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2019-2020 学年北京市通州区七年级第二学期期中数学试卷
一、选择题
1. 已知两个不等式的解集在数轴上如图所示,则由这两个不等式组成的不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可根据不等式组解集的数轴表示法：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括
该点用“＜”，“＞”表示，大于向右，小于向左．再观察相交的部分即为不等式组的解集．
【详解】解：观察数轴可得，这个不等式组的解集为 ，
故选D．
【点睛】本题考查不等式组解集的表示方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，
≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
2. 下列运算：①x2•x3＝x6；②x2+x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（﹣3x）2＝9x2中，正确的是（ ）
A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及整式的加减的计算法则进行计算，进而得出答案．
【详解】解：x2•x3＝x2+3＝x5，因此①不正确；
根据整式加减的计算方法，合并同类项可得x2+x2＝2x2，因此②正确；
（x2）3＝x2×3＝x6，因此③正确；
（﹣3x）2＝（﹣3）2•x2＝9x2，因此④正确；
因此正确的有：②③④，
故选：A．
【点睛】考查整式加减、整式乘除的计算方法，掌握计算法则是正确计算的前提．
3. 解方程组 时，由①﹣②，得（ ）
A. ﹣2n＝1 B. ﹣2n＝3 C. 8n＝3 D. 8n＝1【答案】C
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法变形得到结果，即可作出判断．
【详解】解：解方程组 时，
由①﹣②，得8n＝3．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4. 如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能
是（ ）
A. 15 cm B. 5.5cm C. 5cm D. 4cm
【答案】D
【解析】
【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论．
【详解】解：直线l外一点P到l的距离PB的长为5cm，点A是直线l上的一点，
那么线段PA的长最短等于5cm，
故不可能是4cm，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念，熟练掌握点到直线的距离的概念是
解题的关键．
5. 如果x＜y，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A. ＞ B. ﹣x＞﹣y C. x+1＞y+1 D. x﹣c＞y﹣c
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、由x＜y，可得 ，故本选项不成立，不符合题意；B、由x＜y，可得﹣x＞﹣y，故本选项成立，符合题意；
C、由x＜y，可得x+1＜y+1，故本选项不成立，不符合题意；
D、由x＜y，可得x﹣c＜y﹣c，故本选项不成立，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6. 已知二元一次方程组 ，把②代入①，整理，得（ ）
A. x﹣2x+1＝4 B. x﹣2x﹣1＝4 C. x﹣6x﹣3＝6 D. x﹣6x+3＝4
【答案】D
【解析】
【分析】根据代入消元法代入并整理即可．
【详解】解： ，
把②代入①得：x﹣3（2x﹣1）＝4，
整理，得：x﹣6x+3＝4
故选：D．
【点睛】此题考查的是解二元一次方程组，掌握代入消元法是解决此题的关键．
7. 如果关于x的不等式组 只有3个整数解，那么a的取值范围是（ ）
A. 3≤a＜4 B. 3＜a≤4 C. 2≤a＜3 D. 2＜a≤3
【答案】C
【解析】
【分析】先求出整数解，再得出选项即可．
【详解】解：∵关于x 不等式组 只有3个整数解，
的
∴3个整数解是0，1，2，
∴2≤a＜3，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的整数解是解此题的关键．
8. 用加减法解方程组 ，下列解法正确的是( )A. ①×3＋②×2，消去y B. ①×2－②×3，消去y
C. ①×(－3)＋②×2，消去x D. ①×2－②×3，消去x
【答案】C
【解析】
【分析】用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，
那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
【详解】解：A、①×3+②×2，不能消去y，故不正确；
B、①×2-②×3，不能消去y，故不正确；
C、①×（-3）+②×2，可消去x，故正确；
D、①×2-②×3，不能消去x，故不正确．
故选C
【点睛】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法．
9. 把一根长11cm的绳子截成1cm和3cm两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费．下
面有四种说法：①规格为1cm的绳子可能截出8根；②规格为1cm的绳子可能截出5根；③规格为1cm的
绳子可能截出2根；④规格为1cm的绳子可能截出1根．则所有正确说法的序号是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】设截成1cm的绳子x根，3cm的绳子y根，根据题意可列出二元一次方程，然后根据题目中的四
种情况看是否是正整数解即可．
【详解】设截成1cm的绳子x根，3cm的绳子y根，
由题意得：x+3y＝11，
①当x＝8时，y＝1，即规格为1cm的绳子截出8根时，3cm规格的绳子可以截1根，正确；
②当x＝5时，y＝2，即规格为1cm的绳子截出5根时，3cm规格的绳子可以截2根，正确；
③当x＝2时，y＝3，即规格为1cm的绳子截出2根时，3cm规格的绳子可以截3根，正确；
④当x＝1时，y＝ ，即规格为1cm的绳子截出1根时，3cm规格的绳子截不出整数根，所以不正确；
正确说法的序号是①②③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解二元一次方程的解是解题的关键．
10. 如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行
过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（ ）A. x≥4 B. 4≤x＜7 C. 4＜x≤7 D. x≤7
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序运行两次就停止（运行一次的结果＜13，运行两次的结果≥13），即可得出关于x的一
元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得 ，
解得：4≤x＜7．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
二、填空题{本题共10个小题，每小题2分，共20分）
11. 根据数量“ 的 倍与 的和大于 ”，列不等式为__________．
【答案】3m+2＞1
【解析】
【分析】根据题意列不等式即可.
