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北京市西城区第一五六中学 2021-2022 学年七年级上学期期中数学试
题
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
【答案】C
【解析】
【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是 ．
故选C．
2. 北京大兴国际机场航站楼形如展翅的凤凰，航站楼主体占地面积1030000平方米. 将1030000用科学记
数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将1030000用科学记数法表示应为1.03×106，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据有理数的混合运算法则将选项分别计算即可得出结果．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解本题的关键．
4. 如果单项式 与 是同类项，那么 ＝（ ）．
A. －9 B. 9 C. －4 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可求得m，n的值，继而可求
出答案．
【详解】解：由题意可知：2m=4，1=n+3，
∴m=2，n=-2，
∴原式=（-2）2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
5. 若 ，则 的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. 4 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用绝对值、平方的非负性，可得：m−3＝0，n＋2＝0，据此求出m、n的值，即可求出m＋2n
的值．
【详解】∵|m−3|＋（n＋2）2＝0，
∴m−3＝0，n＋2＝0，解得：m＝3，n＝−2，
∴原式＝3＋2×（−2）
＝3−4
＝−1
故选：A．
【点睛】此题主要考查了含有字母的算式的求值问题，采用代入法即可，解答此题的关键是求出m、n的
值各是多少．
6. 下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项合并法则可判断A，根据同类项识别可判断B，根据去括号法则可判断C，根据整式
加减运算法则可判断D．
【详解】解：A. ，故选项A不正确；
B. 不是同类项，不能合并，故选项B不正确；
C. ，故选项C不正确；
D. ，故选项D正确
故选D．
【点睛】本题考查同类项识别，合并同类项法则，去括号法则，整式加减，掌握同类项识别，合并同类项
法则，去括号法则，整式加减是解题关键．
的
7. 如果关于x 方程 和方程 的解相同，那么a的值为（ ）．
A. -5 B. 5 C. 6 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先解方程2x+1=3，求得x的值，因为这个解也是方程ax-4=1的解，根据方程的解的定义，把x代
入求出a的值．
【详解】解：解方程2x+1=3得x=1，把x=1代入方程ax-4=1，
解得a=5．
故选：B．
【点睛】本题考查同解方程，解题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程
左右两边相等的未知数的值．
8. 在下列式子中变形正确的是（ ）．
A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么ac=bc D. 如果 ，那么
【答案】C
【解析】
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、如果 ，那么 ，原变形错误，不符合题意；
B、如果 ，且 时，那么 ，原变形错误，不符合题意；
C、如果 ，那么ac=bc，正确，符合题意；
D、如果 ，那么 ，原变形错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边都加或减同一个数，结果不变，等式的两边都乘以或除以同
一个不为零的数，结果不变．
9. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示. 若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得 a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得
答案．
【详解】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、 ＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是
解题关键，又利用了有理数的运算．
10. 规定： ， ．例如 ， ．下列结论中：①
若 ，则 ；②若 ，则 ；③能使
成立的 的值不存在；④式子 的最小值是7．其中正确的所有结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可．
【详解】解：①若 ，即 ，
解得： ，
则 ，符合题意；
②若 ，则 ，符合题意；③若 ，则 ，即 或 ，
解得： ，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；
④式子 的最小值是7，符合题意．
正确的所有结论是：①②④．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数值，以及绝对值，弄清题中的新规定是解本题的关键．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11. 1.804精确到百分位的结果是__________．
【答案】1.80
【解析】
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：1.804精确到百分位的结果是1.80；
故答案为：1.80．
【点睛】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是解题的关键．
12. 两片棉田，一片有 公顷，平均每公顷产棉花 千克；另一片有 公顷，平均每公顷产棉花 千克，
则用式子表示两片棉田上棉花的总产量为__千克．
【答案】（am+bn）##（bn+am）
【解析】
【分析】根据一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，可
以得到两片棉田上棉花的总产量，本题得以解决．
【详解】解：∵一片有m公顷，平均每公顷产棉花a千克；另一片有n公顷，平均每公顷产棉花b千克，
∴两片棉田上棉花的总产量为：（am+bn）千克，
故答案为：（am+bn）．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13. 在数轴上的点A表示的数是﹣3，则与点A相距4个单位长度的点表示的数是_______．
【答案】1或﹣7##-7或1
【解析】
【分析】此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点 的左侧或右侧．【详解】解：若点 在 右侧，则点 为1，
若点 在 左侧，则点 为 ，
