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吕梁市 2024-2025学年第 一学期阶段性测试数学答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.答案：D . 解： }
2
2.答案：A. 解： x < 2 ⇒− 2 <， x < 2, ∴ A. ∩ B = − 1,01
2
3.答案：C. 解：选项 A 为偶函数；选项 B 在 )和 )上是减函数，在定义域内不
z = (1 + i) = 2i ∴ z = 2
是减函数；选项 D 在定义域内是增函数. −∞, 0 0 , + ∞
6
4.答案：B. 解：若数列 是等比数列，则 ,若
2 2
6 +
，则an 数列 不一定是an 等 =比 a数 n−2 列 a， n+2 如(n： ∈1 ，N2,， n 3≥， 36)， 9，a1 n 8 ，=27，54，
81 满足 + ，但数列( ) 不是等比数列.
an−2 an+2(n2 ∈ N , n ≥ 3) an
⋯ an = an−2 an+2 an
5.答案：C. 解：如图，在 中，向量 在向量 上的投影向量为 , 所以
ΔABC
, 点 N 为 BC 边上靠近点 C 的四等分点，又因为 , 所以
ሮ
⊥ ⊥ ∆ANC~∆BAC
设 CN=a,则 AC=2a, AN = a ，又因为 故点 M 为 BC 边上靠
= B + ,
近点 B 的四等分点， 在 中， ∠ .
6.答案：A. 解：设 ∴ MN = 2a, 则Rt∆AMN tan CM,A故 = ΔA BP 的周长
AB = x, BP = m, AP = PC = 4 − x − m
，由勾股定理得 ,所以 ΔABP 的面积 ,所以 ，
2 x
l = 4 m = s = x = x 4 x
4
由 得 令 则
0
0 < x < 2 , 4 − x = t , 2 < t < 4 , = 3 = 3 − +
) , 当且仅当 即 时取等号 .
x x
≤ 3 − 2 2 = t = 2 2
7.答案：D. 解：由 f(x) 为奇函数且 f(x + 1) 为偶函数，得 4 为 f(x) 的周期，又因为
0 < x < 1时 知 f(x) 在 0 < x < 1上为增函数 且 )
， ， ，
2x 2∙
f(x) )= 3 + 2x − )1 ) ) f ) = 3(+ 2 ∙
，由 , 得 A 错；由
4
1) = 3 f 14 = f 12 + 2 = f 2 = f 0 = 0 < 3 f = f 4+3
= f =
) ) 所以 B 错误 . 由 , 知 ) ) , 得 C 错误；由
f > f = 3 ln3 − 1 < 1 f ln 3 > f = 3
,
) 9 ) 9 , 而 , 所 以 9 , 得 D 正确；
8 8 8
f log 2 1 8 = f 4 + log2 = f(log2) log < f log2 < f = 38.答案:B
解： y = sin(π 一 ) = siny = sin x e[0,
如图所示，画出 在 的图象，
2π]
对于 f(x) = 2sin(负x 一 )(负 > 0) f(0) = 一 , f(x) = 2
, max
π (3k + 1)π
f(x) = 0, 得负x 一 = kπ, 所以x = (k eZ)
由
3 3负
.
y = sin
有4 个交点，
y = 2sin(负x 一 )(负 > 0)
因为曲线
与
10 π 13 π 5 13
由图知， 3负 < 2π < 3负 , 解得 3 <负 6 .
<
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
的得 0 分.
9.答案：AC.
解：对于选项 A， ) ) ，所
1 sinθ cosθ 2 2
sinθcosθ tanθ + tanθ = sinθcosθ cosθ + sinθ = sin θ + cos θ = 1
以 A 正确；
对于选项 B ) s ) 0
，
° ° 0°
in100
0 sin10
3cos100
sin40 tan10 − 3 = sin40 cos10 0 − 3 = sin40 ∙ c 10 0 =
0 2sin 1 00 600 ) 2si co s400 80 0
所以 B 错误；
s对in于40选项∙ C， os1在等差=数 −列 cos1}0中0 ，= − cos10 0 = − 1
,
an an = a1 + n − 1 d = m, am = a1 + m − 1 d = n, 所 ∴ 以 d = C − 正
1确, ；a1 =对 m于 选+ n项 − D 1，, ∴在 a等m+差n 数 = 列a1 + }m中 +， n −， 1 d = m ，+ n − 1 − ，m + n − 1， =仍 0然 成等差数
列，所 an S4 S8 − S4 S12 − S8 S16 − S12
以 ，D 错误.
