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理科数学参考答案·第1 页（共9 页）
2023 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
C
A
B
D
A
D
C
C
A
【解析】
1．由已知
{ |
0}
B
y y
，
A
B
∴
表示的集合为{1 2}
，
，故选C．
2．
3
i
(3
i)(1
i)
2
4i
1
1
1
2i
1
i
(1
i)(1
i)
2
z
，
|
| 2
z
∴
，故选C．
3．设该地区2019 年销售收入为a ，则由销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一
番．所以该地区2020 年销售收入为2a ，该地区2021 年销售收入为4a ．A．该地区2021
年的销售收入是2019 年的4 倍，所以A 正确；B．由图可得该地区2021 年的医疗产品收
入为4
0.7
2.8
a
a
．该地区2019 年的医疗产品收入为
0.9
0.9
a
a
，该地区2020 年的医
疗产品收入为2
0.8
1.6
a
a
．由0.9
1.6
2.5
2.8
a
a
a
a
，所以B 正确；C．该地区2021
年的其他收入为4
0.3
1.2
a
a
，2020 年的其他收入为2
0.2
0.4
a
a
，所以C 正确；D．该
地区2021 年的其他收入为4
0.3
1.2
a
a
，2019 年的其他收入为
0.1
0.1
a
a
，所以D 不正
确，故选D．
4．该四棱锥如图1，其中PA⊥平面ABCD，它的最长侧棱为PC，与底
面所成角为∠PCA，故选C．
5．设双曲线的方程为
2
2
4y
x
m
，它经过点(1，1)，所以
3
m
，故双
曲线的方程为
2
2
4
3
y
x
，故选A．
6．直线(
2)
(
1)
2
1
0
m
x
m
y
m
，即
(
2)
2
1
0
m x
y
x
y
，令
2
0
2
1
0
x
y
x
y
，
，解得
1
1
x
y
，
，即直线恒过定点
(1 1)
P ，
，故A 正确；圆C ：
2
2
4
0
x
x
y
，即圆C ：
2
2
(
2)
4
x
y
，圆心
(2 0)
C
，
，半径
2
r
，则
2
2
|
|
(1
2)
1
2
2
PC
，即点
(1 1)
P ，
在圆内，所以直线与圆一定相交，故B 错误，C 正确；因为|
|
2
PC
，当PC
l
⊥时直线
图1
理科数学参考答案·第2 页（共9 页）
与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长
2
2|
2
2 2
|
r
PC
l
，故D 正确，故
选B．
7．
1
1
cos2
1
2
π
( )
sin 2
sin 2
2
2
2
2
4
x
f x
x
x
，A 选项，
π
π
13π
2
4
2π
4
3
12
0
x
x
，
，
函数先增后减，错误；B 选项，
π
π
2
0
8
4
x
x
，所以
π
8
x
不是函数对称轴，错误；C
选项，
π
π
π
2
4
4
4
x
x
，所以π
0
4
，
不是对称中心，错误；D 选项，图象向左平移π
8 个
单位得到
2
π
π
2
sin 2
sin 2
2
8
4
2
y
x
x
，正确，故选D．
8．由已知得
1
cos
sin
sin
2sin
sin
(sin
cos
cos
sin
)
sin
sin
cos
2
C
B
A
B
B
B
C
B
C
B
B
C
0
sin
cos
C
B
，又B，C 都是
ABC
△
的内角，故sin
0
C
，所以cos
0
B
，B 是直角，
故选A．
9．设送牛奶的人到达的时间为x，小明出门的时间为y，试验的全部结果所构成的区域为
1
6
7
2
(
)
5
1
6
7
6
6
x
x
y
y
≤≤，
，
≤≤
，
如图2 中区域ABCD，记事件A 为小明在离家之前能得到牛奶，
所构成的区域为
1
6
7
2
5
1
(
) 6
7
6
6
0
x
A
x
y
y
y
x
≤≤，
，
≤≤
，
≥，
，即图中的阴
影部分，所以
1
1
1
1
1
11
2
3
2
6
6
( )
1
1
12
2
3
A
S
P A
S
，故选D．
10．根据题意得函数
( )
f x 是周期为2 的函数，作出函数
( )
f x 的大
致图象，如图3 所示．数形结合易知
( )
[0 1]
f x
，，则
sgn( ( ))
0
f x
或
sgn( ( ))
1
f x
，
故
A
错
误
；
4041
1
1
2
2020
2
2
2
2
f
f
f
，故
B
错误；
图2
图3
理科数学参考答案·第3 页（共9 页）
(2 )
0(
)
f
k
k
Z ，则sgn( (2 ))
0(
)
f
k
k
Z ，故C 正确；
1
0
sgn
0
0 (
)
1
0
k
k
k
k
k
Z
，
，
，
，
，
，
，
所以
1
0
| sgn
|
(
)
0
0
k
k
k
k
Z
，
，
，
，
，所以sgn( (2 )) | sgn
| (
)
f