【
详解】解：根据题意可以得到：3m+2＞1
故答案为：3m+2＞1
【点睛】此题主要考查了实际问题抽象出一元一次不等式，弄清楚运算的先后顺序是解题的关键.
12. （2x-1）2=______．
【答案】4x2-4x+1
【解析】
【分析】利用完全平方公式进行整式计算即可．
【详解】利用完全平方公式进行计算：
（2x-1）2=4x2-4x+1
【点睛】本题主要考查了完全平方公式．13. 如果关于x的不等式x≥ 的解集在数轴上表示如图所示，那么a的值为_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据不等式的解集及其在数轴上的表示得出关于a的方程，解之可得答案．
【详解】解：根据题意知： ＝﹣2，
∴a﹣1＝﹣4，
则a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是根据解集在数轴上
的表示得出关于a的方程．
14. 如果关于x，y的二元一次方程的一个解为 ，那么这个方程可以是_____．
【答案】x＋y＝1（答案不唯一）
【解析】
【分析】以2和−1，列出一个算式，进而得到方程即可．
【详解】解：根据题意：x＋y＝1．
故答案为：x＋y＝1（答案不唯一）
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
15. 已知x＝2是关于x的不等式x﹣3m+1≤0的一个解，那么m的取值范围为_____．
【答案】m≥1
【解析】
【分析】把x＝2代入不等式可得关于m的不等式，解不等式即可求出答案．
【详解】解：∵x＝2是关于x的不等式x﹣3m+1≤0的一个解，
∴2﹣3m+1≤0，
解得：m≥1．
故答案为：m≥1．
【点睛】本题考查了不等式解集的概念和一元一次不等式的解法，属于基本题型，掌握求解的方法是关键．16. 已知整式2ax+yb3﹣a2bx﹣y可以合并，那么代数式（x+y）（x﹣y）的值是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由题意可知整式的这两项是同类项，然后根据同类项的概念列出方程代入计算即可．
【详解】∵整式2ax+yb3﹣a2bx﹣y可以合并，
∴x+y＝2，x﹣y＝3，
∴（x+y）（x﹣y）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
17. 计算：52021×0.22020＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据积的乘方进行计算，再求出即可．
【详解】解：52021×0.22020
＝（5×0.2）2020×5
＝12020×5
＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，能灵活运积的乘方进行变形是解此题的关键．
18. 《九章算术》中有这样一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中
一只，恰好一样重，问：每只燕、雀的重量各为多少？”译文如下：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两；
5只麻雀的重量超过了6只燕子的重量，如果互换其中的一只，重量恰好相等，则每只麻雀、燕子的平均
重量分别为多少两？设每只麻雀的平均重量为x两，每只燕子的平均重量为y两，根据题意列出的方程组
是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重
量”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得： ．故答案 ： ．
为
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
19. 下表中的每一对x，y的值都是方程x+y＝3的一个解．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 …
①当x＜0时，y的值大于3；②当y＜2时，x的值小于1；③y的值随着x的增大越来越小．上述结论中，
所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据题意直接观察表格利用一次函数与二元一次方程的关系进行分析判断即可．
【详解】解：观察表格得：
①当x＜0时，y＞3；
②当y＜2时，x的值大于1；
③y的值随着x的增大越来越小．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程运算法则是解答本题的关键．
20. 五一期间，各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示：
商场 优惠活动
甲 全场按标价的6折销售
实行“每满100元送100元的购物券“的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现
金
乙
（比如：顾客购买衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不
再送券
实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物320元，他只需付款
丙
170元）
三个商场同时出售某种标价320元的破壁机和某种标价390元的空气炸锅，若张阿姨想买这两样厨房用具，
她选择_____商场更合适．
【答案】丙
【解析】【分析】根据三个商场的优惠策略，分别求出在三个商场购买所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：在甲商场购买所需费用（320+390）×0.6＝426（元）；
在乙商场购买所需费用320+（390﹣300）＝410（元）；
在丙商场购买所需费用（320+390）﹣50×7＝360（元）．
∵426＞410＞360，
∴选择丙商场更合适．
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，分别求出在三个商场购买所需费用是解题的关键．
三、解答題（本题共60分）
21. 解方程组 ．
【答案】
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解： ，
①×3+②得：10x＝﹣30，
解得：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入②得：y＝5，
则方程组的解为：
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22. 解不等式组 ．
【答案】x≤1
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．
【详解】解：不等式组 ，由①得：x＜2，
由②得：x≤1，
则不等式组的解集为：x≤1．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
23. 计算：（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣2y（x﹣2y）．
【答案】9y2
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：原式＝x2+2xy+y2﹣（x2﹣4y2）﹣（2xy﹣4y2）
＝x2+2xy+y2﹣x2+4y2﹣2xy+4y2
＝9y2．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
24. 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为
测量部位，某树栽种时的树围约为8cm，以后树围每年增加约4cm，这棵树至少生长多少年（年数取整
数），其树围才能超过2m？
【答案】49年
【解析】
【分析】设这棵树生长x年，根据栽种时的树围约为8cm，以后树围每年增加约4cm，其树围才能超过2m
列出不等式解答即可．
【
详解】解：设这棵树生长x年，其树围才能超过2m，由题意得
8+4x＞200
解得：x＞48
∵x是整数，
∴x＝49．
答：这棵树生长49年，其树围才能超过2m．
【点睛】此题考查一元一次不等式的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
25. 若不等式 的最大整数解为方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】求出不等式的解集，确定出最大整数解，代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：不等式 ，
去分母得：6﹣2（x﹣2）＞3x，
去括号得：6﹣2x+4＞3x，
移项合并得：﹣5x＞﹣10，
解得：x＜2，
不等式最大整数解为1，