S16 = 12
10.答案：ACD
解：对于 A 选项，由 x2 + y2 一 2 = xy < . , 得x2 + y2 < 3, 所以A正确；
对于 B 选项，由 x2 + y2 = 2 + xy 之 2xy , 得xy < , 所以B错误；
对于 C 选项，由 x2 + y2 一 xy = 2 ，2
得 (x + y)2 - xy = 2, 所以(x + y)2 - 2 = xy < . ，得 x + y 之 - ，所
以 C
正确；
2
2 2
对于 D 选项， x + y - xy = 2 ,
3
2
(x + y)2 - xy = 2, 所以(y - x)2 - 2 = - xy < . ，得 - < y - x <
，所以
D 正确.
法二：设 t = y - x, 则y = x + t ，
所以 x2 + (x + t)2 - x(x + t) = 2, 即 x2 + tx + (t2 - 2) = 0
由 Δ 之 0 , 得 - < t < ， 所以 D 正确 .
11.答案：BCD
解：由函数 f(x) = -ln x的定义域为（0,1）不（1，+ 伪），
且 f,(x) = - - < 0 ，所以 f(x)的单调递减区间为（0,1）,（1，+ 伪）
e + 1 2 e + 1
= 1 < 0, f(e) = 1 >
对于 A 选项，令 a = , b = e ，可得 + 1 - e= 1 - e e - 1 0,
+
f( ) 所以 f( ) < f(e) ，所以 A 错
误；
+ 2 = 1 + > 0, f( ) < 0 ，所以
f(x) 在
对于 B 选项，由f( ) = -ln
=
x
（0,1）上有一个零点，
又 f(e) > 0, f(e2 ) = - 2 = - 1
<
B 正确；
对于 C 选项，由 f( ) = -ln =0 ，所以 f(x) 在(1,+伪) 上有一个零点，所
以
+ ln x ，所以 f( ) + f(x) = 0 ，
因为log 2024 = 1
2023
所以 f(log 2024) + f(log 2023) = 0 ，所以 C
log 2023 2023 2024
2024 ， 正
确；b 1
e b e 一 +
对于 D 选项， f(a) = b 一 = 1 一 ln e一b = 一 ln e一b = f(e一b ) ，
1 一 b e b 1
因为b e (0, +伪) ，所以0 < e一b < 1 ，
因为a e(0, 1) ，所以a = e一b ，即aeb = 1 ，所以 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.答案：1
解：由题意知 + 2 = ( 2 + 2m, 6 ) ，因为 ( + 2 ) / / ，可得2根 6 = 3 ( 2 + 2m ) ，解得m
= 1，
13. 答案： 222 一 3
解：
：a + a = 3 . 2n
n+1 n
:a 一 2n+1 = 一(a 一 2n )
n+1 n
a 一 2n+1
: n + 1 = 一
an 一 2n 1
{ }
: a 一 2 n 是以一 1 为 首 项 ， 一 1 为等比的等比数列
n
:a 一 2n = (一 1)n , 即a = (一 1)n +1 2n2
n n
2( 一 21)
:s = 21 + 22 + ... + 221 一 1 = 一 1 = 222 一 3
21
1 2
14. 答案： ( , )
因为b2 一 a2 = ac ，由余弦定理得b2 = a2 + c2 一 2ac cosB ，所以ac = c2 一 2ac cosB ，
即c = 2a cos B + a ，
由正弦定理得sin C = 2sin Acos B + sin A ，所以
sin A = sin(A + B) 一 2sin A cos B = sin A cos B + cos Asin B 一 2sin A cos B = cos Asin B 一 sin A
cos B
= sin(B 一 A) ，
因为 ΔABC 为锐角三角形，所以 A = B 一 A ， B = 2A ， C = π 一 3A ，
( π ) ( π π ) ( π π
由 A, B, C e) | 0, | ，得 A e| , | ， B e | , | ，
（ 2 ) （ 6 4 ) （ 3 2 )
由 < A < , 得 < cosA < ，得，即 < < ，
令 t = , t e ( , ) ，a
:令
+
b = t + = g (t ) ，
则g (t) 在t e(
,
) 上单调递增
，
: g(t) e ( , ) ，即 + 的范围是( , ) .
法二： 因为b2 - a2 = ac, 由正弦定理得 sin2 B - sin2 A = sin Asin C,
所以sin（A + B）sin（B - A）= sin Asin C,
所以sin（B - A）= sinA.
下同法一.
