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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023~2024 学年度第一学期期中考试
初三年级 数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 已知 ，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，故B符合题意；
C、∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2. 古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是 ，称为黄金分割比，著名的断
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臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人
身高大约为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义，即可求解．
【详解】解：依题意，此人身高大约为
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
3. 二次函数 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：二次函数 的顶点坐标是 ．
故选A．
【点睛】此题考查了此题考查了二次函数的性质， 的顶点坐标是 ，对称轴是直线
．
4. 如图，在△ 中，点 ， 分别为边 ， 上的点，且 ，若 ， ，
，则 的长为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】C
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【解析】
【分析】利用相似三角形的判定及性质即可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
5. 已知二次函数 ，若点 ， 是它图象上的两点，则 与 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】把（-1， ）和（2， ）代入二次函数解析式求出 和 即可得到答案．
【详解】解：∵（-1， ）和（2， ）是二次函数 图像上的两点，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像上点
的坐标特征．
6. 若要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
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A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
【详解】∵抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标为（1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x-1）2+2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．
7. 如图，下面方格纸中小正方形边长均相等. 和 的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若
~ 且两三角形不全等，则P点所在的格点为（ ）
A. P B. P C. P D. P
1 2 3 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形相似 ∽ ，然后利用DE=2，BC=1，所以DP=4，则易得点P落在P 处．
4
【详解】若 ∽ 且两三角形不全等，
则 = =2．
所以DP=4．
则易得点P落在P 处．
4
故选D
【点睛】本题考查了三角形相似的性质,掌握该性质是解答本题的关键.
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8. 已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 ，与 轴的交点 在 和
之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与 轴的另一个交点是 ；②点 ，
， ， 在抛物线上，且满足 ，则 ；③常数项 的取值范围是 ；④系数
的取值范围是 ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出草图，进而根据抛物线的对称性和已知条件可知另一个交点即可判断①，根据抛物
线与 轴的交点 在 和 之间（包含这两个点）运动，进而可得 的范围，且抛物线开口向下，
即可判断②③，根据对称轴为 ，可得 ， ，结合③的结论即可判断④．
【详解】如图，
抛物线与 轴交于点 ，对称轴为 ，
抛物线与 轴的另一个交点是 ，所以①正确；
抛物线与 轴的交点 在 和 之间（包含这两个点）运动，
抛物线开口向下， ，所以③正确；
当 时， 随 的增大而增大，
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当 ， ；所以②错误；
，
，
时， ，即 ，
，即 ，
而 ，
，
，所以④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是_____．
【答案】下
【解析】
【分析】根据二次函数二次项系数的正负可确定开口方向.
【详解】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数为-2＜0，
二次函数开口向下，
故答案：下.
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质, 二次函数y=a +bx+c，当a＞0时，函数开口向上，当a＜0时，
函数开口向下.
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：_______．
【答案】y＝x2﹣2 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴，要求a＞0，c＜0即可．
【详解】抛物线y＝x2﹣2开口向上，且与y轴的交点为（0，﹣2），（0，﹣2）在y轴负半轴．
故答案为答案不唯一：如y＝x2﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a＞0，c＜0．
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11. 写出一个当自变量 时，y随x的增大而减小的反比例函数的表达式______________．
【答案】y＝ （x＞0），答案不唯一．
【解析】
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系
数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【详解】只要使反比例系数大于0即可．如y＝ （x＞0），答案不唯一．
故答案为：y＝ （x＞0），答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝ （k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每
个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
12. 把二次函数 化为 的形式，那么 =_____.
【答案】3
【解析】
【分析】由 ，得 ，可求出h,k的值.
【详解】由 ，得 ，
所以，h=2,k=1,
所以，h+k=2+1=3.
故答案为3
【点睛】本题考核知识点：配方.解题关键点：掌握配方的方法.
