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2022 北京育才学校初一（上）期中
数学
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 如果以北为正方向，向北走8米记作+8米，那么﹣2米表示（ ）
A. 向北走了2米 B. 向西走了2米
C. 向南走了2米 D. 向东走了2米
【答案】C
【解析】
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【详解】∵向北走8米记作+8米，
∴﹣2米表示向南走了2米．
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数的意义，解答本题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具
有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2. 2021年10月16日00时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发
射中心发射升空，顺利将3名中国航天员送入太空，3名航天员将在距离地球约388600米的中国空间站驻
留6个月．数字388600用科学记数法表示为（ ）
A. 3886×102 B. 388.6×103 C. 38.86×104 D. 3.886×105
【答案】D
【解析】
【分析】首先思考科学记数法表示数的形式，再确定a，n的值，即可得出答案．
【详解】388600=3.886×105．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握形式解题的关键．即a×10n，其中1≤a
＜10，n为正整数．
3. 某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A. ﹣11℃ B. ﹣6℃ C. 11℃ D. 6℃
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的减法法则列式计算即可．
【详解】解：5﹣（﹣6），＝5+6，
＝11（℃），
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
4. 下列各式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的乘方分别计算各选项，即可得出答案．
【详解】解：A选项，（-2）2=4＞0，正确，故该选项不符合题意；
B选项，22=4，（-2）2=4，相等，故该选项不符合题意；
C选项，22=4，-22=-4，不相等，故该选项符合题意；
D选项，（-3）3=-27，-33=-27，相等，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，明确（-2）2与-22底数的不同是解题的关键．
5. 两个非零有理数的和为零，则它们的商是( )
A. 0 B. C. 1 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】设这两个数分别为a，b（a≠0，b≠0），根据相反数定义求得a=-b，再根据除法法则计算即可．
【详解】解：设这两个数分别为a，b（a 0，b 0），
由题意得，a+b=0，则a=-b， ≠ ≠
∴a b=（-b） b=-1，
故选÷：B． ÷
【点睛】此题考查了有理数的除法计算，相反数的定义，熟记相反数的定义及除法计算法则是解题的关键．
6. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 5m2﹣4m2＝1 B. 3a2b﹣3ba2＝0
C. 3a+2b＝5ab D. 2x3+3x2＝5x5
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则即可依次判断．
【详解】A、5m2﹣4m2＝m2，故本选项不合题意；B、3a2b﹣3ba2＝0，故本选项符合题意；
C、3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、2x3与3x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知合并同类项法则．
7. 我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实
施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算 的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图（1）可得白色表示正数，黑色表示负数，观察图（2）即可列式
【详解】解：由图（1）可得白色表示正数，黑色表示负数，
∴图（2）表示的过程应是在计算5+（-2）
故选：C
【点睛】此题考查了有理数的加法，解题关键在于理解图（1）表示的计算
8. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件判断出x，y的值，代入2x-y，从而得出答案．
【详解】解：∵|x|=4，|y|=5且x＞y
∴y必小于0，y=-5．
当x=4或-4时，均大于y．所以当x=4时，y=-5，代入2x-y=2×4+5=13．
当x=-4时，y=-5，代入2x-y=2×（-4）+5=-3．
所以2x-y=-3或+13．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出x，y的值是解答此题的关键．
9. 若 的值为2，则 的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】先将 整理得到 ，然后将 整体代入即可得解．
【详解】解：
=
将 整体代入 得
故选A
【点睛】本题考查代数式化简求值，利用整体代入是解题关键．
10. 如图，把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为
，宽为 ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴
影部分的周长之和是（ ）cm
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设小长方形卡片的长为 ，宽为 ，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把
它们加起来即可求出答案．的
【详解】解：设小长方形卡片 长为 ，宽为 ，
∴ ,
,
∴
，
又∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11. ﹣4的倒数是_________________ .
【答案】
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数解答即可.
