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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023—2024—2 初三三月数学调研
一、选择题（共8小题，每小题2分）
1. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，
根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选 ．
2. 在迎来了中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利现行标准下，12800个
贫困村全部出列．将12800用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：将12800用科学记数法表示应为 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. b+c＞0 B. a-b＞a-c C. ac＞bc D. ab＞ac
【答案】A
【解析】
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【分析】先根据数轴的定义可得 ，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】由数轴的定义得： ，
A、 ，此项正确，符合题意；
B、 ，
，
，此项错误，不符题意；
C、 ，
，此项错误，不符题意；
D、 ，
，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
4. 若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ）
A. 1：16 B. 16：1 C. 1：4 D. 1：2
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．
【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与 围成的扇形的面积
是（ ）
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.
A
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB与 围成的扇形的面积是
故选B．
【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．
6. 多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值
全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫（SO ）和二氧化氮（NO ）的年平均浓度值变化趋势图．下
2 2
列说法不正确的是（ ）
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A. 1998年至2019年，SO 的年平均浓度值的平均数小于NO 的年平均浓度值的平均数
2 2
B. 1998年至2019年，SO 的年平均浓度值的中位数小于NO 的年平均浓度值的中位数
2 2
C. 1998年至2019年，SO 的年平均浓度值的方差小于NO 的年平均浓度值的方差
2 2
D. 1998年至2019年，SO 的年平均浓度值比NO 的年平均浓度值下降得更快
2 2
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象可知根据方差的意义可知SO 的年平均浓度值波动程度比NO 的年平均浓度值波动程度
2 2
大，根据方差的意义可得出答案．
【详解】解： 根据图象可知，1998年至2019年，SO 的年平均浓度值的平均数小于NO 的年平均浓度值
2 2
的平均数，故A选项正确，不符合题意；
根据图象可知，1998年至2019年，SO 的年平均浓度值的中位数小于NO 的年平均浓度值的中位数，故B
2 2
选项正确，不符合题意；
根据图象可知，SO 的年平均浓度值波动程度比NO 的年平均浓度值波动程度大，
2 2
∵方差越大，波动越大，方差越小，波动越小，
∴SO 的年平均浓度值的方差大于NO 的年平均浓度值的方差，故C选项错误，符合题意；
2 2
根据图象可知， 1998年至2019年，SO 的年平均浓度值比NO 的年平均浓度值下降得更快，故D选项正
2 2
确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了，折线统计图，平均数，中位数及方差．方差表示数据的离散程度，方差越大，波动
越大，方差越小，波动越小．
7. 在平面直角坐标系 中，若函数图象上任意两点 ， 均满足 ．
下列四个函数图象中，
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所有正确的函数图象的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数、一次函数及反比例函数的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：由①的函数图象可得一次函数的k＜0，则有y随x的增大而减小，当 时， ，
所以 ，故不符合题意；
由②的函数图象可得一次函数的k＞0，则有y随x的增大而增大，即当 时， ，所以
，故符合题意；
由③的函数图象可得二次函数的开口向上，对称轴为y轴，则有当x≤0时，y随x的增大而减小，当x≥0
时，y随x的增大而增大，所以当 ， ，则 ，当 ，
，则 ，当 时，则 或 ，则 或
，故不符合题意；
由④的图象可得反比例函数的k＜0，则有y随x的增大而增大，即当 时， ，所以
，故符合题意；
∴符合函数图象上任意两点 ， 均满足 的函数图象为②④；
故选D．
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【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数、一次函数与
反比例函数的图象与性质是解题的关键．
8. 如图， ，点B在射线 上， ．点P在射线 上运动（点P不与点A重合），
连接 ，以点B为圆心， 为半径作弧交射线 于点Q，连接 ．若 ，则下列图
象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意推测出而BP长度变化过程为由大变小，再变大，得到A、B选项错误，当AB⊥BP时，
求出PQ≈4.47，进而推测D选项不合题意，问题得解．
【详解】解：∵点P从A向M运动，且不与A重合，
∴AP不断变大，而BP长度为由大变小，再变大，
即：随x的增大，y的值先减小再增大，
故选项A、B错误；
如图，当AB⊥BP时，∵∠A=60°，
∴∠APB=30°，
∴AP=2AB=4，
BP= ，
∴ ，
即 ，
观察C、D两个选项，可得D选项不合题意，
故C选项符合题意．
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故选：C
【点睛】本题为几何与函数综合题，考查了根据题意确定函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形性
质等知识，解决此类题目一般求出函数解析式求解，如果解析式不易求出可以结合特殊情况进行排除求解．
二、填空题（共8小题，每小题2分）
9. 在函数 中，自变量x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负
数可知，要使 在实数范围内有意义，必须 .