k
k
k
Z ，故D 错误，故选C．
11．设
0
0
(
)
P x
y
，
，
ex
y
，则以P 为切点的切线的斜率为：
0
ex
k
， 以P 为切点的切线方程
为
0
0
0
e
e (
)
x
x
y
x
x
，所以
0
0
0
(
1 0)
(0 (1
)e )
x
A x
B
x
，，
，
，则
1
|
| |
|
2
OAB
S
OA
OB
△
0
0
2
0
0
0
1
1
|
1|
| (1
)e
|
(1
) e
2
2
x
x
x
x
x
，设
2
1
( )
(1
) e
2
x
f x
x
，
则
( )
(1
)ex
f
x
x
2
1
1
(1
) e
(
1)(
1)e
2
2
x
x
x
x
x
．由
( )
0
f
x
，得
1
x 或
1
x ，
( )
0
f
x
，得1
1
x
．所
以
( )
f x 在(
1)
，
上单调递增，在( 1 1)
，上单调递减，在
(1
)
，
上单调递增．又
2
1
(1)
0
( 1)
e
e
f
f
，
，且恒有
( )
0
f x ≥成立． 如图4 所以
( )
f x 的图象与
1
e
y
有3 个不同
的交点．所以使
OAB
△
的面积为1
e 的点P 有3 个，故选C．
12．把该四面体放入长、宽、高分别为
2 、2 、6 的长方体，平面与四面体的各面分别
交于KL，LM，MN，KN，如图5，根据题意，KL
BC
∥
，LM
AD
∥
，
KL
AL
BC
AB
，LM
BL
AD
AB
，所以
1
1
2
2
KL
AL LM
BL
，
，故
1 (
)
2
2
KL
LM
AL
BL
，易知四边形KLMN 为矩形，所
以
2
1
2
KL
LM
S
KL LM
≤
，当且仅当KL
LM
时成立，
故选A．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
题号
13
14
15
16
答案
1
30
1
21
3
图4
图5
理科数学参考答案·第4 页（共9 页）
【解析】
13．
(
3 3
4)
(4 7)
m
m
m
，
，
，
a
b
a
b
，所以(
3) 7
4(3
4)
m
m
，解得
1
m ．
14．
6
(1
)
x
∵
的通项为
6
Cx
kx ，
6
2
1
1
(1
)
x
x
∴
的展开式中含x2 的项为
2
2
6
1 C x
和
4
4
6
2
1 C x
x
，
6
2
1
1
(1
)x
x
∴
的展开式中x2 的系数为
2
4
6
6
C
C
30
，∴填30．
15．
1
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
(log 2)
log 2log
log 2
log 2(2
log 2)
2
1
log
2
2log 2
a
．
16．过M，N 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P Q
，，过M 作MG⊥NQ 于G，设
|
| |
| 3|
| 3
NF
EF
MF
a
，由抛物线定义知，
|
|
|
|
3
N
a
MP
Q
a
，
，所以|
| 2
NG
a
，因此
在Rt
MNG
△
中
60
MNG
∠
，又NQ 平行于x 轴，所以
60
NFE
∠
，
如图6，故△NFE 为正三角形．
1
4
3 sin60
3 3
2
MNE
S
a
a
△
，解得
1
a ． 又
3
3 3
2
2
p
N
，
在抛物线上，∴
9
2
p
（舍）或
3
2
p
，
∴
9
3 3
4
2
N
，
在
b
y
x
a
上，则
3
2
a
b
，故
21
3
c
e
a
．
三、解答题（共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12 分）
解：（1）
30
m
，
0.04
n
，
0.03
x
，
0.004
y
．…………………………………（4 分）
（2）设中位数为x ，则：10
0.014
10
0.03
(
70)
0.036
0.5
x
，
∴
2
713
x
．………………………………………………………………………………（6 分）
（3）由题意，可取0，1，2，3，～
1
3 5
B
，
，
0
3
0
3
1
4
64
(
0)
C
5
5
125
P
，
图6
理科数学参考答案·第5 页（共9 页）
1
2
1
3
1
4
48
(
1)
C
5
5
125
P
，
2
1
2
3
1
4
12
(
2)
C
5
5
125
P
，
3
0
3
3
1
4
1
(
3)
C
5
5
125
P
，………………………………………………………（10 分）
0
1
2
3
P
64
125
48
125
12
125
1
125
1
3
( )
3
5
5
E
．………………………………………………………………………（12 分）
18．（本小题满分12 分）
解：（1）由题意：
1
5
2
4
34
64
a
a
a
a
，………………………………………………………（3 分）
1
5
1
1
5
5
1
5
34
2
32
(
)
32
2
64
