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成都石室中学 2024～2025 学年度上期高 2025 届十月月考
数学参考答案
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1. 已知集合 , ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，故 ，故选B.
2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米
气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则
A.盛李豪的平均射击环数超过10.6
B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
射击成绩图
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
10.8
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 10.6
10.4
【答案】C
10.2
【解析】盛李豪的射击环数只有两次是 10.8环，5次10.6 10 环 ，
9.8
其余都是 10.6 环以下，所以盛李豪平均射击环数低于 9.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10.6，故A错误；由于 ，故第80百分位数是从 小
盛李豪 黄雨婷
到大排列的第12个数10.7，故B错误；由于黄雨婷的射击 环
数更分散，故标准差更大，故C正确；黄雨婷射击环数的极差为 10.8-9.7=1.1，盛李豪的射击环数极差为10.8-
10.3=0.5，故D错误.故选C.
3.已知 , , ,则 , , 的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于 在 单调递减，故 ，又因为 ，所以 ，故选A.
学科网（北京）股份有限公司4.已知实数 , , 满足 ，且 ，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题， ，取 ，则 ，故 A错误； ，故 B错误；
，故D错误；因为 ，所以 ，即 ，故C正确.故
选C.
5. “函数 的值域为R”的一个充分不必要条件是
A. B. C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 的值域为R，所以在方程 中， ，即 ，
解得 或 ，从而 是“函数 的值域为R”的充分不必要条件.故选D.
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产
生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和
组织，影响生物的繁殖和生态平衡。已知氚的半衰期约为 12年，则氚含量变成初始量的 大约需要经过
( )年.（ ）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
【答案】B
【解析】设氚含量变成初始量的 大约需要经过 t 年，则 ， ，即
学科网（北京）股份有限公司，故选B.
7.若函数 的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由 的定义域为 知， 中 ，不符合图2，故排除B，D；
对于C，当 时， ，不满足图 2，故C错误；将函数 的图关于 轴对称，得到
的图，向右平移1个单位得到 的图，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数
的图可能为图2，故选A.
8.已知函数 ,则方程 的所有根之和为
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】方程 的根为函数
和 的图象交点横坐标，
由函数 得，
学科网（北京）股份有限公司如下图所示，两函数图象共有4个交点，且由于两个函数图象关于点 中心对称，故
方程 的所有根之和为6，故选C.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6
分, 部分选对的得部分分,有选错的得0分,。
9．已知函数 的定义域为 , ，则
A． B．
C．f (x)是奇函数 D．f (x)在 上单调递增
【答案】 AC
【解析】由 知，当 时， ，即 ，故 A 正确；若
，则 满足条件 ，但 ，且f (x)是在 上单调递减，故B,D
错误；当 时， ，即 ，故C正确，故选AC.
10．已知复数 的共轭复数分别为 ，则下列命题为真命题的是
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】设 且 ，则 ，
，
所以 ，所以 ，故A正确；
， ，故B正确；当
时，满足 ，但不能得出 ，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司，故
，故D正确，故选ABD.
11.设函数 ,则下面说法正确的是
A. 当 时，函数 在定义域上仅有一个零点
B. 当 时，函数 在 上单调递增
C.若函数 存在极值点,则
D.若 ,则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】当 时， ，由 得， ，函数 在定义域上仅有一个零点，
故A正确；当 时，函数 ,当 时， ，故函数 在 上单调
递增，故B正确； ，当 时，函数 在定义域上单调递
增，且当 时， ，当 时， ，此时函数 存在零点 ，即函数函数
在 上单调递减，在 上单调递递增，故此时函数 存在极值点，当 时，
，故函数 在 上单调递减，在 上单调递递增，
故 ，故当 时，函数 存在零点，函数 存在极值点,综上，
学科网（北京）股份有限公司当函数 存在极值点时， 或 ，故C错误；对于D， 恒成立,当
时， 或 ，当且仅当两个零点重合时, 即 ，函数 在 上单调递
减，在 上单调递增，满足 , 则 ,当 时取“=”，故D
正确，故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为_____．
【答案】 或
【解析】函数 的对称轴为 ，故当 或 时，函数 在 上单调，
即 或 ，故答案为 或 .
13.若 是定义在 R 上的奇函数， ， ，则
________．
【答案】2
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，故 ，又因为 ，
所以 ,故 ，所以， ，即 的周期为4，
由于 为定义在 R 上的奇函数，故 ， ， ，故
，
故答案为2.