10. 分解因式： =_________________________．
【答案】 ．
【解析】
【详解】试题分析：原式= = ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
11. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则 ________ ．
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【答案】45
【解析】
【分析】根据网格图可直接进行求解．
【详解】解：如图，
由图可得： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为45．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
12. 若二元一次方程组 的解为 ，则 的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据方程组的解的定义得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．
【详解】解：把 代入 ，得
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解得：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是根据方程组的解的定义列出关于a、b的方程组．
13. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．
【答案】m＜
【解析】
【详解】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取
值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜ ，
故答案为m＜ ．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△
＝0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．
14. 如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若 与 所在圆的圆心都为点O，则
与 的长度之比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算，根据勾股定理分别求出 、 ，根据勾股定理的逆定理得到
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，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得， ，
则 ，
∴ ，
∴弧 与弧 的长度之比为 ，
故答案为： ．
15. 计算： _________．
【答案】1
【解析】
【分析】由分式 的加减乘除混合运算先计算括号内的运算，再计算乘法运算，即可求出答案．
【详解】解：
= ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．
16. 如图，小明将 ， ， ，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上
的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则 的值为_____．
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【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加法运算，代数式求值，根据题目要求求得字母的值
是解决本题的关键．
首先求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3，然后根据题意列方程求出 ， ，
，然后代数求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
故答案为4．
三、解答题（12题，共68分，17—22各5分，23—26各6分，27—28各7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】原式根据算术平方根的意义，负整数指数幂，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义进行化简
各项后，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
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18. 解不等式组： ，并写出该不等式组的整数解．
【答案】不等式的解集为 ，整数解为 ， ， ，0
【解析】
【分析】先求出两个一元一次不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后找出其中的整数即可
【详解】解：
解不等式①： ，解得 ，
解不等式②： ，得 ，解得
∴不等式的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 ， ， ，0．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】先按照平方差公式展开与多项式去括号后，合并同类项，化简代数式，再把 变形
后，整体代入求值即可．
【详解】解： ，
，
．
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∵ ，
∴ ．
∴原式 ，
．
【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，去括号法则，同类项与同类项
合并法则，整体代入求值是解题的关键．
20. 阅读材料并解决问题：
已知：如图， 及内部一点P．
求作：经过点P的线段 ，使得点E，F分别在射线 ， 上，且 ．
作法：如图．
①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线 ， 于点M，N；
②连接 ，作线段 的垂直平分线，得到线段 的中点C；
③连接 并在它的延长线上截取 ；
④作射线 ，分别交射线 ， 于点F，E．线段 就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
由②得，线段 _____ （填“＞”，“＝”或“＜”）．
在 和 中，
∴
∴ ．
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∴ （______）（填推理的依据）．
又由①得，线段 ．
可得 ．
【答案】（1）见解析；（2）=； ；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】（1）根据题目的提示作出图形即可；
（2）连接MN，证明△MCN≌△DCP，利用内错角相等，两直线平行即可证明MN//EF，从而证明
OE=OF．
【详解】解：（1）补全的图形如图1所示．
（2）证明：连接MN．
由②得，线段CN=CP（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在△MCN和△DCP中，
，
∴△MCN≌△DCP，
∴∠NMC=∠PDC．
∴MN//EF（内错角相等，两直线平行）．
又由①得，线段OM=ON．
可得OE=OF．
故答案为：＝，CN=CP，∠MCN=∠DCP，CM=CD．内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判
定与性质，解决本题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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21. 如图，在平面直角坐标系中， 是直线 ： 与函数 的图像 的交点．
（1）①求 的值；
②求函数 的解析式．
（2）过点 （ ）且垂直于 轴的直线与直线 和图像 的交点分别为 ， ，当
时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①把 代入 即可得 ，
②把 代入 可得 的值，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据 即是 ，观察图形交点，通过数形结合即可得到答案．
【小问1详解】
解：①把 代入 得：
，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
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把 代入 得：
，
∴ ，
∴函数 的解析式为 ；
【小问2详解】
如图：
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
由图像 ： 与直线 ： 交于 知，当 时， ，
∴∶当 时， ，即 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数解析式及交点问题．数形结合是解题的关键．
22. 我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，
意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即
表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
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在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长 的杆 ，向正北方向画一
条射线 ，在 上取点D，测得 ．
（1）判断：这个模型中 与 是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）； 你的理由是：
________________________________________________．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角 的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为 和 ，利用上表数据，在射线 上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为 ，推测点P位于（ ）
A．线段 中点左侧 B．线段 中点处 C．线段 中点右侧
【答案】（1）是，答案见解析 ；（2） ① 作图见解析；②A．
【解析】
【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）①根据它们距离表的远近和角度的大小来确定；②根据夹角的大小计算判断
【详解】（1）是，
理由：由测量结果可知 ，由勾股定理的逆定理可知 ．
故答案是：是； ，由勾股定理的逆定理可知 ．
（2）①如图，∵tan∠ADB= ＞1，
∴∠ADB＞45°，
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∵∠AMB＞∠ADB，
∴点M在点D的左边；
∵tan∠ADB= ＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠ANB＜∠ADB，
∴点N在点D的右边；
如图，点M,点N即为所求．
②∵tan∠ADB= ＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠APB＜∠ADB，
∴点P在点D的左边；
