文档内容
2022-2023 学年度第一学期初三年级数学练习 2
考生须知：
1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则t的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. -2 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于t的方程，再求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根为1，
∴
解得：t=3．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右
两边成立的未知数的值是解题的关键．
2. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. 禁止驶入 B. 靠左侧道路行驶
C. 向左和向右转弯 D. 环岛行驶
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形围绕旋转中心旋转180°后，与原来一样的特点判断．【详解】A项正确；B、C、D项旋转180°后，与原图位置不同，所以错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，准确理解概念是解决问题的关键．
3. 用配方法解方程 ，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可．
【详解】解：移项，得 ．
两边同时加9，得 ．
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
4. 将二次函数图象 向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝2x2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y＝2x2﹣1，
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
5. 如图， 为 的直径，点C，D在 上，若 ，则 的度数为（ ）A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补求得 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，根据直
角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握
以上知识是解题的关键．
6. 在公园的O处附近有A，B，C三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建
一座以O为圆心，r为半径的圆形水池．下列r的值（单位：米）可以保证不砍伐A，B，C三棵树的是（
）
A. B. 3 C. D. 1．8
【答案】D
【解析】【分析】根据根据勾股定理分别求出OA， OC， OB，并将最小数值与各选项比较即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知，OA=2，OB= ，OC= ，
∴OB> OC> OA，
∵ ， ， ， ，
∴当半径r= 时，可以保证不砍伐A，B，C三棵树，
故选∶D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，熟练运用勾股
定理计算是解本题的关键．
7. 如图，在 中， ，若M是 边上任意一点，将 绕点A逆时针旋转得到 ，
点M的对应点为点N，连接 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. 平分 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，
∴AB=AC，∠ACN=∠B，AM=AN，故选项A不符合题意；
∴ ，故选项B不符合题意；
∵ ，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACN=∠B，∴∠ACN=∠ACB，
∴ 平分 ，故选项C不符合题意；
∵CN与CM不一定相等，
∴ 不一成立，故故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的
关键．
8. 点 ， 在二次函数 的图象上， ，下列推断正确的是（ ）
①对任意的 ．都有 ；
②对任意的 ，都有
③存在 ， ，满足 ，且 ．
④对于任意的小于1的正实数t，存在 ， ，满足 ，且
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，可
得到①错误；由 ，可得点 ， 关于y轴对称，从而得到②正确；③错误；再
由 ，可得 ，然后根据当点 ， 在y轴两侧时，此可设
点 在y轴左侧，则 在y轴右侧，可得 ，可得④正确，即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象的对称轴为y轴，开口向上，
∴当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，
∴当 时．都有 ，故①错误；∵ ，
∴ ，
∴点 ， 关于y轴对称，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，
当点 ， 在y轴两侧时，此可设点 在y轴左侧，则 在y轴右侧，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即对于任意的小于1的正实数t，存在 ， ，满足 ，且 ，故④正确；
故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 点 关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】点 关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称 的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相
反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
10. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m=_______．
【答案】
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式于0，
∴由△=1﹣4m=0
解得：m= ．
故答案为：
