文档内容
2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线与直线的位置关系
一、选择题（共20小题；）
1. “a=1”是“直线 (2a+1)x+ay+1=0 和直线 ax−3 y+3=0 垂直”的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知定点 A(0,1)，点 B 在直线 x+ y+1=0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是 ()
A. (−√2,√2) B. (−1,1) C. (0,−1) D. (−1,0)
3. 若两条直线 ax+2y−1=0 与 3x−6 y−1=0 垂直，则 a 的值为 ()
A. 4 B. −4 C. 1 D. −1
4. 已知直线 l :ax+2y=0 与直线 l :(a+1)x−y+a−1=0 垂直，则 a= ()
1 2
2
A. −2 或 1 B. −2 C. 1 D. −
3
5. 已知 l :2x+m2y+2m=0 与 l :y=−3x+√6，若两直线平行，则实数 m 的值为 ()
1 2
2√2 √6 √6 √6 2√2 2√2
A. B. C. 或 − D. 或 −
3 3 3 3 3 3
6. 设点 A(−2,3)，B(3,2)，若直线 ax+ y+2=0 与线段 AB 没有交点，则 a 的取值范围是 ()
( 5] [4 ) ( 4 5)
A. −∞,− ∪ ,+∞ B. − ,
2 3 3 2
[ 5 4] ( 4] [5 )
C. − , D. −∞,− ∪ ,+∞
2 3 3 2
7. “a=1”是“直线 ax+ y+1=0 与直线 (a+2)x−3 y−2=0 垂直”的 ()
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 下列说法中正确的是 ()
A. 若直线 l 与 l 的斜率相等，则 l ∥l
1 2 1 2
B. 若直线 l 与 l 互相平行，则它们的斜率相等
1 2
C. 在直线 l 与 l 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则 l 与 l 一定
1 2 1 2
相交
D. 若直线 l 与 l 的斜率都不存在，则 l ∥l
1 2 1 2
9. 过点 P(4,−1) 且与直线 3x−4 y+6=0 垂直的直线方程是 ()
A. 4x+3 y−13=0 B. 4x−3 y−19=0
C. 3x−4 y−16=0 D. 3x+4 y−8=0
10. 已知直线 l :2x−y−1=0，l :ax−y+2=0，且 l ∥l ，那么实数 a 等于 ()
1 2 1 21 1
A. −2 B. − C. D. 2
2 2
11. 已知过点 A(−2,m) 和点 B(m,4) 的直线为 l ，直线 2x+ y−1=0 为 l ，直线
1 2
x+ny+1=0 为 l ．若 l ∥l ，l ⊥l ，则实数 m+n 的值为 ()
3 1 2 2 3
A. −10 B. −2 C. 0 D. 8
12. 若直线 ax+2y−1=0 与直线 2x−3 y−1=0 垂直，则 a 的值为 ()
4
A. −3 B. − C. 2 D. 3
3
13. 过点 A(2021,a) 和 B(2020,b) 的直线与直线 l：x+ y+m=0 垂直，则 ∣AB∣ 的值为
()
A. 4 B. 2
C. √2 D. 与 m 的取值有关
14. “a=−3”是“直线 l :x+ay+1=0 直线 l :(a+2)x+3 y+3=0 平行”的 ()
1 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 已知三条直线 2x−3 y+1=0，4x+3 y+5=0，mx−y−1=0 不能构成三角形，则实数 m
的取值集合为 ()
{ 4 2} {4 2}
A. − , B. ,−
3 3 3 3
{ 4 2 4} { 4 2 2}
C. − , , D. − ,− ,
3 3 3 3 3 3
16. 已知点 A(5,−1)，B(m,m)，C(2,3)，若 △ABC 为直角三角形且 AC 边最长，则整数 m
的值为 ()
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
17. 已知 A(1,4)，B(−3,2)，直线 l：ax+ y+2=0，若直线 l 过线段 AB 的中点，则 a 等于 ()
A. −5 B. 5 C. −4 D. 4
18. 若圆 C ：x2+ y2=1 与圆 C ：x2+ y2−6x−8 y+m=0 外切，则 m 等于 ()
1 2
A. 21 B. 19 C. 9 D. −11
x2 y2
19. 双曲线 − =1（a>0，b>0）的实轴为 A A ，虚轴的一个端点为 B，若三角形 A A B
a2 b2 1 2 1 2
的面积为 √2b2，则双曲线的离心率为 ()
√6 √6
A. B. C. √2 D. √3
3 2
20. 等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90∘，若点 A,C 的坐标分别为 (0,4)，(3,3)，则点 B 的坐
标可能是 ()
A. (2,0) 或 (4,6) B. (2,0) 或 (6,4)C. (4,6) D. (0,2)
二、填空题（共5小题；）
21. 已 知 直 线 l :2x+my+1=0 与 l :y=3x−1， 若 两 直 线 平 行 ， 则 实 数 m=
1 2
．
22. 若直线 ax+2y+1=0 与直线 x+ y−2=0 互相垂直，那么 a 的值等于 ．
23. 直线 l :2x−y−1=0，l :ax+ y+2=0，若 l ⊥l ，则 a= ．
