文档内容
2023 高考二轮复习二十五专题
专题二十一、弹簧模型
第一部分 织网点睛，纲举目张
模型一 静力学中的弹簧模型
静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于
平衡状态的问题，涉及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。
模型二 动力学中的弹簧模型
动力学中的弹簧模型主要涉及关联物体在弹簧作用下的运动，该运动过程中弹簧的弹
力往往是变力，物体的加速度、速度等物理量均与弹簧的形变量有关，试题难度中等。)
模型三 与动量、能量有关的弹簧模型
与动量、能量有关的弹簧模型常涉及碰撞问题和弹簧弹力做功问题，因弹力为变力，
一般不直接用功的定义式确定其功的大小，因此，常应用动能定理、机械能守恒定律或能
量守恒定律来间接求解弹力做功或弹性势能。
第二部分 实战训练，高考真题演练
1．（2022·全国理综甲卷·19）如图，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一
轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为 。重力加速度大小为g。用水平向
右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹
簧第一次恢复原长之前（ ）
A．P的加速度大小的最大值为
B．Q的加速度大小的最大值为
C．P的位移大小一定大于Q的位移大小
D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小
2. （2022新高考江苏卷）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，
处于压缩状态，A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右
侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始
位置时速度为零，A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）A. 当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B. A上滑时、弹簧的弹力方向不发生变化
C. 下滑时，B对A的压力先减小后增大
D. 整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
3．（2021新高考北京卷）某同学使用轻弹簧、直尺、钢球等制作了一个“竖直加速度测
量仪”。如图所示，弹簧上端固定，在弹簧旁沿弹簧长度方向固定一直尺。不挂钢球
时，弹簧下端指针位于直尺20 cm刻度处；下端悬挂钢球，静止时指针位于直尺 40
cm刻度处。将直尺不同刻度对应的加速度标在直尺上，就可用此装置直接测量竖直方
向的加速度。取竖直向上为正方向，重力加速度大小为g。下列说法正确的是
A．30 cm刻度对应的加速度为 -0.5g
B．40 cm刻度对应的加速度为g
C．50 cm刻度对应的加速度为2g
D．各刻度对应加速度的值是不均匀的
4. （2022·全国理综乙卷·25） 如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在
光滑水平面上：物块B向A运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰
撞结束，A、B的 图像如图（b）所示。已知从 到 时间内，物块A运动的距离为 。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再
次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为 ，
与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数。
5.（12分）(2021新高考福建)如图（a），一倾角 的固定斜面的 段粗糙， 段光
滑.斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与 长度相同.一小滑块在沿斜
面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T.T随滑
块沿斜面下滑的位移；的变化关系如图（b）所示.已知 段长度为 ，滑块质量为 ，
滑块与斜面 段的动摩擦因数为 0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取
， .求：
（1）当拉力为 时，滑块的加速度大小；（2）滑块第一次到达B点时的动能；
（3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离.
6．（16分）（2021高考新课程I卷山东卷）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、
C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠
B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，
使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后 A离开墙壁，最终三
物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑
1
E kx2
p 2
动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为： ，k为弹簧
的劲度系数，x为弹簧的形变量）
x E
（1）求B、C向左移动的最大距离 0和B、C分离时B的动能 k；
F
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值 min；
x
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为 BC ，从B、C分离到B停止运动的整个过程，
fx
B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与 BC的大小；
F 5f
（4）若 ，请在所给坐标系（见答题卡）中，画出C向右运动过程中加速度a随位
移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），
不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
7.（2016全国理综甲）如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于 O点，另一端
与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知M、N两
点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过
程中A．弹力对小球先做正功后做负功
B．.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能之差
BCD
第三部分 思路归纳，内化方法
1.弹簧的最大形变量对应弹簧弹力的最大值。
2. 弹簧的弹性势能与形变量的二次方成正比。
第四部分 最新模拟集萃，提升应试能力
OA AC AC
1．（16分）（2023广州11月调研）如图所示，水平轨道 段光滑， 段粗糙，
段的中点B的正上方有一探测器，探测器只能探测处于其正下方的物体， C 处有一竖
P
O
直挡板。 处固定一弹簧，其右端有一小物块 1压紧弹簧但与弹簧不粘连，开始时弹
P , P P
簧处于压缩状态。释放 1 1脱离弹簧后与静止在A点的物体 2碰撞，并结合成复合体P，以此碰撞时刻为计时零点，探测器只在
t
1
=2s
至
t
2
=6s
内工作，已知
P
1
、P
2
的质量都为m=1kg，P与 AC 间的动摩擦因数为 μ=0.1, AB 段长为L=4m，
P 、P
1
2及复合体P都视为质点，P与挡板碰撞后原速率反弹，g取10m/s2。
E =18J P
(1)若开始时弹簧的弹性势能 P ，求 1脱离弹簧时的速度大小；
P 、P
(2)在(1)的条件下，求 1 2因碰撞损失的动能ΔE；
(3)若P与挡板碰撞后，要使P第一次向左运动过程中，能在探测器的工作时间内通过
E
B点，求弹性势能 P的取值范围。
2.（2023山东济南名校联考）一个质量为3m 的物体从地面以 30° 角，速率 v 发射，在
最高点发生爆炸，变为三个质量均为 m 的小物 体，爆炸之后瞬间三个小物体速度均沿水
平方向，且中间的一个小物体速度和爆炸前没有区别。已知落地的时候， 最近和最远的小
物体相距为 d ，重力加速度为 g。求： （1）物体的最大高度 h；
（2）爆炸后水平飞行最远的物体的初速度 v 的大小。
1
3．（17分））(2023广东佛山重点高中月考)如图所示，一斜面体固定在水平地面上，倾
角为
θ=30°
、高度为
h
=1.5m. 一薄木板B置于斜面顶端，恰好能保持静止，木板下
l
端连接有一根自然长度为 0=0.2m的轻弹簧，木板总质量为m=1kg、总长度为L=2.0m. 一质量为M=3kg的小物块A从斜面体左侧某位置水平抛出，该位置离地高度
为H =1.7m，物块A经过一段时间后从斜面顶端沿平行于斜面方向落到木板上并开始
√3
μ=
向下滑行，已知A、B之间的动摩擦因数为 2 .木板下滑到斜面底端碰到挡板时
立刻停下，物块A最后恰好能脱离弹簧，且弹簧被压缩时一直处于弹性限度内，最大
静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，取重力加速度g =10m/s2．求：
(1)物块A落到木板上的速度大小v；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能.
