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2023年高考押题预测卷02【上海卷】
数学·全解全析
1． /
【分析】利用共轭复数的定义先得到 ，化简 ，然后利用纯虚数的定义即可求解
【详解】由 可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为纯虚数，
∴ ，即 .
故答案为：
2．
【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，
解得 或 （舍去），
即 的最小值为4，当且仅当 时等号成立.
故答案为：4
3．
【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.【详解】设双曲线渐近线方程为： ，
，则圆心坐标为 ，半径为1.
因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即 .
则双曲线的一条渐近线方程为 ，另一条渐近线方程为 .
故答案为：
4．
【分析】解绝对值不等式求得集合 ，根据 求得 的取值范围.
【详解】由 解得 ，所以 ，
所以 ，
由于 ，所以 .
故答案为： .
5． /
【分析】由已知可证得 平面 ，可得 为 与截面 的垂足时，线段 最小，然后利用等
积法求解．
【详解】如图，
连接 交截面 于 ，由 底面 ， 底面 ,可得 ，
又在正方形 中， ， ，
则 平面 ， 平面 ,
则 ，
同理可得 ， ，
则 平面 ，此时线段 最小，
由棱长为2，可得等边三角形 的边长为 ，
，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： .
6．
【分析】计算 ， ，代入计算得到 ，确定 为首项为 ，公
比为 的等比数列，求和得到答案.
【详解】函数 有两个零点 ，故 ，
，
，，
故 为首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 的前2023项的和为 ，
故答案为：
7．
【分析】根据奇函数的性质求得 ，再结合基本不等式求 时其 的取值范围，再结合奇
函数的性质求 时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为 为 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
又当 时， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即当 时， ，
因为 为 上的奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，
所以 时， ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
8． /【分析】作出球 的一个截面，圆 分别与 、 相切于点 、 ，求出 、 的值，即可得出椭圆
的离心率的值.
【详解】如图，是球 的一个截面，圆 分别与 、 相切于点 、 ，
因为 ，球的半径为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 是椭圆的长轴长，所以 ，所以 ，
根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知，
球 与 相切的切点 为椭圆的一个焦点，
所以 ，所以 ，
所以离心率 ．
故答案为： .
9．112
【详解】由题意可得： ，
结合二项式展开式通项公式可得： ，令 可得： ，则常数项为： .
10．
【分析】根据题意可得 的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，再结合独立事件的概率
公式运算求解.
【详解】由题意可知： 的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，
故 .
故答案为： .
11．
【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定 的最小
值.
【详解】如下图所示，设
且
点B在以F为圆心，DE为直径的圆上
又
当点B为圆F和线段FA的交点的时候， 最短故答案为：
12．
【分析】首先利用不等式求得 ，通过减少变量得 ，再利用导数求出其值域即可.
【详解】由題意得 ，
由 得 ,得 ,所以 ,
令 ，
，
当 时， ，此时 在 和 上单调递增，
当 时， 此时 在 单调递减，
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
又因为 ，
则 的取值范围为 .
故答案为： .
13．C【分析】化简函数解析式可得 ，计算当 时， 的值，由此判断命题（1），
计算 时， 的范围，利用正弦函数性质求函数 的值域，判断命题（2），根据图象
平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.
【详解】因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 不是函数 的对称中心，（1）错误；
由 可得 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上的值域为 ，（2）正确；
函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数
的图象，（3）错误；
由 可得 ，
所以 ，曲线 在 处的切线的斜率为1，（4）正确；
所以正确的命题有（2）（4），
故选：C.
14．C
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得 ，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的
位置关系即可求出.
【详解】设 ，因为
因为 在以原点 为圆心， 为半径的圆上，且 .
设点 到直线 的距离之和为 ，则 ，转化为求 的最
大值.
设点 为点 与点 的中点，设 点到直线 的距离为 ，则 ，
又 .故 点轨迹方程为圆 .
圆 上点到直线 距离的最大值 .
所以 的最大值是 .
故选：C.
【点睛】
15．C【分析】由题设条件有 ，令 则有 、
，应用基本不等式求 范围且 恒成立，进而求 的范围，即可得结
果.
【详解】由 ，则 ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，且 ，
所以 ，即 ，仅当 时等号成立，
对于 恒成立，仅当 ，即 时等号成立，
综上，若 ，则 ，
而 ，则 ，只需 ，
所以 ，仅当 ，即 时等号成立，
综上， ，仅当 ，即 时等号成立.
所以目标式最小值为 .
故选：C
16．B
【分析】不等式 ，两边平方得到关于实数 的不等式，进而得到 ，再利用模长公式
将 转化为 ，再利用不等式 即可得解.【详解】由 ，两边平方得
又 ，且 对任意实数 恒成立，
即 恒成立，所以 ，
即 ，所以 ，即 .