11. 请写出一个开口向下，对称轴为y轴的抛物线的解析式 __________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】对于二次函数 ，开口向下，则 ；对称轴为 轴，则 ，写出一个符合上述条件的二次函数即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ．
抛物线的开口向下，对称轴为 轴，
，且 ，
符合条件的抛物线的解析式可以是 ．
故答案为 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数 中 、 、 的意义是
解决此类题的关键．
12. 如图，等边 的三个顶点均在 上，连接 ， ， ，则 的度数为_______．
【答案】120°##120度
【解析】
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解∶∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=120°．
故答案为：120°
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13. 若二次函数 的图象如图所示，则关于x的方程 的实数根是
________．【答案】 ，
【解析】
【分析】把二次函数 化为顶点式得 ，从而得抛物线的对称轴为直
线 ，抛物线与x轴的一个交点为 ，根据抛物线的对称性解题即可．
【详解】解：∵把二次函数 化为顶点式得 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线与x轴的一个交点为 ，设抛物线与x轴的另一个交点为(m，0)
∴−3+m=−1×2，
∴m=1，
∴关于x的方程 的实数根是 ， ，
为
故答案 ： ， ．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根
据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键．
14. 斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）
焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半
径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．【答案】
【解析】
【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径
CE，求出CD，问题得解．
【详解】解∶如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴ ， CD=DE，
∴CE为直径，∠ECD=45°，
∵AB=5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，
∴CE=5-0.5×2=4，
∵ ，∠ECD=45°，
∴cos∠ECD= ，
∴ （尺），
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
15. 点 ， 在二次函数 的图象上．若 ，则m的取值范围为
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点 ， 都在二次函数 的图象上，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式，解题的关键是根据已知列出关于
m的不等式．
16. 如图，射线 、 互相垂直， ，点 位于射线 的上方，且在线段 的垂直平分线
上，连接 ， ．将线段 绕点 按逆时针方向旋转得到对应线段 ，若点 恰好落在射线
上，则点 到射线 的距离 ______．【答案】
【解析】
【分析】添加辅助线，连接 ，过 点作 交ON与点P．根据旋转的性质，得到
，在 和中， ，根据三角函数和已知线段的长度求出点 到
射线 的距离 ．
【详解】如图所示，连接 ，过 点作 交ON与点P．
∵线段 绕点 按逆时针方向旋转得到对应线段
∴ ，
∴
即
∵点 在线段 的垂直平分线 上∴ ，
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的
线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26
题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
解得 ，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 已知m是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】8
【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，可得 ，再把原式化简，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边
同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键．
19. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线
交于点F，BF=DE，连接FE．
（1）求证：AF=AE；
（2）若正方形ABCD的边长为2，直接写出四边形AFCE的面积．
【答案】（1）见解析 （2）四边形AFCE的面积为4．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，求得∠ABF=90°，根据全等三角
形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ABF与 ADE的面积相等，得到四边形AFCE的面积等于正方形ABCD
的面积，于是得到结论． △ △
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF=90°，
在 ABF与 ADE中， ，
△ △
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
【小问2详解】
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴△ABF与△ADE 的面积相等，
∴四边形AFCE的面积等于正方形ABCD的面积=2×2=4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
20. 下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知： 中， ， 分别是 所对的圆心角和圆周角．
求证： ．
情况一：当圆心O在 的一边上 情况二：当圆心O在 内部
情况三：当圆心O在 外部
时，如图1． 时，如图2．
