文档内容
辽宁省重点高中沈阳市郊联体
2024—2025 学年度上学期期中考试高三年级试
题
数 学
命题人：沈阳市第五十六中学 王璇 评审题人：康平县高级
中学 何庆超
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每
小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 是虚数单位，复数 、 在复平面内对应的点分别为 、
，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.若数列 为等比数列，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
4.设等差数列 中， ， 使函数 在时取得极值0，则 的值是（ ）
A.2或 B.2 C. D.
5.在正四棱柱 中， ， ， 是该正四
棱柱表面上的一动点，且满足 ，则点 的运动轨迹的长度
为（ ）
A.16 B. C. D.
6.已知函数 的图象如图所
示，图象与 轴的交点为
，与 轴的交点为 ，最高点 ，且满足 .
若将 的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为 ，则
（ ）
A. B.0 C. D.
7.已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，则 （ ）
A.0 B.16 C.22
D.32
8.已知 ， ，若关于 的不等式 在
上恒成立，则 的最小值是（ ）
A.4 B. C.8 D.
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分
选对得部分分，有错选的得0分。
9.下列说法，正确的有（ ）.
A.已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是
B.函数 ， 向左平移 后所得的函数为
奇函数.
C.已知 ，则
D.在 中，若 ，则 为等腰三角形
10.下列说法正确的是（ ）.
A.函数 在区间 的最小值为
B.函数 的图象关于点 中心对称C.已知函数 ，若 时，都有
成立，则实数 的取值范围为
D.若 恒成立，则实数 的取值范围为
11.在边长为4的正方体 中， 为 边的中点，下
列结论正确的有（ ）
A. 与 所成角的余弦值为
B.三棱锥 外接球表面积为
C.当 在线段 上运动时， 的最小值为6
D.若 为正方体表面 上的一个动点， 、 分别为 的三等
分点，则 的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列 ，其前 项和为 ，则 ______.
13.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它
们的高均为 ，则此正四棱锥的体积为______.
14.已知梯形 中， ， ， ， ，
，点 、 在线段 上移动，且 ，则 的最小
值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围.
16.（15分）已知数列 的前 项和为 ，且满足
.
（1）求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项
和 .
17.（15分）已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）设 ，当 时，
在区间 上，若对于任意两个自变量的值 ， 都有
，求实数 的范围.
18.（17分）如图，在四棱锥 中，平面 平面
， ， ， ， 为棱 的中
点.（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是
？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
19.（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲
究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，
曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是 的
导函数，则曲线 在点 处的曲率
.
（1）求曲线 在 处的曲率 的平方；
（2）求正弦曲线 曲率的平方 的最大值.
（3）正弦曲线 ，若 ，判断
在区间 上零点的个数，并写出证明过程.
2024-2025 学年度上学期沈阳市重点高中联合体
期中考试
高三数学第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。
9.ACD 10.ABD 11.AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.5000 13. 14.2
三、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
【详解】（1）由 及正弦定理得
，……2分
故 ，……4分
在 中， ， ，所以 ，
可得 ，而 ，故 即 ……6分
（2）由正弦定理的 得
， ，
因为 ，则 ， ……8分
所以
，……10分因为 为锐角三角形，则 ， ，
，故 ，
所以 周长的取值范围 ……13分
16.（15分）
当 时， ，解得 .……2分
因 ①，
当 时， ②
①-②得， ，即 ，……4分
则 ，即 ， ，又 .……6
分
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列. ，
即 ，……8分
（2）由（1）可得： ……10分
令 ……
13分
所以
……15分
17.（15分）
【详解】（1）由 ，得，……2分
所以 ，所以 ，……3分
所以 ，所以 ，……4分
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即
.……6分
（2）由（1）可得 ，
，……7分
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增，……9分
所以 的最小值 .
又 ， ，所以 ，
从而 的最大值 ，……11分
所以设 ，
则 ，
由 ，知 ，所以 单调递增，……13分
因为 ， ，所以 的取值范围为
所以 的范围为 ……15分
18.（17分）
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，如图所示： 为
棱 的中点，
， ，……2分
， ， ， ，
四边形 是平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 .……5
分
（2） ， ， ， ，
，……6分
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，……8分
又 ， 平面 ， ，而 ，
， 以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为
， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图：则 ， ， ， ，为棱 的中点，
，
（i） ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
，……11分
平面 的一个法向量为 ，
，
根据图形得二面角 为钝角，则二面角 的余弦
值为 ……13分
（ii）假设在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是
，
设 ， ，
则 ， ，由（2）知平面 的一个法向量为 ，
，……15分
点 到平面 的距离是
， .……17分
19.（17分）
解：（1）因为 ，所以 ，
，……2分
所以 ，
……3分
（2）由 ， ，则 ，
，令 ，则 ，故
，……5分
设 ，则 ，在 时
， 递减，
所以 ， 最大值为1.……8分（3）因为 ， ，
则 .……9分
①当 时，因为 ，
所以 在 上单调递减.所以 .
所以 在 上无零点.……11分
②当 时，因为 单调递增，且 ，
，
所以存在 ，使 .……12分
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且
.……13分
所以 .设 ， ，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.……14分
所以 .所以 ，得 .
所以 。所以 在 上存在一个零点.……16
分
所以 在 有2个零点.综上所述， 在 上的零点
个数为2……17分