【详解】∵-4×（ ）=1，
∴﹣4的倒数是 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键.求小数的倒数一般先把小数
化成分数，求带分数的倒数一般先把带分数化成假分数.
12. 数轴上表示 的点到原点的距离是_____．【答案】3
【解析】
【分析】表示 的点与原点的距离是 的绝对值．
【详解】在数轴上表示 的点与原点的距离是 ．
故答案为3．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记数轴的特点以及绝对值的几何意义是解题的关键．
13. 比较大小：（1） ______ （2） _____
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】（1）根据正数和负数比较大小的法则进行比较；
（2）根据负数的特点进行比较；
【详解】（1）根据有理数比较大小的方法，可得
故答案为：
（2）根据有理数比较大小的方法，可得
故答案为：
【点睛】有理数比较大小与实数比较大小相同．（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
14. 用四舍五入法将233.658精确到十分位，所得到的近似数为___________．
【答案】233.7
【解析】
【分析】先观察百分位的数字，再根据四舍五入法求解即可．
【详解】解： ；
故答案为：233.7．
【点睛】本题考查了近似数的问题，熟练掌握四舍五入法是解题的关键．
15. 写出一个只含有字母x，y，最高次项系数为 ，且常数项为9的三次二项式___________．
【答案】 （答案不唯一，符合要求即可）【解析】
【分析】根据题意写出一个符合要求的三次二项式即可．
【详解】解：此三次二项式为： ．
为
故答案 ： ．（答案不唯一，符合要求即可）
【点睛】本题主要考查了多项式的系数和次数，熟练掌握多项式的次数和系数，是解题的关键．
16. 已知 与 是同类项，则 =___________
【答案】2
【解析】
【详解】解：∵ 与 是同类项
∴
解得：
∴
故答案为：2．
17. 若 ，则 ＝________．
【答案】-8
【解析】
【分析】利用绝对值的非负性，平方的非负性，求得 ， ，代入即可求得结果．
【详解】解：∵ ， 且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查的是利用绝对值的非负性，平方的非负求值，此类型题在初中数学中较为常见，需
熟练掌握．
18. 当k＝_____时，多项式 中不含 项．
【答案】
【解析】
【分析】先确定xy项的系数，再令其为0即可．
【详解】 ，
∵多项式 中不含 项，
∴ ，
解得： ．
故答案是： ．
的
【点睛】本题考查了整式 加减--无关型问题，解答本题的关键是理解题目中不含xy的项，就是合并
同类项后令其系数等于0．
19. 在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝
a．则当x＝2时，（1⊕x）·x－（3⊕x）的值为________（“· ”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）．
【答案】-2
【解析】
【详解】解：按照运算法则可得（1⊕2）=1，（3⊕2）=4，
所以（1⊕x）•x-（3⊕x）=1×2-4=-2．
故答案为：-2．
20. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第 个图案中有______个涂有阴影的小正方形，第 个图案中有_______个涂有阴影的小正
方形（用含有 的代数式表示）．
【答案】 ①. 17 ②. 4n+1
【解析】
【分析】观察发现，后一个图案比前一个图案多涂4个有阴影的小正方形，根据规律写出第n个图案的涂
阴影的小正方形的个数即可．
【详解】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5个，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4=9个，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4=13个，
第4个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4+4=17个，
，
第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4（n-1）=4n+1（个），
故答案为：17，4n+1．
【点睛】此题考查图形类规律的探究，列代数式，有理数的加法计算法则，观察图形得到图形的变化规律，
总结规律并解决问题是解题的关键．
三、解答题：（共60分）
21. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）1 （2）（3）
（4）0
【解析】
【分析】（1）根据有理数加减法计算即可；
（2）根据乘法分配律分别计算后，利用有理数加减法计算即可；
（3）根据有理数乘除法运算法则计算即可；
（4）根据乘方运算、有理数乘法运算及有理数加减法分别计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到有理数加法运算、减法运算、乘法运算、除法运算、乘方分
配律及乘方运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