13. 若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＜
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【解析】
【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断
ac与0的关系．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
的
∵与y轴 交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0．
故答案为＜．
【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项
c决定抛物线与y轴交点．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2， ：
＝___．
【答案】1：9##
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质证明 AOE∽ COB，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即
可． △ △
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴ AOE∽ COB，
△ △
∴ ： = ，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
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∴ ： = =1：9，
故答案为：1：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的
关键．
15. 如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，则 的面积是_______
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数 的几何意义，即可求解．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， 轴于点
∴ 的面积是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，熟练掌握反比例函数 的几何意义是解题的关键．
16. 下图是，二次函数 的图象，若关于x的一元二次方程 （t为实数）在
的范围内有解，则t的取值范围是______．
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【答案】
【解析】
【分析】先利用二次函数的性质得到 时， 有最大值 ，在计算出 时， ，由于关于 的
一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解可看作抛物线 与
在 内有公共点，然后利用函数图像可得到 的取值范围；
【详解】 ，
当 时， 有最大值 ，
当 时， ，
关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解可看作抛物线
与 在 内有公共点，
∴ 的取值范围是 ；
故答案 是： ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ ， ， 是常数，
）与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
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三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－
28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 如图，在 中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且 ．
（1）求证： ADE∽ ACB；
（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【解析】
【分析】（1）由 得 ，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE∽△ACB，得∠ADE=∠ACB=75°，再由∠B=55°及三角形的内角和为180°可求出∠A．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ .
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．
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【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证
△ABC∽△CBD；
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD= ，然后根据勾股定理即可
得到结论．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴CD= ，
∵CD⊥AB，
∴BD= ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
19. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像由函数 的图像平移得到，且经过
点 ．
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（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平移得到 ，再将 ，代入解析式即可得解；
（2）根据题意，可得 时直线 在直线 的下方，利用图像法求出 的
取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图像由函数 的图像平移得到，
∴ ．
∵一次函数 的图像经过点 ，
∴ ．
∴ ．
∴这个一次函数的解析式为 ．
【小问2详解】
解：由题意，得： 时直线 在直线 的下方，
如图：当直线 在 之间时，满足题意：
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当 与 平行时， ，
当 过点 时： ，
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，
是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系xOy中已知双曲线 过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横
坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线 ，交于点D（t， ），与直线y＝4x交于点E（t，y）．当y<y 时，直
2 1 2
接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）B( ，-2)，C( ，2)
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（3） 或
【解析】
【分析】根据待定系数法求解即可．
解析式联立，组成方程组，解方程组求解即可．
根据图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵ 双曲线 经过（1，1），
∴
【小问2详解】
解：由题意得： 与 交于B、C两点，
∴
解得： 或
∴B（ ，-2），C（ ，2）
【小问3详解】
解：根据题意画出函数图象，观察函数图象．
由(2)得， 与 交于B、C两点，横坐标为 ，
∴当 时，t的取值范围为： ，或 ．
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【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点左边，反比例函数
与一次函数的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法，联立方程，根据题意画出函数图象．
21. 在平面直角坐标系 中，二次函数 ， 经过点 ， ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此函数的顶点坐标
（3）当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）配方法化为顶点，即可求解；
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（3）根据对称轴为直线 ，开口向上，进而求得 时取得最大值，即可求解．
【小问1详解】
解：将点 ， 代入
得
解得：
∴
【小问2详解】
解：∵
∴顶点坐标为
【小问3详解】
解：∵ ，
抛物线开口向上，顶点坐标为
∴当 时取得最小值 ，
∵ ，
∴ 时， 取得最大值，即
∴当 时， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
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目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 1 1 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出次函数图象
（3）当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）当 或 时
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用描点法画出函数图象；
（3）求出 时函数图象上的点的坐标，利用函数的开口方向确定答案．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为 ，
将 代入，
得 ，解得 ，
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∴二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
【小问3详解】
当 时， ，
解得 或 ，
∴函数过两点 ， ，
∵图象开口向上，
∴当 或 时 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画函数的图象，根据函数值确定自变量的取值范围，
正确掌握二次函数的解析式的求法和函数图象的画法是解题的 关键．
23. 已知二次函数 ．
的
（1）求此二次函数 对称轴 （用含 的字母表示）
（2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求 的取值范围
（3）选取一个你喜欢的 值，求此二次函数图象与 轴的交点．
【答案】23. 直线
24.
