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2020-2021 学年北京市海淀区清华附中创新班七年级（下）
期末数学试卷
一、选择题（共20分，每题2分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 医疗废物 B. 中国红十字会
C. 医疗卫生服务机构 D. 国际急救
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A. a≥6 B. ﹣8＜a≤6 C. a＞6 D. a≤﹣8或a≥6
【答案】A
【解析】
【分析】根据解不等式组的方法和题意，可以得到a的取值范围，从而可以解答本题．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵关于x的不等式组 无解，
∴a≥6，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组无解情况是大大小小无解了．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. （﹣x3）2＝x5 B. ＝x
C. （﹣x）2+x＝x3 D. （﹣1+x）2＝x2﹣2x
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂的乘方，二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式法则依次对选项进行运算可得．
【详解】解：（-x3）2=x3×2=x6，∴A符合题意；
=|x|，∴B不符合题意；
（-x）2+x=x2+x，x2与x不是同类项，不能合并，∴C不符合题意；
（-1+x）2=x2-2x+1，∴D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，牢记完全平方公式，熟练掌握
幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式 的化简是解题的关键．
4. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机
器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产
450台机器的时间少1天，列出方程即可．
【详解】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．
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学科网（北京）股份有限公司依题意得： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台
机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．
5. 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列式子一定成立的是（ ）
A. AC⊥BD B. AC＝BD C. OA＝OC D. OA＝OD
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质（对角线性质）逐项判断即可得．
【详解】解： 平行四边形的对角线互相平分，
，
则选项 一定成立，选项 不一定成立，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
6. 如图， 的顶点A，B，C的坐标分别是 ，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，
∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，
∴A到D也应向右移动4个单位长度，
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学科网（北京）股份有限公司∵点A的坐标为(0，1)，
则点D的坐标为(4，1)，
故选:C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．
7. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 间的距离，若 间
的距离调节到60 ，菱形的边长 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得 ，再根据全等的性质可得
，然后根据等边三角形的判定与性质可得 ，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌
握菱形的性质是解题关键．
8. 如图1， 中， ， 为锐角．要在对角线 上找点 ， ，使四边形
为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
【答案】A
【解析】
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由 ，可得 ,即可得 ，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】连接 交于点
甲方案： 四边形 是平行四边形
四边形 为平行四边形．
乙方案：
四边形 是平行四边形
， ，
又
(AAS)
四边形 为平行四边形．
丙方案:
四边形 是平行四边形
， ， ，
又 分别平分
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学科网（北京）股份有限公司， 即
（ASA）
四边形 为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确
的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
9. 如图 ，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN于点 N.则
DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A. a B. a C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN 于点 N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=
，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴ =CD，
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学科网（北京）股份有限公司在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°= a.
故选C.
【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
10. 如图，已知F、E分别是正方形 的边 与 的中点， 与 交于P．则下列结论成立的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE= BC= AB< AE，故A选项错误，不符合题意；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，
同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很
强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（共16分，每题2分）
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
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学科网（北京）股份有限公司12. 要使代数式 有意义，则x的取值范围为 ___．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件得出x的取值范围．
【详解】解：∵要使式子 有意义，
∴x-1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
13. 比较大小： ___ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【分析】比较 与 的大小即可．
【详解】解： ， ，
，
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查实数的大小比较，会用平方法比较实数的大小是解题的关键．
14. 方程 ＝ 的解为x＝___．
【答案】x=-3
【解析】
【分析】观察方程可得最简公分母是：x（x-3），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解
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学科网（北京）股份有限公司答．
【详解】解：方程两边同乘以x（x-3），
得2x=x-3，
解得x=-3．
经检验：x=-3是原方程的解，
故答案为：x=-3．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，
一定注意要验根．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度得到点 ，则点 关于 轴的对称
点 的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的坐标变化规律和关于x轴对称的点的坐标特征即可解决．
【详解】解：∵点A（-1，2）向右平移2个单位得到点B，
∴B（1，2）．
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（1，-2）．
故答案为：（1，-2）
【点睛】本题考查了平移、关于坐标轴对称等知识点，熟知平移时点的坐标变化规律和关于正半轴对称的
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学科网（北京）股份有限公司点的坐标特征是解题的关键．
16. 如图．在 中， ， 平分 ， 于E，若 ，则 的
长为________．
【答案】
【解析】
【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：由题意： 平分 ， 于 ,
