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初三年级数学 11 月月考
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，
是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．把
一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心
对称图形，
选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心
对称图形，
故选：C．
2. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数 系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断 的符号，由抛物
线与 轴的交点判断 的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断 的符号，进而对所得结论进行
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判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知 ，
与 轴的交点为在 轴的正半轴上，
，
对称轴为 ，
、 异号，即 ．
故选：B．
3. 如图，点 ， ， 在 上， 是等边三角形，则 的大小为（ ）
A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
【答案】C
【解析】
【分析】由 为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ = ∠AOB = ×60°=30°．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
4. 若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则a的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 或1
【答案】A
【解析】
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【分析】把 代入方程得出 ，再求出方程的解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
5. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 80° D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，
即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
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∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合
思想的应用，注意辅助线的作法．
6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形 的内心为三角形的三条角平分线的交点，
∴可以成功找到内心的是：
故选B．
7. 函数 和 （ 是常数，且 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二
次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解： 、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该
开口向下，故选项错误；
B、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向下，故选
项错误；
C、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，对
称轴 ，故选项正确；
D、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的对称轴 ，故选
项错误．
故选： ．
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为
圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与
t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：根据题意得 ， ，
即 ，是一次函数；
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⊙A的面积为 ，即 ，是二次函数
故选C
【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 的半径为 ，若点 到 的距离为 ，则点 在______（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
【答案】圆内
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系进行判断，点与圆的位置关系有3种，当
时，点在圆外，当 时，点在圆上，当 时，点在圆内．
【详解】 的半径为 ，P到圆心O的距离为 ，
即 ，
点P在圆内．
故答案为：圆内．
10. 二次函数 ，用配方法化为 的形式为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可．
【详解】∵y=-x2+2x-3
=-（x2-2x）-3
=-（x-1）2-2．
故答案为y=-（x-1）2-2．
【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．
11. 如图， 、 分别切⊙O于A、B， ，⊙O半径为2，则 的长为______．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解题关键是熟记切线长定理，得出 ，再利用勾
股定理求解；
连接 ， ，根据切线长定理得出 ，再利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 、 分别切⊙O于A、B， ，
∴ ， ，
为
∵⊙O半径 2，
∴ ，
，
故答案为： ．
12. 已知抛物线 经过点 ，则 ___ ．（填“＞”，“＝”，“＜”）
【答案】＞
【解析】
【分析】求出 的值即可判断．
【详解】解： 时， ，
时， ，
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∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
13. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 ， 夹角为 ， 的长为 ，则 的长为
______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式；根据弧长公式直接计算即可．
【详解】解： 的长为 ，
故答案为：
14. 如图，P是正方形 内一点，将 绕点C逆时针方向旋转后与 重合，若 ，
则 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据正方形和旋转的性质，推出 为等
腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．
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【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 绕点C逆时针方向旋转后与 重合，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
15. 如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三
边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为 米，面积为 平方米．写出 与 的函数关系式______，自变量
的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查二次函数 的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先
用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列
不等式组解题即可；
【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为 米，则矩形的长为 米，
则矩形的面积 ，
即y与x的函数关系式为 ；
∴ ，
解得： ；
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故答案为： ，
16. 如图，在 中， ，D是 内的一个动点，满足 ．若
， ，则 长的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了圆周角的性质和勾股定理逆定理，解题关键确定点D在以 为直径的圆上；
先根据勾股定理逆定理得出 ，再确定点D在以 为直径的圆上，当 经过圆心时值最小，
利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴点D在以 为直径的圆上，
取 中点O，连接 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ 长的最小值为1，
故答案为：1．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题6分，第27-28题，每小题
7分）
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式化简求值，由 是方程 的一个根，可得 ，把
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化简变形再代入即可求得答案．
【详解】 是方程 的一个根，
，
，
，
．
19. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．
作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，
交OP于点A；
②以A为圆心，AO为半径作圆，
交⊙O于点M；
③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接OM，
由作图可知，A为OP中点，
∴OP为⊙A直径，
∴∠OMP＝ °，（ ）（填推理的依据）
即OM⊥PM．
又∵点M在⊙O上，
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∴PM是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）补图见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）按要求作图.
（2）根据圆直径的性质、切线的判定定理进行证明即可.
【详解】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）证明：连接OM，
由作图可知，A为OP中点，
∴OP为⊙A直径，
∴∠OMP＝90°，（直径所对的圆周角是直角），
即OM⊥PM．
又∵点M在⊙O上，
∴PM是⊙O的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
故答案为90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题主要考查的是绘图能力、圆直径的性质、切线的判定定理，熟练掌握方法是本题的解题关键.
20. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
（1）根据题意 ，代入求解即可；
（2）求出 或 ，代入方程求解即可．
【小问1详解】
解：依题意得
；
【小问2详解】
解： 为正整数，
或 ，
当 时，方程为 的根 不是整数，
当 时，方程为 的根 ，都是整数，
故 ．
的
21. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 图象经过点 ．
（1）求此函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出当 时，函数 的取值范围．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）先求出二次函数图象与x轴的交点横坐标，由 ，可知对称轴为直线
，顶点坐标为 ，由 ，在图象与x轴的两交点之间，进而可得 ．
【
小问1详解】
解：将 ，代入 得， ，
解得， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，
解得， 或x=1，
∵ ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵ ， 在图象与x轴的两交点之间，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键是求出函数解析
式并数形结合．
22. 如图， 为 的弦， 于点 ，交 于点 ．若 的半径为 ， ，求 的
长．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，连接 ，根据 的半径为 ， ，由勾股定理求出
的长，再由垂径定理求出AB的长即可．
【详解】解：如图，连接 ．
，
， ．
在 中， ， ，
．
．
23. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，将
绕点O顺时针旋转 得到 ，点A的对应点为 ．
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（1）画出旋转后的图形 ，并写出点 ， 的坐标；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）详见解析， ， 的坐标
（2）
【解析】
【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度．
（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转 得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出 坐标；
（2）根据勾股定理得出 的长．
【小问1详解】
如图所示， 即为所求，
此时 ， 的坐标 ；
【小问2详解】
连接 ，如图， ．
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24. 已知：如图，在 中， ，D是BC的中点．以BD为直径作 ，交边AB于点P，连
接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是 的切线；
（2）若PC是 的切线， ，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得
，最后利用勾股定理求出PC的长．
【详解】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
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∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴ ．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些
性质是解决本题的关键．
25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一
部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度 （单位： ）与水平距离
（单位： ）近似满足函数关系 ．
（1）拱门上的点的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
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1
水平距离 2 3 6 8 12
0
竖直高度
4 5.4 7.2 6.4 4 0
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系
．
（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度 （单位： ）与水平距离
（单位： ）近似满足函数关系 ，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个
端点间的距离）为 ，“新拱门”的跨度为 ，则 __________ 填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由表格得当 时， ，当 时， ，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出 ，由 可求出 ，进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格得：
，
顶点坐标为 ，
，
，
解得： ，
．
【小问2详解】
解：由表格得
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当 时， ，
原拱门中： （ ）；
新拱门中：
当 时，
解得： ， ，
（ ），
，
．
故答案： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， 是抛物线 上的点．
（1）直接写出抛物线与 轴的交点坐标；
（2）当 时，求 的值；
（3）当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元一次不等式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）令 ，代入抛物线求得 值即可；
（2）利用抛物线的对称性求得对称轴，再计算求值即可；
（3）根据 ， ， ，将 的值代入列出不等式组，再求不等式的解即可．
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【小问1详解】
解：令 ，得：
抛物线与 轴的交点坐标(0,1)
故答案为：(0,1)．
【小问2详解】
解：当 时，由点 ， ，可得抛物线对称轴为
【小问3详解】
解：由 可得： ，解得： ，
由 可得： ，解得： ，
由 可得： ，解得： ，
当 时， ．
27. 在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异
侧），点D是射线 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
（1）如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段 ．若 ，则 的长为 （用含a的
式子表示）；
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①求证： ；
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②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）①详见解析；② ，详见解析
【解析】
【分析】（1）根据各角之间的关系得出 ，即可确定位置关系，画出 ；再由全
等三角形的判定和性质得出 ，即可得出结果；
（2）①过点A作 于点 点N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出
，再由其性质即可得出结果；②在 上截取 ，连接 ，由各角之
间的关系得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，
，即可得出结果．
【小问1详解】
当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 ，过点A作 于点M，如图1：
则 ，
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∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
①证明：过点A作 于点M、 点N，如图2：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图3：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运
用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的
最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．
已知：如图，点A( ，0)，B(0， )．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ．
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；
（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．
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【答案】（1）0， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得 ，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得
当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；
（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A
的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．
【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A( ，0)，B(0， )．
∴ ，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，
∴d（A，⊙O）＝ ，
∴d（B，⊙O）＝ ；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，
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∵点A( ，0)，B(0， )．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵d（⊙O，线段AB）=0，
∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，
∴r的取值范围是 ，
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，
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∵点A( ，0)，B(0， )．
∴ ，
∴ ，
∴∠OAB=60°，
∵C(m，0)，
当点C在点A的右侧时， ，
∴ ，
∴ ，
∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，
∴ ，解得： ，
当点C与点A重合时， ，
此时d（⊙C，线段AB）=0，
当点C在点A的左侧时， ，
∴
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，
∴ ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置
关系，点与直线的位置关系是解题的关键．
29. 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为 ，与y轴交于
点 ．在直线 上方的抛物线上存在点Q，使得 ，求点 的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求解析式，角度问题是解题的关键．
先利用待定系数法求解析式，再根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点
作 轴于点 ，则△ 是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
【详解】解：将 ， 代入 ，
得 ，
解得： ，
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抛物线解析式为 ；
对于 ，令 ，则
解得： ，
，
，
△ 是等腰直角三角形，
，
，
，
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
△ 是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
， ，
，
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解得： （舍去）或 ，
．
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