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初二上数学阶段练习 1
一、选择题（每题3分，共30分）．
1. 下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、有四条对称轴，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、有三条对称轴，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．一个图形的一部
分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
2. 已知点 与 关于 轴成轴对称，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. 7 D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点 与 关于 轴成轴对称，
故：A．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标相同，
纵坐标互为相反数，正确得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
3. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作
出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此
测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）A. SAS B. HL C. SSS D. ASA
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判
断方法．
【详解】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝
∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边
的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4. 如图，在 ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接
BD，下列结△论错误的是( )
A. B. BD平分
C. 图中有三个等腰三角形 D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，该选项正确；
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°-36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，该选项正确；
C、由A、B选项可以知道△ABC、△BDC、△ADB是等腰三角形，该选项正确；
D、根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，该选项错误．
故选D．
5. 如图，等腰 ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．
若点D为BC边△的中点，点M为线段EF上一动点，则 CDM周长的最小值为（ ）
△
A. 6 B. 10 C. 15 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解．
【详解】如图：
连接AD交EF于点M，
∵等腰△ABC的底边BC长为6，
点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=3，
∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，
∴AM=CM，此时△CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD
CD的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，
△CDM的周长最小．
∵S = BC•AD，
△ABC
∴ ×6•AD=36，
∴AD=12，
∴AD+CD=12+3=15．
故选：C．
【点睛】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂
直平分线的性质．
6. 如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠
无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ）
A. m+3 B. m+6
C. 2m+3 D. 2m+6
【答案】C
【解析】
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形
（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩
形的面积公式即可求出另一边长．
【详解】设拼成的矩形一边长为x，
则依题意得：（m+3）2－m2=3x，
解得，x=（6m+9）÷3=2m+3，
故选：C．
7. 下列多项式中，完全平方式是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据完全平方公式 进行逐一判断即可．
【
的
【详解】解：A、 不符合题意完全平方式 特点，不符合题意；
B、 不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
C、 ，是完全平方式，符合题意；
D、 不符合题意完全平方式的特点，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
8. 下列各式不能分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】选项A. =2x(x-2) .
选项B. =(x+ )2 .
选项C. ,不能分.
选项D. =(1-m)(1+m).
故选C.
9. 已知 ， ， ，则 的值为（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. 无法确定【答案】A
【解析】
【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再整体代入计算．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，平方差公式、完全平方公式的应用，关键是由
已知求得m+n的值．
10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜
90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数
（ ）
A. 随着θ的增大而增大
B. 随着θ的增大而减小
C. 不变
D. 随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C【解析】
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝
135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是
本题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）．
11. 如图，等腰 一腰 上的高 与底边 的夹角为 ，则顶角为______°．
【答案】74
【解析】
【分析】根据高的定义求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，根据等腰三角形的性质求出
，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：74．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的高的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和定
理的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
在
12. 中， ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，正确得到 推出 是解题的关键．
的
13. 已知在 中，三边长a，b，c满足 ，则a，b，c满足 关系
式是______．
【答案】
【解析】
【分析】由完全平方公式和平方差公式可得 ，再由 ，即可求a，b，c
之间满足的等量关系．【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、三角形两边之和大于第三边，熟练运用完全平方公式，平方差
公式分解因式，是解题的关键．
14. 如图， 、 分别平分 与 ， ，若 ， ，则 的
周长是______．
【答案】62
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，
从而得到 ，根据等角对等边可得 ，同理可得 ，然后求出 的
周长为 ，代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ 的周长 ，
故答案为：62．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，主要利用了等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，
熟记性质是解题的关键．
15. 如图，在 ABC中，AB=BC,∠ABC=30°，BD平分∠ABC交AC于点D,BC的垂直平分线EF交BC于点
E,交BD于点△F,若BF=6,则AC的长为____.
【答案】6.
【解析】
【分析】连接FC，根据等腰三角形的性质即可得：∠ABD=∠CBD= ∠ABC=15°，BD⊥AC，AD=CD，然
后根据垂直平分线的性质可得：FB=FC=6，根据等边对等角可得：∠FCB=∠FBC=15°，再利用三角形的
外角的性质求出∠DFC=30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出DC，从而求出AC.
【详解】解：连接FC
∵AB=BC,∠ABC=30°，BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=15°，BD⊥AC，AD=CD
∵EF垂直平分BC
∴FB=FC=6
∴∠FCB=∠FBC=15°
∴∠DFC=∠FCB＋∠FBC=30°
∴CD= FC=3
∴AC= AD＋CD=6
故答案为6.
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和直角三角形的性质，掌握等边对等角、三
线合一、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题
的关键.
16. 如图，在 中， ，将 ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，则 的度
△
数是 _____ ．
【答案】80
【解析】
【分析】由折叠的性质得到∠F＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，设 与 交于点H，
由折叠的性质得： ，
根据外角性质得： ， ，∴ ，即 ．
故答案是：80．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理求解角的度数是解
决问题的关键．
17. 如图， 是 的角平分线， ，垂足为E， 交 的延长线于点F，若
恰好平分 ， ．下列四个结论中：① ；② ；③ ；④
．其中正确的结论有______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定与性质可得到 ，故②③正确；通过
，得到 ，故①④正确．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ， ，故②③正确，
在 与 中，，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②③④.
【点睛】本题利用了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、平行线的性质求解，是一道综
合性的题目．
18. 如图，在长方形 的对称轴 上找点 ，使得 ， 均为等腰三角形，则满足条件的点
有_________个.
【答案】5
【解析】
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于
P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三
是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，
同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．
【详解】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，
故答案为:5.
【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.