4. . （2023湖南顶级名校质检）型号的中性笔由弹簧、内芯和外壳三部分构成。李强同学
探究这种笔的弹跳问题时发现笔的弹跳过程可简化为三个阶段：把笔竖直倒立于水平硬桌
面上，下压外壳使其下端接触桌面（如图1所示）；把笔由静止释放，外壳竖直上升，上
升高度为h时（弹簧恰好恢复原长）与静止的内芯碰撞，碰撞过程时间极短，碰后瞬间，
内芯与外壳具有竖直向上的共同速度（如图2所示）；此后，内芯与外壳一起向上运动，
上升的最大高度为H（如图3所示）。李强同学测得笔的外壳和内芯质量分别为m 和m，
1 2
不计弹簧质量和空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）外壳与内芯碰撞前瞬间的速度大小v；
0
（2）在阶段一中弹簧储存的弹性势能ΔE。
p5. （2023辽宁省抚顺市六校协作体期中）如图所示，质量 kg的滑块与质量
kg的带挡板的木板用弹簧拴接在一起，起初弹簧处于原长，它们一起以 m/s的速度
在足够大的水平地面上向右运动，之后木板与静止的、质量 kg的小球发生弹性碰撞，
碰撞时间极短，弹簧始终处于弹性限度内，忽略一切摩擦，求：
（1）碰后小球的速度大小v；
（2）弹簧第一次压缩过程中对木板的冲量I。
6. 如图甲所示，一根质量可以忽略不计的轻弹簧，劲度系数为
k，下面悬挂一个质量为m的砝码A。手拿一块质量为M的木板B，
用木板B托住A向上压缩弹簧到一定程度，如图乙所示。此时如果
突然撤去木板B，则A向下运动的加速度为a(a>g)。现用手控制使B
以加速度向下做匀加速直线运动。
(1)求砝码A做匀加速直线运动的时间；
(2)求出砝码A做匀加速直线运动过程的起始和终止时刻手对木板B的作用力大小的表
达式。
7 如图所示，质量为m ＝1 kg的物块B通过轻弹簧和质量为m ＝1 kg 的物块C相连
B C
并竖直放置在水平地面上。系统处于静止状态，弹簧的压缩量为x＝0.1 m，另一质量为m
0 A
＝1 kg的物块A从距弹簧原长位置为x 处由静止释放，A、B、C三个物块
0
的中心在同一竖直线上，A、B相碰后立即粘合为一个整体，并以相同的速
度向下运动。已知三个物块均可视为质点，弹簧始终处在弹性限度内，重力
加速度g＝10 m/s2，空气阻力可忽略不计。
(1)求A、B相碰后的瞬间，整体共同速度v的大小。
(2)求A、B相碰后，整体以a＝5 m/s2的加速度向下加速运动时，地面
对物块C的支持力F 。
N
(3)若要A、B碰后物块C能够离开地面，则物块A由静止释放的位置距物块B的高度
h至少为多大？
8.(2023·山东省实验中学模拟)如图所示，一根劲度系数为k＝3 N/cm的轻质
弹簧竖直放置，上、下两端各固定质量均为 m ＝3 kg的物体A和B(均视为质点)，
0物体B置于水平地面上，整个装置处于静止状态，一个质量为 m＝2 kg的小球P从物体A
正上方距其高度h＝5 m处由静止自由下落。与物体A发生弹性正碰(碰撞时间极短且只碰
一次)，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：
(1)碰撞后瞬间物体A的速度大小；
(2)当地面对物体B的弹力恰好为零时，物体A的速度大小。
9.如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定在水平地
面上，下端与水平地面在P点相切。一个质量为2m的物块B(可视为质
点)静止在水平地面上，左端固定有轻弹簧，Q点为弹簧处于原长时的
左端点在水平地面上的位置，P、Q间的距离为R，PQ段地面粗糙，与物块间的动摩擦因
数为μ＝0.5，Q点右侧水平地面光滑。现将质量为m的物块A(可视为质点)从圆弧轨道的最
高点由静止开始下滑，重力加速度为g，求：
(1)物块A沿圆弧轨道滑至最低点P时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩后的最大弹性势能(未超过弹性限度)；
(3)物块A最终静止时的位置到Q点的距离。