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两个锐角互余的性质，特殊角的三角函数值，熟练将
生活问题转化数学模型求解是解题的关键．
23. 某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10
号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如下：
评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为
．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则
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该节目的得分为 ．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你_________小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？
理由是___________；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”；先
计算1至4号评委所给分数的平均数 ，5至10号评委所给分数的平均数 ，再根据比赛的
需求设置相应的权重（ 表示专业评委的权重， 表示大众评委的权重，且 ）
如：当 时，则 ．该节目的得分为
I．当按照“方案三”中 评分时，A节目的得分为__________；
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有_________．
①当 时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当 时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当 时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
【答案】（1）同意，评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性；（2）I．
7.86；Ⅱ．②③
【解析】
【分析】（1）根据算术平均数的概念和意义，即可得到答案；
（2）I．根据 ，直接代入数据，即可求解；Ⅱ．根据 对①②③进行判断，
即可得到结论．
【详解】解：（1）同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使
评分更具公平性．
故答案是：同意，评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性；
（2）I．∵ ， ， ， ，
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∴ ，
故答案是：7.86；
Ⅱ．①当 时，A节目按照“方案三”的评分结果= ，与“方案一”的评
分结果不一样，故原说法错误；
②∵当 时，A节目按照“方案三”的评分结果= ，与“方案一”的评分
结果一样，
∴当 时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性，故原说法正确；
③当 时，A节目按照“方案三”评分的结果= ，比“方案一”和“方案
二”都高，故原说法正确；
综上所述：正确的是：②③．
故答案是：②③．
【点睛】本题主要考查平均数，掌握算术平均数和加权平均数的定义，是解题的关键．
24. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、
下边缘线近似地看作平面直角坐标系 中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度 为
，草坪水平宽度 ，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为 ，
高出喷水口 ，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，设灌溉车到草坪的距离 为d
（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 的长；
（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
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（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
【答案】（1）喷出水的最大射程 为
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次
函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点 得，设 ，再根据抛物线过点 ，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点 的对称点为 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
可得点B的坐标；
（3）根据点 坐标以及草坪宽度可得结论．
【小问1详解】
解：由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又∵抛物线过点 ，
∴
∴ ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ，
当 时， ，
解得 （舍去），
∴喷出水的最大射程 为 ；
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【小问2详解】
解：∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
，
， ，
， ，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为 ，
故答案为： ．
25. 如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点
F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
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（2）若sinA＝ ，BC＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
的
【分析】（1）连接 ，如图，根据切线 性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，
然后利用等角的余角相等得到结论；
（2）设 的半径为 ，利用正弦的定义求出 ，再证明 ，利用相似比得到
，然后解方程即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
为切线，
，
，
为直径，
，
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， ，
∵OD=OE
∴ ，
；
【小问2详解】
解：设 的半径为 ，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
即 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似、锐角三角函数、圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线
垂直于经过切点的半径．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）当 时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线 经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大
而增大，求a的取值范围；
（3）当 时，点 ， 在抛物线 上．若 ，请直接写出m的
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取值范围．
【答案】（1）
（2）a的取值范围是 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和
分类讨论的思想进行解答．
（1）当 时， ， 为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把 ， 代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分 和 ，由函
数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据 确定m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ， 为抛物线上的对称点，
∴ ，
抛物线的对称轴 ；
【小问2详解】
解：∵ 过 ， ，
∴ ， ， ，
∴对称轴 ．
①当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
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∴ ， ，
∴ ．
②当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ，
综上：a的取值范围是 或 ；
【小问3详解】
解：∵点 在抛物线 上，
，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴对称轴为直线 ，
①如图所示：
，
且 ，
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；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E
是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB与DF的数量关系并证明；
（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．
【答案】（1）作图见解析；
（2）AB=DF，理由见解析；
（3）∠CDG=40°或120°．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的定义画出图形，如图所示；
（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC=DF=AB；
（3）由题意可得点G是以点D为圆心， DC为半径的圆上与以点F为圆心，FB为半径的圆的交点，同时
在两个圆上，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF=∠FDG=140°，即可求解，
【小问1详解】
解：如图1所示：
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【小问2详解】
解：解：AB=DF，理由如下：
E是A D的中点，
.AE=DE，
C关于点E的对称点为F，
CE=EF，
又 ∠AEC=∠FED，
( SAS)，
AC=DF，
AB=AC，
AB=DF
【小问3详解】
如图2，连接
AE=DE， CE=EF，
四边形ACDF是平行四边形，
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，AF=CD， DF=AC=AB，
∠ACM+∠CAF=180°，
∠CAF=180°-80°=100°=∠CDF，
∠BAF=.140°， .