25. 和 (答案不唯一)
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线 ，即可求解；
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（2）在 ，令 ，根据已知可得 ，解之即可求出
的取值范围；
（3）在（2）的 的取值范围内，任选一个数值，解相应的一元二次方程即可．
【小问1详解】
二次函数 ,
该二次函数的对称轴为直线 ，
故此二次函数的对称轴是直线 ；
【小问2详解】
二次函数 的图象与x轴有两个不同的交点，
令 ，则 ，
，
，
故 的取值范围是 ；
【小问3详解】
当 时， ，
令 ，则 ，
， ．
故此二次函数图象与 轴的交点是 和 (答案不唯一)．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线与 轴的交点的意义，根的判别式，解相应
不等式和一元二次方程是解本题的关键．
24. 某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是
抛物线．现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d
0. 3.
（米 0 2.0 5
5 5
）
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h
1.6 2. 3.0 2.
（米 0
7 25 0 25
）
请解决以下问题：
（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是______米；
（3）求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；
（4）现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面的高度为2.5米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到
水柱．请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3） （0≤x≤5）
（4）船能符合要求通过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，描点顺次顺滑连线；
（2）根据抛物线的最高点（2,3）得出结论；
（3）根据抛物线的顶点为（2,3），设解析式为 ，再把（5,0）代入求出a的值；
（4）使船的中轴线在抛物线的对称轴上，把点（1，m）代入解析式计算m的值，与2.5比较大小，得出
结论
【小问1详解】
【小问2详解】
根据图象看出，水流最高点距离湖面的高度是3米；
故答案为3；
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【小问3详解】
设抛物线的解析式为 ，
将（5,0）代入，得，
，
解得， ，
∴ （0≤x≤5），
【小问4详解】
符合要求，理由：
设船的横断面为矩形ABCD，行驶时使船的中轴线在抛物线形水流的对称轴上，设直线AB与抛物线交点
为E(1,m)，则
，
符合要求
【点睛】本题主要考查了二次函数的表示法，由表格法转换为图象法与解析法，解题的关键是描点，顺次
光滑连线，根据表格中数据特点熟练运用待定系数法求解析式，同时能够准确看出顶点，根据对称性处理
行船问题
25. 抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱
桥的截面图．以水面 所在直线为 轴， 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点 到点
的距离 （单位： ），点 到桥拱顶面的竖直距离 （单位： ）． ， 近似满足函数
关系 ．通过取点，测量，得到 与 的几组对应值，如下表：
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0 1 2 3 4
0 2 2
（1）桥拱顶面离水面 的最大高度为___________ ；
（2）根据上述数据，求出满足的函数关系 和水面宽度 的长．
【答案】（1）
（2） 米
【解析】
【分析】（1）把 ， 分别代入 ，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解；
（2）令 ，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：把 ， 分别代入 得
解得：
即抛物线的解析式为：
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即
∴桥拱顶面离水面 的最大高度为 米，
故答案为：
【小问2详解】
由（1）得
令 ，即
解得：
∴ （米）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线 上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线 ，
①直接写出 的取值范围；
②已知点（－1，y），（ ，y），（3，y）在该抛物线上．比较y，y，y 的大小，并说明理由．
1 2 3 1 2 3
【答案】（1） ；（2）① ；② ，见解析
【解析】
【分析】（1）把点（1，m），m＝0，代入抛物线 ，利用待定系数法求解解析式，再利用公式
求解抛物线的对称轴方程；
（2）①先判断 异号，求解抛物线 的对称轴为： 抛物线与 轴的
交点坐标为： 根据点（1，m）和（2，n）在抛物线 上，则 可得
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从而可得答案；②设点（－1，y）关于抛物线的对称轴 的对称点为 ，再判断
1
．结合抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而减小，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵点（1，m）在抛物线 上，m＝0，
∴ ．
∴ ．
所以抛物线为：
∴该抛物线的对称轴为 ．
（2）① 则 异号，
而抛物线 的对称轴为：
令 则
解得：
所以抛物线与 轴的交点坐标为：
点（1，m）和（2，n）在抛物线 上，
即
② ．理由如下：
由题意可知，抛物线过原点．
设抛物线与x轴另一交点的横坐标为x´．
∵抛物线经过点(1，m)，(2，n)，mn＜0
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∴1＜x＜2．
∴ ．
设点（－1，y）关于抛物线的对称轴 的对称点为 ．
1
∵点（－1，y）在抛物线上，
1
∴点 也在抛物线上．
由 得 ．
∵ ，
∴1＜2t＜2．
∴2＜2t＋1＜3．
∴ ．
由题意可知，抛物线开口向下．
∴当 时，y随x的增大而减小.
