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2023 年高考押题预测卷 03【新高考Ⅰ卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若集合 ，则 的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
4．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是
中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10
次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界
纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个
圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ）
（参考数据： ， ， ， ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ， 若 且 ， 则 （ ）
A．25 B．45 C．55 D．65
6．函数 的图像如图所示，图中阴影部分的面积为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，焦距为4，若过
点 且倾斜角为 的直线与双曲线的左、右支分别交于 ， 两点， ，则该双曲线的离心
率为（ ）A． B． C． D．
8．对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值集合是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知圆M： ，直线l： ，直线l与圆M交于A，C两点，则下列
说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B． 的最小值为4
C． 的取值范围为 D．当 最小时，其余弦值为
10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工
出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 ， ， ．随机取一个零
件，记 “零件为次品”， “零件为第 台车床加工” ， ， ，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 ，若关于 的方程 恰好有6个不同的实数解，则
的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，点E为边 的中点，点F为棱 上一动点（异于P、C两点），则下列判断中正确的是
（ ）．
A．直线 与直线 互为异面直线
B．存在点F，使 平面
C．存在点F，使得 与平面 所成角的大小为
D．直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为
第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．已知向量 ， ，写出一个与 垂直的非零向量 ______．
14．2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些
电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.
某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一
户3张，则共有______种不同的分法.
15．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 ， ，则
的最小值为_____________.
16．Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dominique Cassini（1625—1712）引入的．卵形线的定义：线上
的任何点到两个固定点 ， 的距离的乘积等于常数 ．b是正常数，设 ， 的距离为2a，如果 ，
就得到一个没有自交点的卵形线；如果 ，就得到一个双纽线；如果 ，就得到两个卵形线．若
， ．动点P满足 ．则动点P的轨迹C的方程为______：若A和 是轨迹C与
y轴交点中距离最远的两点，则 面积的最大值为______．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知各项都是正数的数列 ，前 项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)记 是数列 的前 项和， 是数列 的前 项和.当 时，试比较 与 的大小.
18．在 中， 是边BC上的点，AD平分 ， 的面积是 的面积的两倍.
(1)如图1，若 ，且 ，求 的面积；
(2)如图2，若点 在边AB上，且 ， ，求 的值.
19．在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ， ，点 在棱 上，直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
20．根据教育部的相关数据，预计2022年中国大学毕业生将达到1076万人，比2021年增长167万人，规
模和数量将创历史新高．国家对毕业生就业出台了许多政策，某公司积极响应国家政策决定招工400名(正
式工280名，临时工120名)，有2500人参加考试，考试满分为450分，考生成绩符合正态分布．考生甲
的成绩为270分，考生丙的成绩为430分，考试后不久甲仅了解到如下情况：此次测试平均成绩为171分，
351分以上共有57人．
(1)请用你所学的统计知识估计甲能否被录用，如录用能否被录为正式工?
(2)考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人．”请结合统计学知识帮助丙
同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．附：
．
21．已知椭圆 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于 两点，
连接 ， 分别交直线 于 两点，过点F且垂直于 的直线交直线 于点R．
(1)求证：点R为线段 的中点；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试探究：是否存在实数 使得 ？
若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)已知 ， ，求证： ；
(3)已知n为正整数，求证： .