， ，
又 为公共边，
，
，
在 中， ，由勾股定理得：
，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定
理进行计算可得．
17. 如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点， ，则GH
的长为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．
【详解】∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，
又∵点F是BE的中点， ，
∴BE=2AF=6，
∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH是 的中位线，
∴GH= BE= ×6=3，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边
上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．
18. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，
连接AE、CE， ADE的面积为3，则BC的长为____________．
△
【答案】5
【解析】
【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知
CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由 ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根
△据BC=BF+CF求解． △
【详解】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，
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学科网（北京）股份有限公司由旋转的性质可知CD=ED，
∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°，
∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°，
∴△CDF≌△EDG，∴CF=EG，
∵S = AD×EG=3，AD=2，
ADE
△
∴EG=3，则CF=EG=3，
依题意得四边形ABFD为矩形，∴BF=AD=2，
∴BC=BF+CF=2+3=5．
故答案为5．
三、解答题（共64分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 代数计算：（1）求值： ；
（2）求值：92+|1﹣ |﹣2﹣1× ；
（3）化简： ；
（4）化简： • ；
（5）求解： ；
（6）求解： ﹣ ＝1．
【答案】（1） ；（2）80；（3） ；（4） ；（5）2＜x＜4；（6）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先分别化简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先分别计算有理数的乘方，化简绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，然后再计算；
的
（3）先计算小括号里面 ，然后计算括号外面的；
（4）先算乘法，然后再算计算；
（5）先分别求每个不等式的解集，然后取两个不等式解集的公共部分作为不等式组的解集；
（6）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
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学科网（北京）股份有限公司（5） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
不等式组的解集为 ；
（6）整理，得： ，
方程左右两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原分式方程的解．
【点睛】本题考查分式的混合运算，二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，解分式方程，掌握分式
混合运算和二次根式混合运算的计算法则，解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题关键．
20. 在图中，先把△ABC向右平移4个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90°得到△ABC ．
1 1 1
（1）画出△ABC ，并标明三个顶点的字母；
1 1 1
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，请说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说
明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用平移变换，旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可．
1 1 1
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所求．
1 1 1
（2）能．△ABC绕点P顺时针旋转90°可以得到△ABC ．
1 1 1
【点睛】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线
的交点，即为旋转中心．
21. 在△ABC中，D为BC边中点，DM，ND分别是∠ADB，∠ADC的内角平分线．
（1）请比较MN与BM+CN的大小关系，并证明；
（2）当∠BAC＝90°时，BM＝2，CN＝ ，求MN的长度．
【答案】（1）BM+CN＞MN，理由见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）如图，延长ND到H，使ND=DH，连接MH，BH，由“SAS”可证△CDN≌△BDH，可得
BH=CN，DH=DN，∠ACB=∠DBH，由线段垂直平分线的性质可得MN=MH，由三角形的三边关系可求解；
（2）先证明∠ABH=90°，在Rt△BHM中，由勾股定理可求MH的长，即可求解．
【详解】解：（1）BM+CN＞MN，
理由如下：如图，延长ND到H，使ND=DH，连接MH，BH，
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学科网（北京）股份有限公司∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△CDN和△BDH中，
，
∴△CDN≌△BDH（SAS），
∴BH=CN，DH=DN，∠ACB=∠DBH，
∵DM，ND分别是∠ADB，∠ADC的内角平分线，
∴∠ADM= ∠ADB，∠ADN= ∠ADC，
∴∠ADM+∠ADN=90°，
∴∠MDN=90°，
∴MH=MN，
在△BMH中，BM+BH＞MH，
∴BM+CN＞MN；
（2）∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠DBH=90°，
∴∠HBM=90°，
∵BM=2，BH=CN= ，
∴MH= =3，
∴MN=MH=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助
线构造全等三角形是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司22. 如图，点E为正方形 外一点， ，将 绕A点逆时针方向旋转 得到
的延长线交 于H点．
（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知 ，求 的长．
【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可
证四边形BE'FE是正方形；
（2）连接 ，利用勾股定理可求 ，再利用勾股定理可求DH的长．
【详解】解：（1）四边形 是正方形，理由如下：
根据旋转：
∵四边形 是正方形
∴∠DAB=90°
∴∠FAE＝∠DAB=90°
∴
∴四边形 是矩形，
又∵
∴矩形 是正方形．
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接
∵ ，
在 中，
∵四边形 是正方形
∴
在 中， ，又 ，
∴ ．
故答案是17．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定
和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23. 在矩形ABCD中，BC＝ CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形
ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动路线长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）欲证明PE=PF，只要证明∠PEF=∠PFE．
（2）连接AC交EF于O，连接PM，PO．首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质
解决问题即可．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC，结合圆心
角的度数计算即可．
【详解】解：（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF=∠PEF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF．
（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．
∵AE∥CF，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠EAO=∠FCO，
∵AE=CF，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵PE=PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE=PF，AD=BC，AE=FC，
∴ED=BF，
