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北京市石景山区 2021-2022 学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题
1. 关于 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴可直接得出答案．
【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含
于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
2. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、 与2 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、 原计算错误，该选项不符合题意；
C、 原计算错误，该选项不符合题意；
D、 正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题
关键．
3. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约448 000度清洁电力．将448 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
的
【分析】科学记数法 表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：448000=4.48×105．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，AB CD， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵∠DCE+∠BCD=180°，∠DCE=130°，
∴∠BCD=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=50°，
故选：B．
的
【点睛】此题考查了平行线 性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
5. 为了解班级同学的家庭用水状况，小明在全班50名同学中随机调查了10名同学家庭中一年的月平均用
水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图，这10名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据中位数的概念进行求解．
【详解】解：∵共有10个数据，
∴中位数是第5、6个数据的平均数，
由条形图知第5、6个数据为6.5、6.5，
所以中位数为 =6.5，
故选：C．
【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，
注意掌握中位数的计算方法．
6. 若多项式 可以分解因式为 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】解∶由题意得∶
，
4-ax+x2=4-4x +x2，
∴a=4，
故选∶C．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7. 下列说法中，正确的是（ ）A. 一组数据的众数一定只有一个．
B. 一组数据的众数是6，则这组数据中出现次数最多的数据是6．
C. 一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据．
D. 一组数据中的最大的数据增大时，这组数据的中位数也随之增大．
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数，中位数的定义即可求解．
【详解】解：A、若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据，故选项不符合题意；
B、一组数据的众数是6，则这组数据中出现次数最多的数据是6，故选项符合题意；
C、一组数据的中位数有可能是中间两个数的平均数，故选项不符合题意；
D、一组数据中的最大的数据增大时，这组数据的中位数不变，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数，中位数的定义，熟记众数，中位数的定义是解题的关键．
8. 定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分2x≥x+3和2x<x+3两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
【详解】解：由新定义得 或 ，
解得x≥3或-2<x<3．
故选∶ C．
【点睛】此题考查的是新定义，一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，熟练求解一元一次不等式组是解题的关键．
二、填空题
9. 分解因式： =______．
【答案】a（b+1）（b﹣1）【解析】【详解】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
10. 一个角是它的补角的3倍，则这个角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】设这个角为 ，根据补角的性质列出方程即可求解．
【详解】设这个角为 ，则 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查补角和方程，解题的关键是根据题意列出方程．
11. 我市某月上旬连续10天的最高气温（单位：℃）为：
28， 27， 30， 33， 30， 30， 32， 30， 31， 29．
这组数据的平均数是_______℃，众数是_______℃．
【答案】 ①. 30 ②. 30
【解析】
【分析】根据平均数和众数的定义，即可求解．
【详解】解：这组数据的平均数是 ；
因为30℃出现的次数最多，
∴众数为30℃．
故答案为：30，30
【点睛】本题主要考查了求平均数和众数，熟练掌握平均数等于一组数 的总和除以数据的个数；众数
是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
12. 已知 是方程 的一个解，则m的值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】已知方程组的解，将 代入原方程即可求出m．【详解】将 代入 得：-2+3m=10，解得：m=4