把x＝1代入方程得：2﹣a＝3，
解得：a＝﹣1，
则a的值为﹣1．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握不等式及方程的解法是
解本题的关键．
26. 某道路规划为城市主干路，全长7.6千米．如果该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天
修建道路0.02千米，乙工程队每天修建道路0.01千米，两工程队共需修建560天，求甲、乙两工程队分别
修建道路多少千米？
根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程组
（1）根据小刚同学列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ．
（2）小红同学“设甲工程队的工作时间为x天，乙工程队的工作时间为y天”，请你利用小红同学设的未知
数求甲、乙两工程队分别修建道路的长度．
【答案】（1）甲工程队修建道路的长度，乙工程队修建道路的长度；（2）甲工程队修建道路4千米，乙
工程队修建道路3.6千米．
【解析】
【分析】（1）根据方程组中的第二个方程可得x，y表示的意义；
（2）根据“两工程队共需修建560天”、“甲工程队的工作时间×0.02+乙工程队的工作时间×0.01=7.6”
可得关于x、y的方程组，求出x、y后，再分别乘以0.02和0.01即得答案．
【详解】解：（1）由题意可知：x表示甲工程队修建道路的长度，y表示乙工程队修建道路的长度．
故答案为：甲工程队修建道路的长度，乙工程队修建道路的长度；
（2）根据题意，得 ，解得 ．
∴200×0.02＝4（千米），360×0.01＝3.6（千米）．答：甲工程队修建道路4千米，乙工程队修建道路3.6千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
27. 将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和
②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝
，S₂＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
【答案】（1）a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；（2）（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）1．
【解析】
【分析】（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得答案；
（2）由（1）中所得的S₁和S₂的面积相等，可得答案；
（3）根据（2）中的公式，将2019×2021写成（2020－1）×（2020＋1），然后按照平方差公式进行化简，
再按照有理数的混合运算计算出答案即可．
【详解】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a＋b）（a﹣
b）
故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案为：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202＋1
＝1．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解
题的关键．28. 在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5．
（1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是 ；
（2）求关于x的不等式组 的解集；
（3）如果关于x的不等式组 的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围．
【答案】（1）3；（2）m﹣1≤x＜m+1；（3）m＞6或m≤1．
【解析】
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集．
（3）由已知得出m-1＞5或m+1≤2，解之可得答案．
【详解】解：（1）点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是5﹣2＝3，
故答案为：3；
（2）解不等式x﹣m≥﹣1，得x≥m﹣1，
解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1，
则不等式组的解集为m﹣1≤x＜m+1；
（3）∵关于x的不等式组 的解集中每一个x值都不在线段AB上，
∴m﹣1＞5或m+1≤2，
解得：m＞6或m≤1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
29. 阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且 求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组 ，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组 ，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组 时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用
①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．
【解析】
【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【详解】解：（1）选择甲， ，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝ ，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝ ，
代入m+n＝3得： ＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝ ，代入m+n＝3得： ＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得： ，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得： ，
解得： ，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
30. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方
程．
（1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组 的子集方
程的序号： ；
（2）写出不等式组 的一个子集方程，使得它的解是整数： ；
（3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组 的子集方程，求m的取值范围．
【答案】（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1．
【解析】
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；的
（2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程 定义写出一个解为1的方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3，
解方程2x+1＝0，得：x＝﹣ ，
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2，
解不等式组： ，
得： ＜x＜ ，
所以不等式组： ，
子集方程是①③，
故答案为：①③；
（2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2，
解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣ ，
则不等式组的解集为：﹣ ＜x＜2，
∴其整数解为：﹣1、0、1，
则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0．
故答案为：2x﹣2＝0；
（3）解关于x的不等式组 的得：m＜x≤m+2，
∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组 的子集方程，
∴0≤m＜1．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义是解题的关键．