14. 若过点 作曲线 的切线有且仅有两条，则 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】设切点为 ， ，故切线方程为 ，将 代入切
线方程得 ，
令 ，则
，
故 的单调减区间 ，增区间是 .当 时， ，当 时，
， ，当 与 有且仅有两个交点时， ，故答案为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知函数 为奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ，且 在区间 上没有零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ;(2)
【解析】（1）因为 是奇函数，所以 ，·············1分
即 ，···························································3分
所以 ，故 ，则 ，······································5分
学科网（北京）股份有限公司当 时， 显然不成立;经验证： 符合题意；所以 ；··········6分
（2）由 ， ，·························8分
当 时， ，故 在 上单调递减. ································9分
故 .···························································10分
因为 在区间 上没有零点，所以 或 ·······12分
所以 ·······················································13分
16.（15分）已知三棱锥D-ABC，D在平面ABC上的射影为△ABC的重心O， ， .
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥D-ABC的体积为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解答；（2）
D
【解析】（1）如图所示，连结 并延长交 于 ，因为O为△ABC E 的
A C
O
重心，所以 是 的中点，····································································1分
又因为 ，所以由等腰三角形三线合一可得 ，··························2分 B
因为D在平面ABC上的射影为O，所以 平面ABC，································3分
又 平面ABC，所以 ，··························································4分
又 平面 ，所以 平面 ，·························5分
又 平面 ，所以 ，···························································6分
（2）由（1）知 ， 面ABC，过 作 轴平行于 ，则 轴垂直于面ABC，
如图以 为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，·····································7分
学科网（北京）股份有限公司在 中， ， 由（1）知， ， 故 z
D
， E
x
C
A
O
， 8分 M
B
y
所 以 三 棱 锥 A-BCD 的 体 积 为 ， 则
因为 为△ABC的重心，故 ，··············································9分
则 ，
因为E为AD上靠近A的三等分点，所以 ，
故 ·································································10分
设 为平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 ，故 ，········································12分
易得 是平面 的一个法向量，·················································13分
设二面角 的平面角为 ，则 为钝角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .·················································15分
学科网（北京）股份有限公司17. （15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占 .为减轻工
作量，随机地按 人一组分组，然后将各组 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这 个人全部
阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。
（1）若 试估算该小区化验的总次数；
（2）若 ，且每人单独化验一次花费10元， 人混合化验一次花费 元，求当 为何值时，每个居
民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当 时， .
【答案】(1)270;(2)10
【解析】（1）设每组需要检验的次数为X，若混合血样为阴性，则X=1，若混合血样呈阳性，则X=21，1分
所以 ， ，·······················3分
所以
·······································································5分
一共有 组，故估计该小区化验的总次数是 .·········7分
（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9；若混合血样呈阳性，则Y=11n+9, 8分
故 ， ····················10分
···········12分
每位居民的化验费用为
= 元······14分
当且仅当 ，即 时取等号，故n=10时，每个居民化验的平均费用最少.15分
18. （17分）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点P满足 ，且 .设动点P
学科网（北京）股份有限公司形成的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线 ，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，
求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）不存在
【解析】（1）设 ，则 ， ， ，················1分
因为 ，所以 ，·················2分
所以 ， ，所以 ， ，···································3分
又因为 ，整理得 ，···········································4分
所以曲线C的方程为 ；·······························································5分
（2）易知当 的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在， 6分
设l： ，将直线l与曲线C联立，得 ，
消去y，整理得 ，·································7分
因为 且 ，
所以 且 ，·················································································8分
设 ， ，则 ， ，
所以MN的中点 ，且 ， 9分
学科网（北京）股份有限公司将 ， 代入上式，
整理得 ，···························································10分
当 时，线段MN的中垂线方程为 ： ， 11分
令y＝0，解得 ，即 与x轴的交点坐标为 ，·······················12分
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，·········13分
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为 ，
所以 ，·······································14分
所以 ，······························15分
整理得 ，即 ，·····························16分
因为 且 ，
所以上述方程无解，即不存在直线 符合题意. ·············································17分
19. （17分）在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中 表示 的n次导数
），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式.当 时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.
比如 在 处的麦克劳林公式为： ，
学科网（北京）股份有限公司由此当 时，可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出 在 处的泰勒展开式.
(2)若 ， 恒成立，求a的范围;（参考数据 ）
(3)估计 的近似值（精确到 ）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】(1) 在 处的泰勒展开式为：
，············································2分
（2）因为
由 在 处的泰勒展开式，先证 ，
令 ，······················3分
，易知 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，·····4分
所以 在 上单调递增，所以 ，
再令 ， ，易得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上单调递减，·······································6分
而 ，所以 恒成立，·················7分
当 时， ，所以 成立，············8分
当 时，令 ， ，易求得 ，
所以必存在一个区间 ，使得 在 上单调递减，
所以 时， ，不符合题意. ···········································10分
综上所述， .·····················································································11分
（3）因为 转化研究 的结构··············································12分
·················································13分
···············································14分
两式相减得 ··················································15分
取 得
所以估计 的近似值为 （精确到 ）. ·······································17分
学科网（北京）股份有限公司