四、解答题 :本题共 6 小题,共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.答案：（1）Q =
min ；（2） .
f(x) = 2 sin Φx cosΦx - 2 cos2 Φx + 1 = 3 sin 2Φx - cos 2Φx = 2 sin(2Φx -
解：
)
.....................................2 分
2 π
由T
2Φ= π, 得Φ = 1, 故f(x) = 2 sin(2x - )
=
. ........................................................3 分
g(x) = 2 sin(2(x -Q) - ) = 2 sin(2x - 2Q - )
( 1) . ..................................................4
分
由g(0) = 士2, 得sin(2Q + ) = 士1, 所以2Q + = + kπ,Q = + , k eZ
，....5 分
即Q
min
=
. ..............................................6 分
f(x) = 2 sin(2x - )
（2）由（1）知，
: θe 0, , :2θ- e -
由f(θ) = 2 sin(2θ- ) = , 知sin(2θ- ) ,
=5
3
..............................................7 分
:cos(2θ- ) = 4
5 ................................................................................9 分
:cos 2θ = cos((2θ- ) + ) = cos(2θ- ) cos - sin(2θ- ) sin =
13
分一 < a < 一5 .
16.答案：（1）略；（2）
解：（1）令h(x) = f(x + 1) = log(x2 + 1) .......................................................................2
分
由h(一x) = h(x) ，得h(x) 为偶函数，所以h(x) 的图象关于 y 轴对称，.................4
分
即f(x) 的图象关于x = 1 对称，故得证........................................................................6
分
（2） g(x) =
+ x2 一 4x + a + 2 ............................................7
分
x3
一 a = x3 + x2 一 4x + 2 .......................................................................8 分
由g（x）= 0
得，
[ ]
令h(x) = x3 + x2 一 4x + 2 x e 一 33
, ,
所以h,(x) = 2x2 + 2x 一 4 = 2(x + 2)(x 一 1)
由h,(x) > 0, 得 一 3 < x < 一2或1 < x < 3 ，由h,(x) < 0, 得 一 2 < x < 1
.........................9 分
h（ 一 3）= 5, h(一2) = , h(1) = 一 , h(3) = 17
.............................................................11 分
：g(x)在[一 3,3]上有三个零点
26
：5 < 一a <
3 .................................................................................. 14
分
一 < a < 一5
即
..........................................................................15 分
=
17.答案:( 1) + 4 km ;(2)：tan 经PBA = km2
(3) .
PB BC
解 ： （ 1 ） ΔPBC中，由正弦定理，得 = , 所
sin经PCB sin 经 BPC 以
PCB
3
sin 经 sin120。, 即经PBC = 30。，所以经PBA = 60。.....................................2
分
ΔPAB 中，由余弦定理，得PA 2 = PB2 + AB2 一 2PB . BA . cos经PBA
所以 ， PA = ， ......................................................................... 4 分即护栏长度为 + 4 km
........................................................................
5
分
π
(2)设经PBA = c, 则经PBC = 一 c, 经 = c 一
6
PCB
3
ΔPBC中，由正弦定理，得
PB sin120。 , 所以PB = 2 sin(c 一 ) ..7
分
= sin(c 一
)
ΔPAB 中，由正弦定理，得 =
sin 一 c）
:3sin(c 一 ) = 3 sin( 一 c)
: 3 sinc = 2 cosc ，即tan c = .
: tan 经PBA = . ..................................................................10
分
（3）设经PBC = β(0 < β < ), 则经PCB = 一 β
B
ΔPBC中，由正弦定理，得 = PB = 2 sin( 一
在 ,所以
sin (|（ 一 β
β)
:S = PB BC s in β = 3 sin( 一 β) sin β = 3 ( sin βcosβ 一 sin2
ΔPBC
β)
= 3 ( sin(2β+ ) 一 ) = sin(2β+ ) 一 ............................................... 13
分
由0 < β < 得， < 2β+ < .:当2β+ = ，即β = 时，（S ） =
PBC max
即露营区的最大面积为 km2 ...............................................................................15
分
18.答案：（1）当m 之 0时，g(x)的单调递增区间为（0，+ m）.当m < 0时,
一 1 一 一 8m 一 1 一 一 8m
g(x)的单调递增区间为（0， ），单调递减区间为（ ，
4m 4m
+ 伪）.
（2）略.