a
a
a
a
a
a
a
a
，
，
，
或
舍去
，
，
2
q ，
∴
∴
1
2 2
2
n
n
n
a
．……………………………………………………………………（6 分）
（2）
2n
nb
n
，
∴
1
2
3
1
n
n
n
T
b
b
b
b
b
，
1
2
3
1
1 2
2 2
3 2
(
1) 2
2
n
n
n
T
n
n
，①
∴
2
3
1
2
1 2
2 2
(
1) 2
2
n
n
n
T
n
n
，②
①−②得：
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
n
T
n
1
2(1
2 )
2
1
2
n
n
n
1
1
1
2
2
2
(1
) 2
2
n
n
n
n
n
，
∴
1
(
1) 2
2
n
n
T
n
， ………………………………………………………………（10 分）
由
1
2
100
n
nT
n
，可得：
1
2
2
100
n
，即
1
2
102
n
，
∴n 的最大值为5．………………………………………………………………………（12 分）
19．（本小题满分12 分）
（1）证明：在
ADB
△
中，
1
2
AD
BD
AB
，
，
∴
2
2
2
AD
BD
AB
，
理科数学参考答案·第6 页（共9 页）
BD
AD
⊥
∴
．
又∵四边行ABCD
BC
BD
为平行四边形，∴
⊥
．
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，………………………………………………………（4 分）
而BD
PD
D
，
∴BC ⊥平面PBD．
又BC 平面PBC，∴平面PBC ⊥平面PBD．………………………………………（6 分）
（2）解：以D 为原点，DA，DB，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建系，
则
(0 0 0)
D ，，
，
(1 0 0)
A ，，
，
(0 1 0)
B ，，
，
( 1 1 0)
C ，，
，
(0 0 1)
P ，，，
假设在PC 存在一点
(
)
M x
y
z
，，
满足条件．
设
(0
1)
(
1)
( 1 1
1)
PM
PC
x
y
z
≤≤，
，，
，，
∴
，
(
1
)
1
x
y
M
z
，
，
，，
，
，
∴
∴
设
1n
为平面MBD 的法向量，则
1
1
1
0
(1
0
)
0
n
BD
n
n
DM
，
，，
，………………（8 分）
而平面CBD 的法向量为
2
(0 0 1)
n
，，，…………………………………………………（9 分）
1
2
2
1
2
|
|
|
|
1
3
1
3
1
cos60
2
2
2
|
||
|
2
2
1
n
n
n
n
或
∴
（舍去），
……………………………………………………………………………………（11 分）
∴存在实数
3
1
2
，此时
3
60
3
PM
M
BD
C
MC
，使得二面角
的大小为
．
…………………………………………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分12 分）
解：（1）由题意：
2
2
2
2
2
2
6
2
1
1
2
2
a
b
c
a
a
b
c
，
，
，
……………………………………………………（4 分）
理科数学参考答案·第7 页（共9 页）
解得
2
2
2
4
2
2
a
b
c
，
，
，
∴椭圆
2
2
1
4
2
x
y
C
：
．…………………………………………………………………（6 分）
（2）由
2
2
2
1
4
2
y
mx
x
y
，
，
消y 整理得：
2
2
(2
1)
8
4
0
m
x
mx
，
∵直线与椭圆相交于P，Q 两点，∴
0
，解得
2
1
2
m
，…………………………（7 分）
设
1
1
2
2
(
)
(
)
P x
y
Q x
y
，
，
，
，
1
2
1
2
2
2
8
4
2
1
2
1
m
x
x
x
x
m
m
，
，
∴
…………………………………………………（8 分）
设PQ 的中点
0
0
(
)
G x
y
，
，则
1
2
0
0
0
2
2
4
2
2
2
2
1
2
1
x
x
m
x
y
mx
m
m
，
，
2
2
4
2
2
1
2
1
m
G
m
m
，
∴
．
假设在x 轴上存在点
(
0)
M t，
满足条件，
1
MG
PQ
MG
PQ
k
k
，
，
∴
∴
⊥
2
2
2
2
1
1
4
2
1
m
m
m
t
m
，
∴
解得
2
2
2
2
0
2
1
2
1
m
m
t
M
m
m
，
，
∴
．……………………（10 分）
π
0
2
PMQ
MP MQ
∠
，
，
∵
∴
1
2
1
2
(
)(
)
0
x
t x
t
y y
即
，
∴
2
2
1 2
1
2
(
1)
(2
)(
)
4
0
m
x x
m
t x
x
t
，
∴
将
2
2
2
1
m
t
m
代入上式整理得
4
1
m ，
2
1
1
m
m
，
∴
∴
，
此时直线l 的方程为
2
y
x