∵点（ ，y）， ，（3，y）在抛物线上，且 ，
2 3
∴
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的对称性与增
减性，掌握“利用抛物线的增减性判断二次函数值的大小”是解本题的关键.
27. 已知：如图①，在正方形 中，点 是 上一个动点，点 在 的延长线上，且 ，
连接 ， ， ． 平分 ，交 于点 ，连接 ．
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（1）直接写出 与 的数量关系与位置关系；
（2）求证： ；
（3）如图②，当点 在射线 上运动时，过 作 于点 ，直接写出线段 ， 与
之间的数量关系．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）当点 在边 的延长线上， ；当点 在边 的延长线上，
【解析】
【分析】（1）证明 ，可得 ， ，则 ，
所以 ；
（ 2 ） 由 ， 得 ， 由 ， 得
， 所 以 ， 而 ， 则 ， 所 以
；
（3）分两种情况，一是点 在边 上，作 于点 ， 于点 ，先证明四边形
是正方形，根据角平分线的性质得 ，再证明 ， ，
得 ， ， 即 可 推 导 出 ， 其 中
，则 ，所以 ；二是点 在边 的
延长线上，作 交 的延长线于点 ， 交 的延长线于点 ，先证明四边形
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是正方形，根据角平分线的性质得 ，再证明 ，
得 ， ，即可推导出 ，所以
， 其 中 ， 所 以
，得 ．
【小问1详解】
解： ， ，
理由：如图①，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
；
【小问2详解】
证明：如图①，
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， ，
，
， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图②，当点 在边 上，作 于点 ， 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
四边形 是正方形，
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， ， ，
，
， ， ，
，
，
同理， ，
，
，
，
，
；
如图③，当点 在边 的延长线上，作 交 的延长线于点 ， 交 的延长
线于点 ，
， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
四边形 是正方形，
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， ， ，
，
， ， ，
，
，
同理， ，
，
，
，
，
，
，
综上，当点 在边 的延长线上， ；当点 在边 的延长线上， ．
【点睛】此题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
及其推论等知识，解题过程中还应注意分类讨论，求出所有符合题意的结论．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的
“确定正方形”．如图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．
（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为
___________；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线 上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积
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最小，且最小面积为2时，求b的值．
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，
0），点F在直线 上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m
的取值范围．
【答案】（1）9；（2）OC⊥直线 于点C；① ；② ；（3）
【解析】
【分析】（1）求出线段MN的长度，根据正方形的面积公式即可求出答案；
（2）根据面积求出 ，根据面积最小确定OC⊥直线 于点C，再分情况分别求出b；
（3）分两种情况：当点E在直线y=-x-2是上方和下方时，分别求出点P的坐标，由此得到答案.
【详解】解：（1）∵M(0，1)，N（3,1），
∴MN∥x轴，MN=3,
∴点M，N的“确定正方形”的面积为 ,
故答案为：9；
（2）∵点O，C的“确定正方形”面积为2，
∴ .
∵点O，C的“确定正方形”面积最小，
∴OC⊥直线 于点C.
① 当b>0时，如图可知OM=ON， MON为等腰直角三角形，
△
可求 ，
∴
② 当 时，同理可求
∴
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（3）如图2中，当正方形ABCD在直线y=-x-2的下方时，延长DB交直线y=-x-2于H，
∴BH⊥直线y=-x-2，
当BH= 时，点E、F的“确定正方形”的面积的最小值是2，此时P（-6,0）；
如图3中，当正方形ABCD在直线y=-x-2的上方时，延长DB交直线y=-x-2于H，
∴BH⊥直线y=-x-2，
当BH= 时，点E、F的“确定正方形”的面积的最小值是2，此时P（2,0），
观察图象可知：当 或 时，所有点E、F的“确定正方形”的面积都不小于2
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【点睛】此题是一次函数的综合题，考查一次函数的性质，正方形的
性质，正确理解题中的正方形的特点画出图象求解是解题的关键.
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