解：（1）g(x) = ln x + mx2 + x + m ( x > 0 )................................................................1 分
g,(x) = + 2mx + 1 = .............................................................................2 分
1。当m 之 0时 g,(x) > 0恒成立
：g(x)在（0，+ 伪 ）上单调递增 ..................................................................................4 分
一 1 土 1 一 8m
2 。当m < 0时 由g,(x) = 0, 得x =
4m
一 1 + 1 一 8m 一 1 一 1 一 8m
：x = < 0, x = > 0
1 2
4m 4m
一 1 一 1 一 8m 一 1 一 一 8m
：g(x)在（0， ）上单调递增，在（ ，+ 伪）上单调减
4m 4m
..6 分
综上：当m 之 0时，g(x)的单调递增区间为（0，+ 伪）.
当m < 0时,
一 1 一 一 8m
g(x)的单调递增区间为（0， ），单调递减区间为 一 1 一 一 8m
4m ，+
4m
(
伪）.
...................................................................7 分
（2）f(x) 的定义域为(0,+伪) ，f,(x) = ln x + m + 1
由f,(x) > 0, 得x e (e一m一1 ,+伪);由f,(x) < 0, 得x e (0, e一m一1 )
..........................................9 分因为当x e (0, e一m )时，f(x) < 0 ，
所以0 < x < e一m一1 < x < e一m , 所以ln x + m < 一 1 < ln x + m < 0
1 2 1 2
...........................10 分要证
x 1 x 2 < e-2-2m , 即 ln x 1 + ln x 2 < -2 - 2m , 即证ln x 1 + m + ln x 2 + m < -2 .
证
由f(x ) = f(x ) 得，x (ln x + m) = x (ln x + m)
1 2 1 1 2 2
即eln x 1 (ln x + m) = eln x 2 (ln x + m) ，从而eln x 1 + m (ln x + m) = eln x 2 + m (ln x + m) ..... 11
1 2 1 2
分
令t = ln x + m, t = ln x + m ，则有et 1 t = et 2 t
1 1 2 2 1 2
构造函数h(t) = tet (t < 0) ，则h,(t) = (t + 1)et 12 分
..................................................................................................
h(t)在（ - 伪，- 1）上单调递减，在（ - 1，0）上单调递增 ........... 13 分
下证t + t < -2 ，只需证t < -2 - t ，由于t ,-2 - t e (-伪,- 1)
1 2 1 2 1 2
只需证h(t ) > h(-2 - t ) ，只需证h(t ) > h(-2 - t
1 2 2 2
)
令Q(t) = h(t) + h(-2 - t), (- 1 < t < 0)
Q,(t) = h,(t) + h,(-2 - t) = (t + 1)(et - e-2-t ) > 0
从而得证..............................16 分
所以Q(t) 在(- 1,0) 上递增，所以Q(t) > Q(- 1) = 0
，
.................................... 17 分
于是ln x + m + ln x + m < -2
1 2
所以x x < e-2-2m
1 2
19.答案：（1）数列{a }不具有M(1) 性质；数列{a }具有
n n 性质.
M(4)
1 2
（2）略（3） (m2 - 3m + 2) . ( n , )
n
解：(1)因为a =〈
n
| n - n 之 3, n e N* )
，所以数列{a }不具有M(1) 性质；
n
：a - a = 4, 且a - a = 4(k 之 1)
5 3 5+k 3+k
a - a = 5 - 4 = 1 ，但a - a = 7 - 1 = 6 士
5 2 6 3
1 ，
故数列{a }具有M(4)
n 性质.
...........................................................2 分
.........................................................5 分(|2n (n = 1 ,
（2）证明：因为 a =〈2)
n |l2n - 5(n> 3, n = N* )
:a = 2, a = 4为偶数 ， n > 3时，a 均为奇数 ，故由题设条件知 t 不可能为奇数
1 2 n
又：a - a = 2n(k > 0, n > 1)
3+k+n 3+k
: b = 2n ， .................................................. 7 分
n
令c = = = < ，..................................................... 10
n
分
n
则S = c < Σ < 1+ + + … + = 2(1 - ) < 2 ；........................
n n
i- 1 12 分
(3)因为数列{a }具有M(0) 性质，所以一定存在一组最小的m, k ,且m > k ，满
n
足
a - a = 0 ，即a = a ，
m k m k
由性质M(0) 的定义可得：a = a , a = a , … , a = a , a = a ,
m+1 k +1 m+2 k +2 2m k 1 m-1 2m-k m
所以数列{a }中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：a , a , … a 为一个
n k k +1 m-1
周
期 中的各项 ，所以数列 {a } 中最多有 m - 1 个不同 的项 ，所以 T 中最
n
多有
C 2 = (m2 - 3m + 2) 个元素. ...................................................... 17
m-1
分
