68 分，第 题，每小题 5 分，第 23~26 题，每小题 6 分，第
题，每小题7分）
的
17. 如图，AD是△ABC 外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE
的度数．【答案】55 º
【解析】
【分析】首先根据邻补角的定义求出∠BCA=80º，再根据三角形外角的性质求出∠CAE =30º+80º=110º，然
后再根据角平分线的定义求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠B=30º，∠ACD=100°
∴∠BCA=180º-100º=80º
∠CAE=∠B+∠BCA=30º+80º=110º
AD是△ABC的外角平分线
∴∠DAE= 110º=55º
故答案为55 º
18. 如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：△ABC ≌ △EDB．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】根据平行线的性质易证明∠ABC=∠D，再结合已知条件利用“SAS”即可证明△ABC ≌ △EDB.
【详解】证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠D.
在△ABC和△EDB中，
AB=ED，
∠ABC=∠D，
BC=DB.
∴△ABC≌△EDB（SAS）.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质定理.熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键.
19. 如图，点 在 的 边上，且 ．
（1）作 的平分线 ，交 于点 （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） ；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图的步骤作图即可；
（2）根据等边对等角以及三角形的外角定理可得 ；由（1）可知 ，
从而得出 ，即可证明 ；
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
解： ；理由如下：
∵
∴
在 中∴
∵ 平分
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点；熟练掌握上述基
础知识是解题的关键．
20. 如 图 ， ， ， 与 交 于 点 ， 是 中 点 ． 求 证 ：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明 得出 ，再根据等腰三角形三线合一即可证明
结论；
【详解】证明：∵
∴ 、 是直角三角形
在 和 中
∴
∴∴
∴ 是等腰三角形
又∵ 是 中点
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点；熟练掌握等腰三角形三线合
一的性质是解题的关键．
21. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 中， ．
求作：直线 ，使得直线 将 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边 的垂直平分线 ，与斜边 相交于点D；②作直线 ．所以直线
就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线 是线段 的垂直平分线，点D在直线 上，
∴ ．（_______）（填推理的依据）
∴ _______ __________．
∵ ，
∴ ，
_________．
∴ ．∴ ．（_______）（填推理的依据）
∴ 和 都是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等
角对等边．
【解析】
【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；
（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则
可根据推理过程补充相应的内容即可．
【详解】解：（1）补全的图形如下：
（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DB．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠DCB＝∠DBC．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°−∠DCB，
∠A＝90°−∠DBC．
∴∠ACD＝∠A．
∴DC＝DA．（等角对等边）
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
的
故答案为：线段垂直平分线上 点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关
键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．22. 如图：在等边三角形 中，点 分别是 延长线上的点，且 ．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由等边三角形的性质，利用SAS可证 ≌ ，由全等的性质可得结论.
【详解】证明：∵等边三角形
∴ ， ,
∴
在 和 中，
∴ ≌
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的
关键.
23. 如图， 中， ， 平分 交 于点 ．求证：【答案】见解析
【解析】
【分析】在线段 上取一点 ，使 ；构造 ，可得 ，
，由三角形的外角定理可知 ，从而得出 ，
，故 ，最后根据线段的和差关系即可得出结论；
【详解】证明：如图，在线段 上取一点 ，使 ；
∵ 平分
∴
在 和 中
∴
∴ ，
∵∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角定理等知识点；熟练利用
角平分线构造全等三角形是解题的关键．
24. 如图， ， 分别为 ， 的中点， 于点 ， 于点 ．求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ；由线段中垂线的性质可得 ，即 是等边三角形，然后根据三线
合一的性质即可得出结果；
【详解】解：如图，连接 ；
∵ 、 分别为 ， 的中点，且 ， ；
∴∴ 是等边三角形
∴
∴
【点睛】本题考查了线段中垂线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一等知识点；综合
运用上述知识进行边角转化是解题的关键．
25. 如图，把 纸片折叠，点 落在 处，折痕为 ；
（1）连接 ，可得直线 是线段 的垂直平分线．其理由是________
（2）用等式表示 、 、 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分
（2） ；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据成轴对称图形的性质作答即可；
（2）由轴对称图形的性质可知 ， ；根据等边对等角以及三角形的外角定理即可得出
、 、 之间的数量关系；
【小问1详解】
解：如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