22. 在数轴上把下列有理数：﹣4，0，﹣2 ， ，2.5表示出来，并用“＞”把它们连接起来．
【答案】见解析， ．
【解析】
【分析】先在数轴上表示各个数，再比较大小即可．
【详解】解：如图所示：
用“＞”把它们连接起来为： ．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能正确比较两个数的大小是解此题的关键，在数轴
上表示的数，右边的数总比左边的数大．
23. 化简
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先移项，再合并同类项；
（2）先去掉括号，然后在移项，最后合并同类项．
【小问1详解】
解：原式=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了整式加减运算、去括号、合并同类项等知识，掌握整式加减运算法则是解题关键．
24. 先化简，再求值
（1） ，其中 ， ．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入求值即可；
（2）根据整式加减运算法则进行化简，然后再将 代入求值即可；
【小问1详解】
解：将 ， 代入得：
原式 ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键．
25. 有20袋大米，以每袋30千克为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表述，记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） 1 0 2.5
袋数 1 2 3 8 4 2
（1）20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？
（2）与标准重量比较，20袋大米总计超过（或不足）多少千克？
（3）若大米每千克售价为8.5元，出售这20袋大米可卖多少元？
【答案】（1）20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重 千克
（2）与标准重量比较，20袋大米总计超过8千克（3）出售这20袋大米可卖5168元
【解析】
【分析】（1）利用记录表的第一行数字中的最大数减去最小数即可得出答案；
（2）根据记录表列出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得；
（3）在（2）的基础上，加上标准总重量，然后再乘以 即可得．
【小问1详解】
解： （千克），
答：20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重 千克；
【小问2详解】
解：
（千克）
答：与标准重量比较，20袋大米总计超过8千克；
【小问3详解】
（元），
答：出售这20袋大米可卖5168元．
【点睛】本题主要考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出
各运算式子是解题关键．
26. 小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作 米．
（1）则向西走 米记作___________米；
（2）小光从出发点出发，前4次行走依次记作 ， ， ， （单位：米），则他第5次需要向
___________走___________米，才能恰好回到出发点；
（3）小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作 ， ， ， （单位：米）．如
果此时他位于出发点西侧，则 的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简）
【答案】（1）
（2）东，4 （3） ，小光共行走了 米
【解析】
【分析】（1）向东走为正，则向西走为负；
（2）根据最终回到出发点，则4次行走数据之和为0,设第5次行走，记作 米，然后列方程求解即可；
（3）根据经过4次行走，最终在出发点西侧，则4次数据之和小于零，列出不等式，解不等式，即可得出
的取值范围；然后再计算4次数据的绝对值之和，即为小光共行走的距离．
【小问1详解】
解：已知向东走5米记作 米，
∵东西方向相反，向东为正，向西则为负，
∴向西走 米记作 米，
故答案为：
【小问2详解】
解：设第5次行走，记作 米，
则
解方程得
则第5次需要向东走4米，
故答案为：东，4．
【小问3详解】
解：根据题意得
解得，
∴ 的取值范围是
=
=则小光共行走了 米．
【点睛】本题考查了正负数的应用、绝对值、不等式等知识，熟练掌握相关概念并能应用于实际问题是解
题关键．
27. 唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在
《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定
无法相聚．”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界
尺度．已知P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点的距离表示为 ．
阅读上述材料，回答下列问题：
（1）若数轴上表示x与3的两点之间的距离是4，则 ___________．
（2）当x的取值范围是多少时，代数式 有最小值，最小值是多少？
（3）若未知数x，y满足 ，求代数式 的最大值，最小值分别是
多少？
【答案】（1） 或7；（2） ，5；（3）最大8，最小值1
【解析】