．………………………………………………………（12 分）
21．（本小题满分12 分）
解：（1）( )
f x 的定义域为(0
)
，
，
1
( )
f
x
a
x
，…………………………………（2 分）
理科数学参考答案·第8 页（共9 页）
（ⅰ）当
0
( )
0
( )
(0
)
a
f
x
f x
x
≤时，
，
在
，
∴
上单调递增；
（ⅱ）当
1
0
( )
0
1
0
0
a
f
x
ax
x
a
时，令
，
令
1
( )
0
f
x
x
a
，
∴当
0
a
时，
1
( )
0
f x
x
a
在
，
上单调递增，在1
a
，
上单调递减．
………………………………………………………………………………………（6 分）
（2）由
2
1
( )
2
f x
ax
x
≤
，可得：
2
(
2 )
2(ln
1)
a x
x
x
x
≥
，
0
x ，
∵
∴原命题等价于
2
2(ln
1)
2
x
x
a
x
x
≥
对
(0
)
x
，
恒成立．
令
2
2
2
2(ln
1)
2(
1)(2ln
)
( )
( )
2
(
2 )
x
x
x
x
x
F x
F x
x
x
x
x
，
，
∴
令
2
( )
2ln
( )
1
0
( )
G x
x
x
G x
G x
x
，
，
∴
∴
在
(0
)
x
，
上单调递增．
又
(0.5)
2ln 2
0.5
ln 4
ln
e
0
(1)
1
0
G
G
，
，
故存在唯一的
0
(0.5 1)
x
，，使得
0
0
0
(
)
2ln
0
G x
x
x
．
当
0
0
x
x
时，
( )
0
( )
0
G x
F x
，
，
∴
( )
F x
∴
在
0
(0
)
x
x
，
上单调递增，
当
0
( )
0
( )
0
x
x
G x
F x
时，
，
，
∴
( )
F x
∴
在
0
(
)
x
x
，
上单调递减．
0
0
0
max
0
2
0
0
0
0
0
2(ln
1)
2
1
( )
(
)
(
2)
2
x
x
x
F x
F x
x
x
x
x
x
，
∴
………………………………（10 分）
0
0
1
1
1
2
a
x
x
≥
时，
，
∴
恒成立．
2
a
a
a
Z
≥，又
，
∴
∴的最小整数值为2．……………………………………………（12 分）
22．（本小题满分10 分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）曲线C 的直角坐标方程为
2
2
1
6
4
x
y
，………………………………………（3 分）
直线l 的直角坐标方程为
1
x
y
．……………………………………………………（5 分）
理科数学参考答案·第9 页（共9 页）
（2）曲线C 的极坐标方程为
2
2
2
2
cos
sin
1
6
4
，
直线l 的极坐标方程为
cos
sin
1
，
设
1
2
(
)
(
)
M
N
，，
，
，
则：
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
cos
sin
12
1
6
4
2cos
3sin
，
2
2
2
2
2
1
1
cos
sin
1
cos
sin
1
sin 2
，…………………………（7 分）
2
2
2
2
2
12
1
2cos
3sin
1
sin 2
3
sin
sin 2
|
|
|
|
OM
ON
∴
1
cos2
7
1
7
5
7
5
3
sin 2
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
2
2
2
2
≤
（当sin(2
)
1
时取等号），
2
2
12
1
|
|
|
|
OM
ON
∴
的最大值为7
5
2
．………………………………………………（10 分）
23．（本小题满分10 分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）当
2
a
时，
2
2
1
|
2 |
|
1|
5
2
1 5
3
5
x
x
x
x
x
x
≤
，
≤，
≤
或
≤
≤
1
3
2
2
1
1
2
2
1 5
x
x
x
x
x
x
，
或
≤≤
或
≤或
≤，
≤
{ | 3
2}
x
x
≤≤
∴
．…………………………………………………………………………（5 分）
（2）
3
( ) |
|
(
)
2
2
2
a
a
f x
x
a
x
x
a
x
a
≥
，
3
2
m
a
，
∴
3
3
3
2
1
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
，
，
，
∴
∴
∴
………………………………………………（7 分）
3
2
3
2
5
3
5
3
5
2
6
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
≥
，
∴
当且仅当3
2
b
a
a
b
，即
6
3
b
a
时取等号，
∴3
2
5
6
2
a
b
的最小值为
．……………………………………………………………（10 分）