DG =DC，
1
点G 在以点D为圆心，DC为半径的圆上，
1
FG=FB，
1
点G 在以点F为圆心， FB为半径的圆上，
1
AB=DF， AF=DG ， FB=FG，
1 1
，
∠BAF=∠FDG = 140°，
1
∠CDG =40°，
1
同理可证△ABF≌ODFG ，
2
∠BAF=∠GDF= 140°，
2
∠CDG =360°-100°- 140°=120°，
2
综上所述：∠CDG=40°或120°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G
的位置是本题的关键．
28. 如图，直线l和直线l外一点P，过点P作 于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对
称点为点 ，称点 为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知点 ，则点 ， ， 中是点P关于x轴的垂对点的是___________；
（2）已知点 ，且 ，直线 上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；
（3）已知点 ，若直线 上存在两个不同的点 、 ，使得 、 都是N关于x轴的垂
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对点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）点 和点 ；（2） ；（3） 且 ．
【解析】
的
【分析】（1）依据垂对点 定义判断即可；
（2）依据垂对点的定义确定所有垂对点组成的图形，利用相切的性质和勾股定理即可解答；
（3）对 的取值分三种情况，分别是： 、 、 ，仿照（2）的方法分类讨论即可．
【详解】解：（1）由题意，点 关于 轴的垂对点组成的图形是以点 为圆心，半径为2的圆（该圆与
轴的交点除外）．
点 ， 在这个圆上，
点 关于 轴的垂对点的是：点 ，点 ．
故答案为：点 和点 ．
（2）由题意可知，点 关于 轴的垂对点形成的图形为以点 为圆心，以线段 的长为半径的圆（射
线 与该圆的交点除外）．
此时 与 轴相切．
当直线 与 相切时，记切点为点 ，直线 与 轴， 轴的交点分别为点
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和点 ，连接 ， ，如答图1，
对于 ，令 ，则 ；令 ，则 ．
点 ，点 ．
， ．
．
， 是 的切线，
， ．
．
，
， ．
在 中，
，
．
解得： ．
与直线 有公共点，
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．
的
（3）点 关于 轴 垂对点是以点 为圆心，以2为半径的圆上的点，不包括点 ．
①当 时， 与直线 恰有两个交点，即存在两个点 关于 轴的垂对点；
②当 时，如答图2所示．
与 相切于左上方点 ，为临界状态．
连接点 与切点 ，
作 轴于点 ，作 轴于点 ，作 轴于点 交 于点 ．
设直线 交 轴于点 、交 轴于点 ．
则 ，
故 ．
轴，
于点 ．
， ．
与 相切于点 ，
，
．
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故 为等腰直角三角形．
，
即 ，
．
，
．
则点 坐标为 ， ，
点 在直线 上，代入点 坐标得：
，
解得： ．
特别地，当 时，直线与圆交于点 、 ，此时只有一个垂对点，
故 ．
③当 时，如答图3所示，
直线 与 相切与右下方点 ，为临界状态．
设 ，同情形②类似可得点 坐标为 ， ，
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代入 中，得 ，
解得 ．
综上所述， 的取值范围为： 且 ．
【点睛】本题以一次函数和圆为背景，考查了圆的切线的性质，一次函数与坐标轴交点的求法，勾股定理，
等腰三角形性质，新概念的理解与应用等知识，正确理解题中的“垂对点”的含义是解本题的关键．
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