故答案为：4【点睛】本题主要考查了二元一次方程得解，已知方程的解则可以把解代入原方程得到一个新的参数方程，
正确的理解和掌握方程的解的概念是解题的关键．
13. 小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十
二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为
________．
【答案】
【解析】
【分析】关系式为：鸡的只数+兔的只数=12；2×鸡的只数+4×兔的只数=40，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意可列方程组为： ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡
和兔的脚的总只数的等量关系．
14. 如图，AB CD，直线 交 于点 ，过 作 ，交 于点 ， ，则
______°．
【答案】48
【解析】
【分析】根据平行线的性质推知∠1=∠EGO，则由垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余的性质来求
∠2的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=42°，
∴∠EGO=∠1=42°，
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=90°，
∴∠2+∠EGO=90°，∴∠2=90°-42°=48°．故答案为：48．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”的性质是解题的
关键．
15. 如图，在直线 外取一点 ，经过点 作 的平行线，这种画法的依据是____________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与AB平行．
【详解】解：如图，
由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
16. 如图，一串小彩灯按图1的排列方式不断闪烁，其中英文字母R，B，G分别表示该灯为红、蓝、绿色．
（1）请写出第14个彩灯的颜色为_______（请用R，B或G填空）；
（2）图2表示这串彩灯的某一部分，请在图2中找到这串彩灯第2022个彩灯的正确位置，并注明它的颜
色_______（请用①，②…或⑥以及R，B或G填空，例如：确定其在位置①且为红色，则填写①R．以此类推）．
【答案】 ①. B ②. ⑥G
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得小彩灯的排列方式是3个循环一次，14÷3=4……2，根据余数判断即可；
（2）通过观察可得，每12个彩灯的颜色形成一个周期，据此回答即可．
【详解】(1)一串小彩灯按图1的排列方式不断闪烁，其中英文字母R，B，G分别表示该灯为红、蓝、绿色,
每3个一循环，找出规律。
14 3=4 2
余数是2，就是第二个B
答案是：B
(2)结合图形颜色可确定：每12个彩灯形成一个循环周期，
2022 12=168 6
第2022个颜色与第6个彩灯颜色一致，为G
序号为⑥
答案：⑥G
【点睛】本题考查了图形类规律变化，通过观察分析，归纳其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用有理数的乘方，负整数幂，零次幂分别化简，进而计算即可．
【详解】原式=
= ．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、负整数幂、零次幂的概念与计算，掌握有关运算法则是解题的关
键．
18. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】先计算单项式乘以多项式、积的乘方，最后合并同类项即可．【详解】原式=
= ．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，单项式乘以多项式，积的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解
题的关键．
19. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】解法一：先整理方程组为： ，由① ②消去y，求解x，再求解y，从而可得答
案；
解法二：先整理方程组为： ，由①，得 ，再代入②，消去x，求解y，再求解x，
从而可得答案．
【详解】解法一：整理，得
① ②，得 ．
解得 ．
将 代入①，得 ．
解得 ．
所以原方程组的解为
解法二：整理，得
由①，得 ．③将③代入②，得 ．
解得 ．把 代入③，得 ．
所以原方程组的解为
【点睛】本题考查的是利用加减消元法与代入消元法解二元一次方程组，掌握“两种消元的方法解方程组
的步骤”是解本题的关键．
20. 解不等式组 ，并写出满足不等式组的所有整数解．
【答案】 ，所有整数解为1，0
【解析】
【分析】先解不等式①，再接不等式②，再找出它们的公共部分就是不等式组的解集，然后在解集中找出
所有整数解即可．
【详解】
解不等式①，得 ．
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为 ．
∴原不等式组的所有整数解为1，0．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，注意不等式组的解集的取法：同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小找不到．掌握以上知识是解题的关键．
21. 我们知道，根据几何图形的面积关系可以说明一些等式的成立．
例如： 可以用图1的面积关系来说明．（1）根据图2写出一个等式 ；（2）请你再举一个例子，写出等式并在图3空白处画出一个相应的几何图形加以说明 （注：不必证明，
用代数式标出各部分面积即可）．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用大长方形的面积定义各部分的面积之和解答即可；
（2）仿照题干中的样例解答即可．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：例如∶ 可以用下面的图形的面积关系来说明∶
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用题干中的样例利用面积关系来说明是解题的关键．