【分析】（1）由距离的表示方法得出 ，求解即可；
（2）根据若代数式 有最小值，表示在数轴上找一点x，使其到 与3的距离之和最小，据
此求解；
（3）由（2）分别求出 与 有最小值时x，y的取值范围，进而求解．
【详解】解：（1）由题意知， ，
解得 或 ，
故答案为： 或7；
（2）若代数式 有最小值，表示在数轴上找一点x，使其到 与3的距离之和最小，显然这
个点x在 与3之间（包括 与3），
所以x的取值范围是 ，且最小值为5，故答案为： ，5；
（3）∵ ，
由（2）知 的最小值为2，其有最小值的取值范围为 ，
的最小值为3，其有最小值的取值范围为 ，
∴ 的最大值为 ，最小值为 ，
即 的最大值为8，最小值为1．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义，利用数形结合思想，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
28. 出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费
9元（包含里程3
0.6元/公里（超过20公
单价 公里，包含时长 2元/公里 0.4元/分钟
里后，加收远途费）
9分钟）
注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成．
例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：9+2×（25﹣3）+0.4×（30
﹣9）+0.6×（25﹣20）＝64.4（元）．
（1）若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元．
（2）若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为b（b＞9）分钟．若3≤a≤20，则小尧应付车费
的
元；（用含a、b 代数式表示，并化简）若a＞20，则小尧应付车费 元．（用含a、b的代
数式表示，并化简）
（3）小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19
公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的
车费多？
【答案】（1）27.4；（2） ， ；（3）两人付费一样
【解析】
【分析】（1）根据出租车计价规则列式计算即可；
（2）①若3≤a≤20，应付车费=起步价+超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费；②若a＞20，应付车费
=起步价+超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费+超过20公里后的远途费；（3）根据题意分别计算两人的车费，再作比较．
【详解】解：（1） 9+2×（10-3）+0.4×（20-9）=27.4（元）
故答案为：27.4；
（2）（2）①当3≤a≤20时，9+2×（a﹣3）+0.4×（b﹣9）＝（2a+0.4b﹣0.6）元．
②当a＞20时，9+2×（a﹣3）+0.4×（b﹣9）+0.6×（a﹣20）＝（2.6a+0.4b﹣12.6）（元）；
（3）设小尧乘车时长为 分钟，则小淇乘车时长为 分钟．
小淇应付车费： （元），
小尧应付车费： （元），
因此，两人付费一样．
【点睛】本题考查列代数式、代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键．
29. 如图，在数轴上有两点A、B，分别表示 ，8，点P从A点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位的
速度运动．
（1） ___________；
（2）___________秒时，点P恰好在 的中点；
（3）若点P从点A出发，同时点Q从B点出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度运动，
___________秒时， ；
（4）若点P从点A出发，同时点Q从B点出发，沿数轴的负方向以每秒1个单位的速度运动，
___________秒时，点Q恰好是 的中点．
【答案】（1）10 （2）2.5
（3）6或14 （4）2.5
【解析】
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可；
（2）先求出 的中点位置，得出点P需要运动的路程，然后再求出运动时间即可；
（3）设运动时间为t秒，用t表示出点P和Q，根据 列出方程，解方程即可；（4）设s秒时，点Q恰好是 的中点，则s秒后，点P表示的数为： ，点Q表示的数为： ，
根据点Q恰好是 的中点，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解： ；
故答案为：10；
【小问2详解】
解：∵ 的中点表示的数为 ，
∴点P恰好在 的中点时，需要运动的时间为：
（秒）；
故答案为：2.5；
【小问3详解】
解：设t秒时， ，则t秒后，点P表示的数为： ，点Q表示的数为： ，根据题意得：
，
即 ，
∴ ，
解得： 或 ；
故答案为：6或14；
【小问4详解】
解：设s秒时，点Q恰好是 的中点，则s秒后，点P表示的数为： ，点Q表示的数为： ，
根据题意得：
，
解得： ．
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解绝对值方程，根据题意列出方程，是解题的关键．