三、解答题
19. 因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）【解析】
【分析】（1）用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；
（3）用提公因式法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可；
（5）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可；
（6）先将 看作一个整体，用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：∵ ，
∴ ；
【小问5详解】
解：
；
【小问6详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式 ，平方
差公式 ．
20. 已知：如图， 中，P、Q两点分别是边 和 的垂直平分线与 的交点，连接 和 ，
且 ．求 的度数．证明：∵P、Q两点分别是边 和 的垂直平分线与 的交点，
∴ ______， ．（____________）
∵ ，
∴在 中， ______=______（等量代换）
∴ 是______三角形．
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
又∵ 是 的外角，
∴ ______ ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴ ______．
【答案】 ；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ；等边； ； ．
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ， ，证明 是等边三角形，可得
，然后根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】证明：∵P、Q两点分别是边 和 的垂直平分线与 的交点，
∴ ， ．（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵ ，
∴在 中， （等量代换），
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
又∵ 是 的外角，
∴ ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴ ．
故答案为： ；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ；等边； ； ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及三角形外
角的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
21. 已知，在 中， ，点D，点E在BC上， ,连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，过点B作 ，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅
助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
【答案】（1）证明见解析；（2） 、 、 、 ．
【解析】
【分析】（1） 可得 ，进而利用SAS证明 ，即可得出结论；（2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ；
（2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个： 、 、 、 ．
证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，即： 是等腰三角形， ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 即： 、 是等腰三角形， ，
∵
∴∠DBF=∠C=45°， ，又∵ ，
∴ ，
∴ 、即： 是等腰三角形， ．
【点睛】本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题
关键．
22. 如图，甲长方形的两边长分别为 ， ；乙长方形的两边长分别为 ， ．（其中
为正整数）
（1）图中的甲长方形的面积 ，乙长方形的面积 ，比较： （填“<”、“=”或“>”）；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积 与图中的甲长方形面积
的差（即 ）是一个常数，求出这个常数；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于 、 之间（不包括 、 ）并且面积为整数，这样的
整数值有且只有16个，求 的值．
【答案】（1）>；（2）9；（3）9．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）根据矩形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意列出不等式，然后求解即可得到结论．
【详解】解：（1）图①中长方形的面积 ，
图②中长方形的面积 ，
， 为正整数，
最小为1，
，；
（2）依题意得，正方形的边长为： ；
则： ，是一个定值；
（3）由（1）得， ，
根据某个图形的面积介于 、 之间（不包括 、 ）并且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，
当 时，
，
为正整数，
．
【点睛】本题考查了完全平方方公式的几何背景，多项式的乘法，整式的混合运算，一元一次不等式，熟
记相关运算法则是解题的关键．
23. 等腰△ABC中， ， ，点D为边 上一点，满足 ，点E与点B位
于直线 的同侧， 是等边三角形．
（1）①请在图1中将图形补充完整；
②若点D与点E关于直线 轴对称， ______；
（2）如图2所示，若 ，用等式表示线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②（2） ；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意直接画出图形；②根据对称性判断出 ，再判断出 ，进
而求出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而根据 判断出 ，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①根据题意，补全图形，如图所示，
②当点D与点E关于直线 轴对称时，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：75°．
【小问2详解】
解： ；理由如下：
上取一点F，使 ， 与 的交点记作点H，如图所示：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，对称性，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等
三角形的判定和性质，作出辅助线，构造出 ，是解本题的关键．
附加题．（2分＋2分＋2分＋4分）24. 在等边 中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边 ，
下面四个结论中：
①存在无数个 是等腰三角形；
②存在无数个 是等边三角形；
③存在无数个 是等腰直角三角形；
④存在一个 在所有 中面积最小．
所有正确结论的序号是_____________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题．
【详解】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，
∵ 是等边三角形
∴AB=BC=CA，∠A=∠C=∠B=60°
∴AB-AM=BC-BN=CA-CP
∴AP=CN=BM
又∠A=∠C=∠B=60°
∴△AMP≌△CNP≌△BMN
∴MP=PN=MN
∴△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．
如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图
3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 已知 ， ， 是正整数， ，且 ，则 _________
【答案】1或11
【解析】
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】a2﹣ab﹣ac+bc=11
(a2﹣ab)﹣(ac﹣bc)=11
a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=11
(a﹣b)(a﹣c)=11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，又∵a，b，c是正整数，
∴a﹣b=1或11，a﹣c=11或1．
故答案为：1或11．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，我们把 定义为 和
两点之间的非常距离，在图2，图3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如图2，， ，我们把到M、N两点非常距离相等的所有点组成的图形叫做
M，N两点间的“非常垂直平分线”．如图3， ______，并在图3中画出M、N两点间的“非
常垂直平分线”．
【答案】4，作图见解析
【解析】
【分析】根据 和 两点之间的非常距离的定义解决问题即可．根据“非常垂直平分线”
的定义，画出满足条件的点即可．
【详解】解：由题意： ，
满足条件的点组成的图形如图所示：
故答案为：6．
【点睛】本题考查作图−应用与设计， 和 两点之间的非常距离的定义等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27. 在等边 的外侧作直线 ， ，点C关于 的对称点为D，连接 、 、 ．（1）如图1，若 ，直接写出 的度数；
（2）如图2，若 ，过点D作 交直线 于点E，求证： ．
【答案】（1） 的度数为30°
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称性和等边三角形的性质即可求解；
（2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，轴对称的性质，用 表示 ，
得出 ，证明 ，再利用余角的性质证
明 ，最后利用 证明 即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵点C关于 对称点为D，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
的
答： 度数为30°．
【小问2详解】
证明：∵点C关于 对称点为D，
∴ ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质、对称性，三
角形内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明 ．