时，如图3．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】情况一：当圆心O在 的一边上时，如图1，由外角性质得∠AOB=∠B+∠C，再由∠B=∠C即
可得证结论成立；情况二：当圆心O在 内部时，连接CO并延长交 于点D，由情况一知∶∠ACD= ∠AOD，∠BCD= ∠BOD，从而有∠ACB= ∠AOB；情况三：当圆心O在 外部时，由
情况一知∶∠ACD= ∠AOD，∠BCD= ∠BOD，
∴∠ACB=∠BCD−∠ACD = ∠AOB．
【详解】证明∶情况一：当圆心O在 的一边上时，如图1
∵∠AOB是△BOC的一个外角，
∴∠AOB=∠B+∠C，
∵OB= OC，
∴∠B=∠C，
∴∠AOB = 2∠C，
∴∠C= ∠AOB；
情况二：当圆心O在 内部时，连接CO并延长交 于点D，如下图，
∵由情况一知∶∠ACD= ∠AOD，∠BCD= ∠BOD，
∴∠ACB=∠ACD +∠BCD= ∠AOD+ ∠BOD= ∠AOB；
情况三：当圆心O在 外部时，连接CO并延长交00于点D，如下图，∵由情况一知∶∠ACD= ∠AOD，∠BCD= ∠BOD，
∴∠ACB=∠BCD−∠ACD = ∠BOD− ∠AOD = ∠AOB；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的外角性
质是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两根的差为2，求k的值．
【答案】（1）见解析；
（2）1或
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出 ，由偶次方的非负性
可得出 ，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：由（1）知， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵若此方程的两根的差为2，
∴ 或 ，
解得： 或 ；∴k的值为1或 ．
【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当 时，方程有两个实数
根”；（2）牢记求根公式： ．
22. 如图，在 中， ， 为 边上的中线，点E为AD的中点，作点B关于点E的对称
点F，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形， ， ，再根据等腰三角形的
性质可得BD=DC=AF， ，即可证得四边形ADCF是矩形；
(2)设AD=x，则 ，根据勾股定理即可求得AD、BC的长，再根据矩形的性质及勾股定理即可求得
BF的长．
【小问1详解】
证明：如图：连接DF，点E为AD的中点，点B与点F关于点E对称，
，BE=FE，
四边形ABDF为平行四边形，
， ，
，
是等腰三角形，
又 为 边上的中线，
， ，
CD=AF，
四边形ADCF为平行四边形，
四边形 为矩形；
【小问2详解】
解：设AD=BC=x，则 ，
在 中， ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
AD=BC=4，
四边形 为矩形，
，在 中， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出
辅助线是解决本题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，
与抛物线交于另一点D．
（1）求点C和点D的坐标；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于二次函数 的值，直接
写出m的取值范围．
【答案】（1）C（0，3），D(2，3)；
（2）m> ．
【解析】
【分析】（1）令二次函数 中x=0，则y=3，从而求得C（0，3），再令二次函数
中y=0，即可求解点D的坐标；
（2）先求得，当 时， 的值小于3，又由当 时，对于x的每一个值，函数
的值大于二次函数 的值，且 过点（2，2m），从而有
2m≥3，进而即可求解．
【小问1详解】
解∶∵二次函数 的图象与y轴交于点C，
∴令x=0，则y=0+0+3=3，
∴C（0，3），
∵过点C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点D，
∴二次函数 ，令y=3，得 ，
解得x=0，或x=2，
∴D(2，3)；【小问2详解】
解：∵当x=2时， ，则m=
∴当 时， 的值小于3，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于二次函数 的值，且
，
∴m
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及二次函数与
一次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图， 为 的直径，E为 的中点，弦 于点E，连接 并延长交 于点F，连接
．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 的半径为2，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）设 的半径为 ，取 的中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，可得 ，根据E为 的中点，则 ，可得 是等边三角形，得出 ，即可得证；
（2）根据勾股定理求得 的长，根据垂径定理即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
设 的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴
∵E为 的中点，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴ 是等边三角形，
【小问2详解】
解：∵ 的半径为2，
，
∴ ，∵ 为 的直径， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解
题的关键．
25. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形
状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测
量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．
d（米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求所画图象对应的函数表达式；
（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上
的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因
素）．
【答案】（1）见解析；