22. 已知：如图，点 在一条直线上， 与 交于点 ， ，CM DN．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出 ， ，等量代换即可得出结论．
【详解】证明：∵ （已知），∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ （等量代换）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
是
23. 如图，直线 与射线 交于点 ， 线段 上任意一点，点 在直线 上．
（1）根据下列语句画图：
① 过点 画直线 的平行线 ；
② 连结 ；
③ 过点 画 的垂线，交 于点 ．
（2）请写出 和 的关系： ．
【答案】（1）见解析 （2） + =90°（互余）
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）过E点作EP∥AB，如图，根据平行线的判定得到EP∥CM，再利用平行线的性质得到
∠AFE=∠PEF，∠CNE=∠PEN，所以∠AFE+∠CNE=∠PEF+∠PEN=90°．
【小问1详解】
【小问2详解】
过E点作EP∥AB，如图，∵CM∥AB，
∴EP∥CM，
∴∠AFE=∠PEF，∠CNE=∠PEN，
∴∠AFE+∠CNE=∠PEF+∠PEN，
∵EF⊥EN，
∴∠FEN=90°，即∠PEF+∠PEN=90°，
∴∠AFE+∠CNE=90°．
故答案为：∠AFE+∠CNE=90°（互余）．
【点睛】本题考查了画平行线，画垂线，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
24. 某学校体育兴趣小组，为了更好的开展活动，需要了解学校1000名学生对A，B，C，D四项体育活动
的喜好情况，随机抽取了100名学生进行了“你最喜欢哪种运动”的调查（必选且只选一种），根据调查
绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的100人中最喜欢运动项目A的人数为 ；
（2）求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角度数；
（3）补全条形统计图；
（4）依据本次调查结果，估计全校1000人名学生中最喜欢B运动项目的人数．
【答案】（1）25 （2）108°
（3）见解析 （4）350人
【解析】
【分析】（1）根据A的百分比乘以总人数，进行计算即可；
（2）求出喜欢体育运动项目C的学生所占的百分比即可；
（3）根据体育项目A、体育项目C的频数补全直方图即可；
（4）用1000乘以总体中喜欢体育项目B的占比进行计算即可．
【小问1详解】
（1）100×25%=25（人），故答案为：25；
【小问2详解】
360°× =108°，
答：扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角度数为108°；
【小问3详解】
喜欢体育项目A的人数为100×25%=25，喜欢体育项目C的人数为100-25-35-10=30（人），
补全统计图如下：
【小问4详解】
1000× ＝350（人），
答：估计全校1000名学生中最喜欢B运动项目的人数约为350人．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占
总体的百分比大小．
25. 已知 ，求 的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据完全平方公式与平方差公式展开，去括号，再合并同类项，化简后将x的值代入计算即可．
【详解】．
当 时，原式=4．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式，把所求式子化简．
26. 已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】13
【解析】
【分析】利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：
=
=
= ．
∵ ， ．
原式=
=
= ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
27. 某运输公司要将30吨蔬菜从仓储中心运往北京．现有A，B两种型号的车辆可供调用，已知A型车每
辆可装3吨，B型车每辆可装2吨．现公司已确定调用5辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把30吨
蔬菜一次性运完，至少需要调用B型车多少辆．
【答案】8辆
【解析】
【分析】设需要调用 辆 型车，根据题意列出一元一次不等式，求整数解即可求解．
【详解】设需要调用 辆 型车．
根据题意，得 ．
解得 ．
∵ 为正整数，
∴ 的最小值为8．
答：至少需要调用B型车8辆．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
28. 如图，直线CE，BF被直线 ， 所截，CE BF且 ．（1）求证： ；
（2）过点 作 于点A，以点B为顶点作 ，BD交 于点D，连接AD．
①补全图形；
②若DA平分 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②65°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，再根据 等量代换得到 ，从而
证明结论；（2）①根据已知补全图形即可；②根据平行线的性质先求出∠BDC的度数，再根据角平分线
的定义求出∠ADC的度数，进而利用直角三角形锐角互余求出∠CAD．
【小问1详解】
证明：∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等），
∵ （已知），
∴ （等量代换），
∴ （内错角相等，两直线平行）；
【
小问2详解】
解：①补全图形如下图，②∵ （已证），
∴ （两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同旁内角互补），∵ （已知），
∴ （等量代换），
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线定义），
∴ （等量代换），
∵ （已证），
∴ （等量代换），
∵ （已知），
∴ （垂直定义），
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质和判定是解题
的关键．