由 ，知 ，
所以 ,
当且仅当 与 同向时取等号.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用 对
任意实数 恒成立，求得 ，再利用 求最值，考查了转化思想与运算能力.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 关系即可求出 的通项公式；
（2）根据对数运算即可求出结果.
【详解】（1） ，
两式相减可得 ，
等比数列 的各项均为正数，；
设公比为 ，则 ，
解得 ，即 ，
当 时， ，
解得 ，
，
（2）若存在正整数 ，使得 ，
即 ，
，
解得 ，
存在 ，使得 .
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定 ，根据中点得到 ， 得到 平面 ，得到面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面 的一个法向量为 ， 是
平面 的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）由 是底面的直径，点 是底面圆周上的点，得 .
又因 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，故 .
因 是圆锥的轴，所以 底面 ，又 平面 ，故 .
于是 与平面 内的两条相交直线 ， 都垂直，从而 平面 ；
而 平面 ，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面 平面 .
（2）在圆锥底面，过圆心 作直径 的垂线，交圆周于点 ，则直线 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则 ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，得 .
又 是平面 的一个法向量，
故 .
平面 与平面 所成的二面角是锐角，故二面角 的余弦值为 .
19．(1)分布列见解析， 1
(2)表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【分析】（1）由题可知 可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算 ，比较其与 大小即可判断长时间使用
手机与是否得脑瘤有无显著关系.
【详解】（1）第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以 可取的值为
0，1，2. .
则分布列如下
0 1 2
则期望为 ；
（2）由题目条件可得列联表如下：
习惯固定在左侧接听电
习惯固定在右侧接听电话 总计
话
脑瘤部位在左侧的病人 14 28 42
脑瘤部位在右侧的病人 19 27 46
总计 33 55 88
则 = ，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.
20．(1)
(2)
(3)可能是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标以及 ，可得 的值，从而得到半椭圆方程；（2）设 ，分为 三种情况分别表示出 的周长，得到关
于 的函数，从而得到周长的取值范围；
（3）分情况讨论可知 不可能是直角；设 ，则 ，可得 ，从而
，①若 在半椭圆 上，得 ，令
，结合零点存在定理求解；②若 在圆弧 上，得
，令 ，利用导数求解，综合可得结论.
【详解】（1）由 ，令 ，可得 以及 ，
再由椭圆的方程及题意可得 ，
由 ，可得 ，
由 可得 ，则 ，所以 ，
所以“曲圆” 中的半椭圆的方程为 .
（2）由（1）知，“曲圆”的方程为： ， ，
可得 ， 为椭圆的左焦点，圆的半径 ，
设 的周长为 ，
当 时， 在圆上， 在椭圆上， ，
；当 时，P、Q都在椭圆上， ，
，
当 时， 在圆上， 在椭圆上， ，
；
综上， 的周长的取值范围为： ．
（3）若 都在半椭圆上，则 都在 轴右侧，也在 的下方， ，
当直线 是 时，显然 不可能是直角三角形，
当直线 不是 时，设直线 与“曲圆”相交于 ，
若 中有一点在圆弧上，另一点在半椭圆上（圆内）， 过圆心 ，
不可能是直角；
设 ，则 ，
则 ， ，
即 ， ，从而 ，
①若 在半椭圆 上，
则 ，即 ，
令 ，
，且函数 在 上的图象连续不断，函数 在 上至少有一个零点 ，此时 .
②若 在圆弧 上，
直线 的斜率 时， ，则 ，
于是 ，即 ，
令 ，
在 上严格递增，
在 上无解.
综上，当 都在半椭圆上时， 可能是以 或 为直角的直角三角形.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假
设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，
在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问
题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程
组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
21．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）求出函数的导数，计算 ， 的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于 的不等
式，解出即可求出答案；（3）根据条件进行恒等转化，构造函数 ，问题转化为 在 上恒成立，
利用不等式的性质求出范围即可.
【详解】（1）当 时， ，
， ， ，
∴
在 处的切线方程为 .
∴
（2）函数 的定义域为 ，
当 时， .
令 ，解得 或 .
①当 ，即 时， 在 上单调递增.
所以 在 上的最小值为 ，符合题意；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，不符合题意；
当 ，即 ， 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，不符合题意；
综上，实数a的取值范围是 .
故 的最小值为1.
（3）设 ，则 ，
因为 ，所以对任意 ， ， ，且 恒成立，
等价于 在 上单调递增.而 ，
当 时， ，此时 在 单调递增；
当 时，只需 在 恒成立，
因为 ，只要 ，则需要 ，
对于函数 ，过定点 ，对称轴
只需 ，即 ，
综上可得： .
【点睛】（1）经过函数上的 一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数 ，求出
在此点出的切线斜率 ，利用直线的点斜式方程 ，求出切线方程即可;
（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的
正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件
得出结果；
（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造
，研究 函数单调性，转化为导数 在 的恒成立问题.