则与点 相距4个单位长度的点表示的数是1或 ，
故答案是：1或﹣7．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，解题的关键是掌握点在已知点的左侧时，用减法；要求的点在已
知点的右侧时，用加法．
14. 已知方程 是关于x的一元一次方程，则m ＝______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据方程中未知数的次数是1，系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得，m+2=1，
所以，m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，这是这类
题目考查的重点．
15. 已 ，则多项式 的值为______．
【答案】-6
【解析】
【分析】对原式添加括号变形，再整体代入条件即可．
【详解】原式 ，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查添括号法则，以及整式求值，熟练运用添括号法则以及整体思想是解题关键．
16. 比较下列两组有理数的大小，用“＞”、“＜”或“＝”填空．-2_____ ， _____
【答案】 ①. ＜ ②. =
【解析】【分析】两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．根据相反数的定义以及绝对值的性质分别把两个数
化简后，再比较大小即可．
【详解】解：∵|−2|=2，|− |= ，2＞ ，
∴−2＜− ；
∵-（-1.5）=1.5，+|- |= =1.5，
∴-（-1.5）=+|- |．
故答案为：＜，=．
【点睛】本题主要考查了有理数的比较大小，熟练掌握相反数与绝对值的定义是解答本题的关键．
17. 多项式 的次数是_________，最高次项的系数是_________．
【答案】 ①. 六 ②. －7
【解析】
【分析】多项式的次数是多项式中最高次项的次数，含有几项就是几项式．据此作答．
【详解】解：∵由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，
∴多项式 的最高次项是-7x4y2，
∴多项式 的次数是六次，最高次项的系数是-7，
故答案为：六，-7．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确确定多项式中各项是解题关键．解答此题 的关键是熟知以下概
念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次
数，叫多项式的次数．
18. 已知一个长为 ，宽为 的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2
的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是_______. ( 用含 的代数式表示)【答案】
【解析】
【分析】阴影部分的正方形的边长=小矩形的长-小矩形的宽；
【详解】解：阴影部分的正方形的边长可表示为：3a-a=2a；
故答案为：2a
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的法则是解题的关键
19. 如果代数式 中不含 项，则 ＝______________．
【答案】
【解析】
【分析】先将代数式化简，再由代数式中不含 项，可得到关于 的方程，即可求解．
【详解】解：
∵代数式 中不含 项，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，以及无关项问题，根据题意得到 是解题的关键．
20. 如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放．根据图中小正方形的排列规律解答下列问题：（1）第5个图中有_____个小正方形；
的
（2）写出你猜想 第n个图中小正方形的个数是_____（用含n的式子表示）．
【答案】 ①. 41 ②.
【解析】
【分析】（1）观察图形可知，观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有
小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…，据此可得；
（2）由（1）知第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n．
【详解】解：（1）∵第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
∴第5个图形共有小正方形的个数为6×6+5=41，故答案为：41；
（2）由（1）知第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，
故答案为：（n+1）2+n．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或
“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变
化规律，从而推出一般性的结论．
三、解答题（本题共32分，每小题4分）
21. 计算：
（1）
（2）
（3）（4）
【答案】（1）－19；（2）3；（3）－3；（4）
【解析】
【分析】（1）写成省略加号和的形式，再同号相加，最后计算异号加法即可；
（2）先把带分数化为假分数，同时化除为乘，再确定积的符号，计算积的绝对值即可；
（3）利用乘法的分配律简算乘开，再计算乘法，然后加减法即可；
（4）先乘方，再计算括号内的，最后计算加法即可．
【详解】解：（1） ，
= ，
= ，
=-19；
（2） ，
= ，
= ，
=3；
（3） ，
= ，
= ，
= ，=-3；
（4） ，
= ，
= ，
= ．
【点睛】本题考查有理数的混合计算，掌握含乘方的有理数混合计算法则，先乘方，再乘除，最后加减，
有括号先计算小括号，中括号，大括号，能简便运算可以简算．
22. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x＝－9；（2）x＝3
【解析】
【分析】（1）移项，合并，系数化1即可；
（2）去括号，移项，合并，系数化1即可．
【详解】解（1） ，
移项得： ，
合并得： ，
相似化1得： ；
（2） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，系数化1得： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法与步骤是解题关键．
23. （1）化简：
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
【分析】（1）直接合并同类项即可；
（2）先去括号，合并同类项，再代入字母的值，计算即可．
【详解】解：（1） ，
= ，
= ；
（2） ，
= ，
= ，
当 时，
原式= ．
【点睛】本题考查整式的加减，整式加减化简求值，掌握整式的加减运算法则，代数式求值方法，以及含
乘方的有理数运算是解题关键．
四、解答题（本题共18分，每小题6分）
24. 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值等于2，求： 的值．【答案】8或0
【解析】