（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；
（3） ；
（4）公园至少需要准备32米的护栏．【解析】
【分析】（1）根据对应点画图象即可；
（2）由图象可得答案；
（3）利用待定系数法可得关系式；
（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．
【小问1详解】
如图，
【小问2详解】
由图象可得，顶点（1，4），
∴水柱最高点距离湖面的高度是4米；
【小问3详解】
由图象可得，顶点（1，4），
设二次函数的关系式为 ，
把（2，3）代入可得a=-1，
所以 ；
【小问4详解】
当h=0时，即 ，
解得d=-1（舍去）或d=3，
∴正方形的边长为2×（3+1）=8（米），
∴至少需要准备栏杆4×8=32（米），
∴公园至少需要准备32米的护栏．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，点 ．
（1）若此抛物线经过点A时，求a的值；
（2）求此抛物线顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（3）已知 ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）0≤a≤2或a<-1
【解析】
【分析】（1）把 代入 即可求出a的值；
（2）化为顶点式求解即可；
（3）分a≥0和a<0两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：把 代入 ，得
，
∴a= ．
【小问2详解】
解：=
= ，
∴顶点坐标为： ．
【
小问3详解】
解：∵顶点坐标为： ，
∴对称轴是直线x=a．
∵ ，
∴点B在对称轴上．
当a≥0时，如图，要使抛物线与线段 恰有一个公共点，则只需满足： ，
解得-1≤a≤2，
∴当0≤a≤2时，抛物线与线段 恰有一个公共点；
当a<0时，则2-a>2，即点B在过点A与x轴平行的线的上方，
∴直线AB与抛物线不可能相切．
如图，要使抛物线与线段 恰有一个公共点，则只需满足： ，
解得a<-1或a>2，
∴当a<-1时，抛物线与线段 恰有一个公共点；综上可知，当0≤a≤2或a<-1时，抛物线与线段 恰有一个公共点．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一般式化顶点式，二次函数的图象与性质，以及二次
函数与几何综合，数形结合是解（3）的关键．
27. 点E为正方形 的边 延长线上一点．
（1）如图1，当 时，连接 ， ，则 ____________°， _____________．
（2）如图2，将射线 绕着点A逆时针旋转 得到射线 ，作 于点H，在射线
取点M使得 ，连接 ．
①依题意补全图形；
②猜想 的度数，并证明．
【答案】（1） ，（2）①见解析，② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ，根据 ，可得 ，可得 是等腰
直角三角形，则可得 的度数，根据勾股定理求得 ；
（2）①按要求作出图形即可；
②证明 ，可得 在以 为圆心， 长为半径的圆上，则 三点共圆，根据圆周角定理
即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
∵ ，
在 中，
故答案为： ；
【小问2详解】
①如图所示，②如图，过点 作 于点 ，
∵ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ （AAS）,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ 三点共圆，如图，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的性质
与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知 的半径为2，对于点P，直线 和 ，给出如下定义：
若点P关于直线 对称的点在 上或 的内部，则称点P为 关于 的反射点．
（1）已知直线 为 ，
①在点 ， ， 中，是 关于 的反射点有_______________________；②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于 的反射点，则点P的横坐标的最大值为________________．
（2）已知直线 的解析式为 ，
①当 时，若点P为直线 上的动点，且点P为 关于 的反射点，则点P的纵坐标t的取值
范围是___________________；
②点 ， ，若线段 的任意一点都为 关于 的反射点，则k的取值范围是
_____________．
【答案】（1）① ， ，②8
（2）① ≤t- ≤ ，②
【解析】
【分析】（1）①根据题目中的定义，画出图形，进行判断即可；②根据圆的半径，求出圆与x轴的负半轴
交点坐标，并求出这个点过于直线x=3的对称点的坐标，即可解答；
（2）①求出直线l和直线 的交点N坐标，过点N作直线 的垂线，交 于两个点，分别求出
点N到这两个点的距离，即可进行求解；②先求出直线l经过点C时的k值，再求出当点B的对称点在圆
上时，经过点 和（0，2）的直线的表达式，根据两直线互相垂直时，k值互为负倒数，即可进行求解．
【小问1详解】
①如图所示，点 ， ， 关于直线x=3的对称点分别为 ， ， ，∵点 在圆上，点 在园内，
∴ 关于 的反射点有 ， ，
故答案为： ， ．
②如图：
∵ 的半径为2，
∴M（-2，0），N（2，0），
作点M关于直线x=3的对称点，
∵点M到直线x=3的距离为5，
∴点 到直线x=3的距离为5，
∴ （8，0），
∴点P横坐标最大值为8，
故答案为：8．
【小问2详解】
①∵ ，
∴直线l的函数表达式为：y=-x+2，
当 时，y= ，
∴点N（ ），过点N作直线 的垂线，交 于点G和点H，连接OG，
∵OQ= ，OG=2，
∴GQ= ，
∴GQ=HQ= ，
∴GN= ，HN= ，
∵点P和点 关于直线 对称，
∴PN= ，
∴ ≤NP≤ ，
∵点N的纵坐标为 ，
∴ ≤t- ≤ ，解得： ≤t- ≤ ，故答案为： ≤t- ≤ ．
②如下图，当直线l经过点C时，
将点 代入y=kx+2得： ，解得： ，
以点P为圆心，PB长为半径画弧，交 于点 ，过点 作 ⊥x轴于点Q，
∵P（0，2），B（2，2），
∴PB=2，OP=2，
∴ =2， =2，
∴△ 为等边三角形，则∠ ，
∵ =2，
∴ =1，OQ= ，即 ，
将点 代入y=kx+2得： ，解得： ，∵点B和点 关于直线l对称，
∴直线l⊥ ，
∴此时直线l的表达式中 ，
综上：k的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数、轴对称和圆的相关知识，仔细理解题意，明白“反射点”的定义，熟练
掌握圆的相关内容和一次函数的图像和性质是解题的关键．
