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2025届新高三学情摸底考02（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合 ，则 的元素的个数为
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，若 与 方向相反，则 =（ ）
A．54 B．8 C． D．
4．已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程
为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
6．点 的直线中，被圆 截得的最长弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种
金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长 为
3，柱体与锥体部分高之比 ，底周长为 ，则陀螺的表面积为（ ）A． B． C． D．
8．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与圆 相切且
分别交双曲线的左、右两支于 、 两点，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在下列关于概率的命题中，正确的有（ ）
A．若事件A，B满足 ，则A，B为对立事件
B．若事件A与B是互斥事件，则A与 也是互斥事件
C．若事件A与B是相互独立事件，则A与 也是相互独立事件
D．若事件A，B满足 ， ， ，则A，B相互独立
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 的最小正周期为 ，则其图象关于直线 对称
B．若函数 的最小正周期为 ，则其图象关于点 对称
C．若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为2
D．若函数 在 有且仅有5个零点，则 的取值范围是
11．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）A．若 ，则 的值域为
B．若 ，则过原点有且仅有一条直线与曲线 相切
C．存在 ，使得 有三个零点
D．若 ，则 的取值范围为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 ，若满足 的五位数有 个，则在
的展开式中， 的系数是 ．（用数字作答）
13．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 ．
14．已知椭圆 的方程为 ， ， 为椭圆 的左右顶点， 为椭圆 上不同于 . 的动点，
直线 与直线 ， 分别交于 ， 两点，若 ，则过 ， ， 三点的圆必过 轴上不同
于点 的定点，其坐标为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最
大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文
明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间
，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中 的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值
代替）；
(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲
团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间 的概率.
16．（15分）已知数列 是各项均为正数的等比数列，前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 .
17．（15分）在四棱锥 中， 为正三角形，平面 平面ABCD，E为AD的中点，， ， ．
（1）求证：平面 平面PAD；
（2）在棱CD上是否存在点M，使得 平面PBE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
18．（17分）已知动圆C的圆心在x轴上，且经过点 ，动圆C与x轴的另一个交点为A，与y轴
的一个交点为B，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设点M的轨迹为E，曲线E上一点 ，过点P的直线PS，PT交曲线E于S，T两点，且
PS PT，求证：直线ST过定点，并求出定点坐标.
⊥
19．（17分）给出以下三个材料： 若函数 可导，我们通常把导函数 的导数叫做 的二阶
导数，记作 .类似地，二阶导数①的导数叫做三阶导数，记作 ，三阶导数的导数叫做四阶导
数……一般地， 阶导数的导数叫做 阶导数，记作 . 若 ，定义
. 若函数 在包含 的某个开区间 上具②有 阶的导数，那么
对于任一 有 ③
，我们将 称为
函数 在点 处的 阶泰勒展开式.例如， 在点 处的 阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点 处的 阶泰
勒展开式 ；
(2)比较（1）中 与 的大小.
(3)证明： .