【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义分别求出a+b，cd以及m的值，代入所求式子计算即可求
出值．
【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值等于2，
∴a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．
当m＝2时， = ；
当m＝－2时， = ．
所以 的值为8或0．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关
键．
25. （6分）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|=|c|．
（1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c；
（2）化简：|a+b|﹣2|a|﹣|b+c|．
【答案】（1） ；（2）0
【解析】
【分析】（1）根据数轴上点的位置判断即可；
（2）判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：（1）根据数轴得： ；
（2）由图可知： ， 与 互为相反数，即 ，
∴原式= ．
26. 对于任意四个有理数 ， ， ， ，可以组成两个有理数对 与 ．我们规定：．例如： ．根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对 ______；
（2）若有理数对 ，则 ______
（3）当满足等式 的 是整数时，求整数 的值．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ， ， ，
【解析】
【分析】（1）根据新定义可得 ，计算即可求解；
（2）根据题意可得 ，得到关于x的一元一次方程，求
解即可；
（3）由题意可得 ，解得 ，根据 是整
数且k是整数，求解即可．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）根据题意可得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1；
（3）∵ ，
整理可得 ，
∴ ，∵ 是整数，k是整数，
∴ 或 ，
∴ ， ， ， ．
【点睛】本题考查新定义问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
五、附加题（本题共10分，第1题4分，第2题6分）
27. 阅读下列材料：根据绝对值的定义， 表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两
点P、Q表示的数为x，x 时，点P与点Q之间的距离为PQ ＝ ．
1 2
根据上述材料，解决下列问题：
如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动
点，表示数m．
（1）AB ＝ 个单位长度；
（2）若点M在A、B之间，则 ＝ ；
（3）若 ＝ 20，求m的值；
【答案】（1）12；（2）12；（3）m＝－8或12
【解析】
【分析】（1）代入两点间的距离公式即可求得AB的长；
（2）依据点M在A、B之间，结合数轴即可得出m-(-4)=m+4＞0，m-8＜0，然后化去绝对值合并同类项即
可；
（3）由（1）的结果可确定点M不在A、B之间，再分两种情况讨论，化简绝对值，得出关于m的方程，
解方程即可．
【详解】解：（1）∵点A、B表示的数分别是﹣4、8，
∴AB＝ ＝12，
故答案为：12；
（2）∵点M在A、B之间，
∴m-(-4)=m+4＞0，m-8＜0，
|m+4|+|m－8|=m+4+8-m=12，故答案为12；
（3）由（1）知，点M在A、B之间时，|m+4|+|m－8|=12≠20，不符合题意；
当点M在点A左边，即m<﹣4时， ， ，
∴﹣m﹣4﹣m+8＝20，
解得m＝﹣8；
当点M在点B右边，即m>8时， ， ，
∴m+4+m﹣8＝20，
解得m＝12；
综上所述，m的值为﹣8或12；
【点睛】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和一元一次方程的求解，熟练进行绝对值的化简、灵
活应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
28. 阅读理解：若 、 、 为数轴上三点，若点 到 的距离是点 到 的距离的 倍，即满足
时，则称点 是“ 对 的 相关点”．例如，当点 、 、 表示的数分别为0，
1，2时， ，则称点 是“ 对 的2相关点”．
（1）如图1，点 表示的数为 ，点 表示的数为2．表示1的点 到点 的距离是2，到点 的距离是
1，那么点 是“ 对 的2相关点”；又如，表示0的点 到点 的距离是1，到点 的距离是2，那么
点 “ 对 的2相关点”，但点 “ 对 的2相关点”；（请在横线上填是或不是）；
（2）如图2， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为4．在数轴上，数
所表示的点是“ 对 的3相关点”；
（3）如图3， 、 为数轴上两点，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁
从点 出发，以每秒4个单位的速度向左运动，到达点A停止．当经过多少秒时， 、 和 中恰有一
个点为“其余两点中一点对另一点的2相关点”？【答案】（1）不是，是；（2） 或7；（3）5秒或7.5或10秒
【解析】
【分析】（1）根据“A对B的2相关点”的定义和“B对A的2相关点”即可求解；
（2）根据“M对N的3相关点”的定义列方程即可求解；
（3）根据题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60-4t，由“A对B的2相关点”的定义可知：分两种情况
列式：①PB=2PA；②PA=2PB；可以得出结论．
【详解】解：（1）∵表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
那么点D不是“A对B的2相关点”，但点D是“B对A的2相关点”；
故答案为：不是，是；
（2）∵点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．设点C的坐标为x，
依题意得： ，
解得：x= 或7，
∴数 或7所表示的点是“M对N的3相关点”；
故答案为： 或7；
（3）由题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60-4t，
点P走完所用的时间为：60÷4=15（秒），
分四种情况：
①当PA=2PB时，即2×4t=60-4t，t=5（秒），P是“A对B的2相关点”，的
②当PB=2PA时，即4t=2（60-4t），t=10（秒），P是“B对A 2相关点”，
③当AB=2PB时，即60=2×4t，t=7.5（秒），B是“A对P的2相关点”，
④当AB=2AP时，即60=2（60-4t），t=7.5（秒），A是“B对P的2相关点”，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为“其余两点中一点对另一点的2相关点”．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=
时间×速度，认真理解新定义是解题的关键．