【小问2详解】
解： ；理由如下：
∵ 垂直平分 ；∴ ，
∴ ，
∴
∴
【点睛】本题考查了成轴对称图形的性质、中垂线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角定理等知识
点；熟练运用上述基础知识转化角是解题的关键．
26. 规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形 ；
（2）点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ；
（3）若△ABC边上有一点 ，经过3次“R变换”后的的为 ，则 的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）（-4，3），（-1，0），（-6，0）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用轴对称，平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 即可．
（2）根据轴对称，平移变换的性质点的位置写出坐标即可．
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
【小问1详解】
解：画出△ABC经过1次“R变换”后的图形 ，如下图：【小问2详解】
解：根据题意得：点A（4，5），B（1，2），C（6，2），
∴△ABC关于y轴对称后点A，B，C的对应点的坐标为（-4，5），（-1，2），（-6，2），
∵再向下平移2个单位，
∴点 坐标为（-4，3），点 坐标为（-1，0），点 坐标为（-6，0）；
故答案为：（-4，3），（-1，0），（-6，0）
【小问3详解】
解： 经过1次“R变换”后的坐标为（-a，b-2），
经过2次“R变换”后的坐标为（a，b-4），
经过3次“R变换”后的坐标为（-a，b-6），
即 的坐标为（-a，b-6）．
故答案为：（-a，b-6）
【点睛】本题考查作图——轴对称变换，平移变换，解题的关键是周围轴对称变换，平移变换．
27. 如图，在 中， ， 为边 上的中线，点 在 上，以点 为圆心， 长为
半径画弧，交 的延长线于点 ，点 在 上，且 ，连接 ．（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）若 平分 ，则 与 满足的等量关系为 ．
【答案】（1）见详解；（2）证明见详解；（3）∠BAE+∠ABE=60°．
【解析】
【分析】（1）根据相关作图技巧，依题意补全图形即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AFG，∠EAB=∠GAF，证明△EAB≌△GAF（ASA），得出
BE=FG，证明△EAB≌△EAC（SAS），得出BE=CE，即可得出结论；
（3）由（2）得∠CAE=∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，由全等三角形的性质得出AE=AG，
∠ABE=∠ACE，由等腰三角形的性质得出∠AEG=∠AGE，证出∠AEG=∠EAG=∠AGE，得出△AGE是
等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AEG=60°，由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：
（2）证明：由题意得：AB=AC=AF，
∴∠ABE=∠AFG，
∵∠EAC+∠CAG=∠EAG，∠CAG+∠GAF=∠CAF，∠EAG=∠CAF，
∴∠EAC=∠GAF，
∵AB=AC，AD为边BC上的中线，
∴∠EAC=∠EAB，∴∠EAB=∠GAF，
△EAB和△GAF中， ，
在
∴△EAB≌△GAF（ASA），
∴BE=FG，
在△EAB和△EAC中， ，
∴△EAB≌△EAC（SAS），
∴BE=CE，
∴FG=CE.
（3）由（2）得：∠CAE=∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，
∴AE=AG，∠ABE=∠ACE，
∴∠AEG=∠AGE，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEG=∠CEG，
∴∠AGE=∠CEG，
∴AG∥CE，
∴∠GAC=∠ACE，
∴∠ABE=∠GAC，
∵∠AEG=∠ABE+∠BAE，∠EAG=∠EAC+∠GAC，
∴∠AEG=∠EAG=∠AGE，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AEG=60°，
∴∠BAE+∠ABE=60°.
故答案为：∠BAE+∠ABE=60°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判
定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的线段 及点 ，给出如下定义：
若点 满足 ，则称 为线段 的“轴点”，其中，当 时，称 为线段 的“远轴点”；当 时，称 为线段 的“近轴点”．
（1）如图1，点 ， 的坐标分别为 ， ，则在 ， ， ，
中，线段 的“近轴点”是________．
（2）如图2，点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，且
①若 为线段 的“远轴点”，直接写出点 的横坐标 的取值范围________；
②点 为 轴上的动点（不与点 重合且 ），若 为线段 的“轴点”，当线段 与
的和最小时，求点 的坐标．
【答案】（1） ，
（2）① 或 ；②
【解析】
【分析】1）先画出等边 ， ，再求出点 ， 的坐标，进而可得答案；
（2）①先画出等边 ， ，再求出点 ， 的坐标，进而可得答案；
②先判断出点Q在 与 的垂直平分线的交点处时，线段 与 的和最小，再画出相关图形求解
即可．
【小问1详解】
（1）如图，作等边 ， ，∵点 ， 的坐标分别为 ， ，
∴ ， ，
在Rt 中， ，
∴点 ，
同理可得： ，
当点P在线段 上时，点P是“近轴点”，
∴ 和 是“近轴点”，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
（2）①如图2-1，以 为边作等边 ， ，
设 ，则 ，
∵在Rt 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍负），
∴ ，
∵在等边 中，
∴ ， ，
∴ ，
∴点K的坐标为 ，
同理可得 ，
若P为线段 的“远轴点”，
∴点P的横坐标x的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
②如图2-2，由题意点Q在线段 的垂直平分线上．连接 ， ．∵点Q在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且 时， 的值最小，最小值为线段 的长，
此时点Q就是 的垂直平分线与 轴的交的 ，
∵ ′在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点Q的坐标为 时， 的值最小,
故答案为： ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质， 的特
殊性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思
想解决问题，属于中考压轴题．