由折叠的性质可知ED=EH，所以BF=EH，
∴PE-EH=PF-BF，
∴PB=PH，
∵∠PHM=∠PBM=90°，PM=PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P，M，O共线，
∵PO⊥EF，OE=OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．
∵AB=CD=5，
∴BC= CD= ，
∴BD= ，
.∴∠CBD=30°，
∴∠ABO=∠OAB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOC=120°，OB=OC=5，
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学科网（北京）股份有限公司∴点G运动的路径的长为 = ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换，直角三角形的性质，勾股
定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
四、附加题（共20分）
24. 若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．
（1）100 “方和数”，110 “方和数”；（填写“是”或“不是”）
（2）以下两个判断，正确选项的序号是 ．
①两个“方和数”的和是“方和数”； ②两个“方和数”的积是“方和数”．
【答案】（1）是，不是；（2）②
【解析】
【分析】（1）根据“方和数”的概念计算求解；
（2）①举反例进行分析说明；
②根据方和数的概念，结合完全平方公式进行计算求解．
【详解】解：（1）100=36+64=62+82，
∴100 是“方和数”，
110不能写成两个正整数的平方和的形式，
∴110不是“方和数”，
故答案为：是，不是；
（2）①两个“方和数”的和不一定是“方和数”，
比如：2=12+12，13=22+32，
∴2和13都是“方和数”，但2+13=15，
的
而15不能写成两个正整数 平方和的性质，
∴15不是“方和数”，故①错误；
②设两个方和数分别为m，n，
为
设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d均 正整数），
∴mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad+bc）2，
∴mn是“方和数”，故②正确，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：②．
【点睛】本题属于新定义题目，考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握完全平方公式的结构特点是解题
关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）到x轴、y轴的垂线段PM，PN与坐标轴围成矩形OMPN，当
这个矩形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的2倍时，称点P是“幸福点”，
矩形称为“幸福矩形”．
（1）点P（1，2），P（2，﹣2），P（ ，﹣1）中，是“幸福点”的点为 ；
1 2 3
（2）若“幸福矩形”的面积是 ，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标：
．
【答案】（1）P；（2）（-4， ）或（ ，4）
2
【解析】
【分析】（1）根据“幸福矩形”的意义直接判断即可得出结果；
（2）根据“幸福矩形”的意义和矩形面积建立方程即可得出结果．
【详解】解：（1）∵P（1，2），
1
∴（1+2）×2=6，1×2×2=4，
∵6≠4，
∴点P（1，2）不是“幸福点”，
1
∵P（2，-2），
2
∴（2+2）×2=8，2×2×2=8，
∴点P（1，2）是“幸福点”，
2
∵P（ ，-1），
3
∴（ +1）×2=3， ×1×2=1，
∴P（ ，-1）不是“幸福点”，
3
故答案为：P；
2
（2）设“幸福点”的坐标为（a，b），
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学科网（北京）股份有限公司∵“幸福矩形”的面积是 ，且“幸福点”位于第二象限，
∴（-a+b）×2= ×2，-ab= ，
解得：a=-4，b= 或a= ，b=4，
故答案为：（-4， ）或（ ，4）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的周长、面积的计算方法及理解新定义和应用新定义的能力，关键
是理解新定义，用方程的思想解决问题．
26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，将纸片折叠，使点D与
点P重合，得折痕EF（点E，F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x＝0时，折痕EF的长为 ；
（2）使四边形EPFD为菱形的x的取值范围是 ．
【答案】（1）3；（2）1≤x≤3
【解析】
【分析】（1）当x=0时，折痕EF的长正好等于矩形的长为3，当点E与点A重合时，画出符合要求的图
形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=2时，四边形EPFD为菱形的x，AE=2-x，利用勾股定理得
出答案．
【详解】解（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
故答案为：3．
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长．
当点E与点A重合时，
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学科网（北京）股份有限公司∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DEF=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF= ，
∴折痕EF的长为 ，
EF最长为 ，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，
∴1≤x≤3．
【点睛】此题主要考查了折叠前后对应关系和勾股定理的应用，根据已知条件得出对应线段与对应角之间
的关系是解决问题的关键．
27. 如图，C是线段AB上一个动点，且△ACD，△BCE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，
AB＝4，设AC＝x．
（1）BN＝ （用含x的代数式表示）；
（2）线段MN的最小值为 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ，即可求解．
（2）首先证明 ，利用勾股定理可得 ，即可求解．
【详解】解：（1） ， ，
，
是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司，
是 中点，
，
故答案为： ；
（2）连接 ，
和 为等边三角形，
， ， ，
，
是 的中点，
， ，
，
， ．
， ，
，
当 时， 的值最小为 ，
故答案为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，利用 表示 的长是解
题的关键．
28. 在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接
EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 ；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则 ＝ ．
【答案】① ；②
【解析】
【分析】①过 作 于 ，先证明 是等边三角形，求出 长度，再证明 ，
从而在 中，求出 ，即得 ，在 中，求出 和 ，可得
， 中，即可得到 ；
②过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，作 中点 ，连接 ，
由 ，得 、 、 、 共圆，可得 ，从而可证 ，由 、
、 、 共圆可得 ，故 ， ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，在 中， ， 中， ，即可得到
，进而可得结论．
【详解】解：①过 作 于 ，如图：
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 与点 重合，且 的延长线过点 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
等边 ， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
中， ， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司中， ，
，
，
，
中， ；
故答案为： ；
②过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，作 中点 ，连接 ，
如图：
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
是等边三角形，
， ， ，
是等边三角形，
，
，
、 、 、 共圆，
，
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学科网（北京）股份有限公司而 是等边三角形， ，
，即 ，
，
，
①，
， ，
， ，
，
、 、 、 共圆，
，
， ，
，
②，
而 ③，
由①②③得 ，
，
， 中点 ， ，
，
，
，
中， ，
，
，即 ，
中， ，
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学科网（北京）股份有限公司中， ，
，
，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于三角形综合题，是中考题的压轴题，考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、含30
度角的直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造
辅助线．
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