1 2 1 2
1
24. 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=− x+2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是
2
．
25. 直线 (2+λ)x+(λ−1)y−2λ−1=0 经过的定点坐标为 ，经过此定点且与
3x−2y=0 垂直的直线方程是 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 求与直线 4x−3 y+5=0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 的直线方程．
27. 已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(−1,2)，B(3,4)，C(3,2)，D(1,1)．求证：四
边形 ABCD 是梯形．
28. 已知平面内两点 A(8,−6)，B(2,2)．
（1）求过点 P(2,−3) 且与直线 AB 平行的直线 l 的方程；
（2）求线段 AB 的垂直平分线方程．
29. 已知两直线 l ：ax−by+4=0 和 l ：(a−1)x+ y+b=0，求满足下列条件的 a，b 的值．
1 2
（1）l ⊥l ，且直线 l 过点 (−3,−1)；
1 2 1
（2）l ∥l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
1 2
30. 已知直线 l :2x+ y−2=0 和 l :mx−y+1=0．
1 2
（1）当 l ∥l 时，求 m 的值；
1 2
π
（2）当 l 与 l 的夹角为 时，求 m 的值．
1 2 4答案
1. A
2. D
3. A 【解析】因为两条直线 ax+2y−1=0 与 3x−6 y−1=0 垂直，
a ( 3 )
所以 − × − =−1，解得 a=4．
2 −6
4. A 【解析】由直线 l :ax+2y=0 与直线 l :(a+1)x−y+a−1=0 垂直，
1 2
所以 a(a+1)−2=0，解得 a=−2或1．
5. B
【解析】直线 l :y=−3x+√6 可化为 3x+ y−√6=0，
2
由直线 l :2x+m2y+2m=0 与 l 平行，
1 2
√6
则 3m2−2×1=0，解得 m=± ；
3
√6
当 m= 时，l 的方程为 3x+ y+√6=0，两直线平行；
3 1
√6
当 m=− 时，l 的方程为 3x+ y−√6=0，两直线重合；
3 1
√6
综上知，m 的值为 ．
3
6. B
7. B 【解析】直线 ax+ y+1=0 与直线 (a+2)x−3 y−2=0 垂直的充要条件为
a(a+2)+1×(−3)=0，解得 a=1或−3，
故“a=1”是“直线 ax+ y+1=0 与直线 (a+2)x−3 y−2=0 垂直”的充分不必要条件．
8. C
3
9. A 【解析】因为两直线垂直，直线 3x−4 y+6=0 的斜率为 ，
4
4
所以所求直线的斜率 k=− ，
3
4
则直线方程为 y−(−1)=− (x−4)，
3
化简得 4x+3 y−13=0．
10. D
11. A 【解析】因为 l ∥l ，
1 2
4−m
所以 =−2（m≠−2），
m+2
解得 m=−8（经检验，l 与 l 不重合）．
1 2
因为 l ⊥l ，
2 3
所以 2×1+1×n=0，即 n=−2．所以 m+n=−10．
a 2
12. D 【解析】直线 ax+2y−1=0 的斜率 k =− ，直线 2x−3 y−1=0 的斜率 k = ．因为
1 2 2 3
a 2
两直线垂直，所以 − × =−1，即 a=3 .
2 3
13. C
14. C
15. D
16. D
17. B
18. C 【解析】圆 C 的标准方程为 (x−3) 2+(y−4) 2=25−m．
2
又圆 C ：x2+ y2=1，
1
所以 ∣C C ∣=5．
1 2
又因为两圆外切，
所以 5=1+√25−m，解得 m=9．
19. B 【解析】设 B(0,b)，则 ∣A A ∣=2a，
1 2
因为三角形 A A B 的面积为 √2b2，
1 2
1
所以 S= ×2a⋅b=ab=√2b2 ，即 a=√2b，
2
c √a2+b2 √2b2+b2 √3 √6
则离心率 e= = = = = ．
a a2 2b2 2 2
20. A
{ k ⋅k =−1
【解析】设 B(x,y)，根据题意可得 AC BC ，即
∣BC∣=∣AC∣
{ 3−4 ⋅ y−3 =−1 {x=2, {x=4,
3−0 x−3 ，解得 或 所以 B(2,0) 或 B(4,6)．
y=0, y=6,
√(x−3) 2+(y−3) 2=√(0−3) 2+(4−3) 2
2
21. −
3
【解析】因为两直线 l :2x+my+1=0 与 l :y=3x−1 平行，
1 2
2
所以 2×(−1)−3m=0，解得 m=− ．
3
22. −2
【解析】由题意 a+2=0，所以 a=−2．
1
23.
2
【解析】因为直线 l :2x−y−1=0，l :ax+ y+2=0，l ⊥l ，
1 2 1 21
所以 2a−1=0，解得 a= ．
2
( 1 1)
24. − ,
6 2
【解析】如图，
1
已知直线 y=− x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4,0)，B(0,2)．
2
直线 y=kx+2k+1 可变形为 y−1=k(x+2)，表示这是一条过定点 P(−2,1)，斜率为 k 的动直线．
因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段 AB 上（不包括端点），所以动直线的斜
率 k 需满足 k
